Tellegen's Theorema: Uitgebreide Gids met Opgeloste Voorbeelden en MATLAB-simulaties

Tellegen's Theorema – Stap-voor-stap Gids met Opgeloste Voorbeelden

Wat is Tellegen's Theorema?

Tellegen's theorema werd in 1952 gepubliceerd door de Nederlandse ingenieur en uitvinder Bernard D.H. Tellegen. Dit is het meest fundamentele en belangrijkste theorema binnen de netwerkanalyse; de meeste andere theorema's (zoals Thevenin, Norton, Superpositie) kunnen ervan worden afgeleid.

Het theorema berust op de wetten van Kirchhoff en is daarom toepasbaar op elk netwerk dat voldoet aan KCL en KVL. De grote kracht ligt in de universaliteit: het geldt voor lineaire en niet-lineaire, tijdsvariaante en tijdsinvariante, passieve en actieve elementen.

Stelling van Tellegen's theorema:

Het theorema is gebaseerd op de wet van behoud van energie. De som van de momentane vermogens in alle takken van een netwerk is altijd nul. Dit principe vindt toepassing in chemische en biologische systemen om dynamisch gedrag te modelleren, en in signaalverwerking voor het ontwerpen van filters.

Wiskundige Formulering

Beschouw een netwerk met n takken. De momentane stroom door tak k is i_k en de momentane spanning erover is v_k. Het momentane vermogen in die tak is p_k = v_ki_k.

Volgens Tellegen geldt:

Σ (v_ki_k) = 0 voor k = 1 tot n

Dit betekent dat de totale geleverde vermogens (bronnen) precies gelijk is aan de totale geabsorbeerde vermogens (belasting). De bewijsvoering volgt direct uit KCL: de algebraïsche som van stromen in een knooppunt is nul, wat leidt tot de conclusie dat de som van v_ki_k over alle takken verdwijnt.

Stappenplan voor Toepassing

1. Identificeer alle takken in het netwerk en bepaal het aantal.
2. Bereken de takstromen en -spanningen met behulp van standaardmethoden (KVL, KCL, masstroomanalyse, knooppuntanalyse).
3. Bepaal het momentane vermogen per tak: p_k = v_ki_k.
4. Classificeer de takken als vermogensleverend (bronnen, positief teken) of vermogensabsorberend (passieve elementen, negatief teken). De tekenconventie mag vrij worden gekozen, maar moet consequent worden toegepast.
5. Controleer de som van alle getekende vermogens. Deze moet nul zijn, wat het theorema bevestigt.

Opgeloste Voorbeelden

Voorbeeld 1: Verificatie van Tellegen's Theorema

Gegeven: Een netwerk met twee spanningsbronnen (15V en 12V) en drie weerstanden (9Ω, 3Ω, 3Ω) in een twee-mas configuratie.

Oplossing:

Stap 1 – Masstromen bepalen: Toepassen van KVL op de twee masjes levert het stelsel:

• Mas 1: 15 = 12I₁ − 3I₂
• Mas 2: 12 = −3I₁ + 6I₂

Oplossen geeft: I₁ = 2 A, I₂ = 3 A.

Stap 2 – Takstromen:

• Tak 1 (15V bron): I₁ = 2 A
• Tak 2 (9Ω): I₁ = 2 A
• Tak 3 (3Ω, gemeenschappelijk): I₁₂ = I₂ − I₁ = 1 A
• Tak 4 (3Ω): I₂ = 3 A
• Tak 5 (12V bron): I₂ = 3 A

Stap 3 – Vermogens per tak:

• P₁ = 15 × 2 = 30 W (leverend)
• P₂ = 9 × 2² = 36 W (absorberend)
• P₃ = 3 × 1² = 3 W (absorberend)
• P₄ = 3 × 3² = 27 W (absorberend)
• P₅ = 12 × 3 = 36 W (leverend)

Stap 4 – Tekenen toekennen: Bronnen positief, weerstanden negatief.

Stap 5 – Sommatie: +30 − 36 − 3 − 27 + 36 = 0 W. ✓ Theorema bevestigd.

Voorbeeld 2: Spanning over een Stroombron Bepalen

Vraag: Bepaal de spanning over de 6 A stroombron in het gegeven netwerk.

Oplossing: Na toepassen van KVL en KCL worden de takstromen gevonden: I₁ = 6 A (door stroombron), I₂ = 3 A (door 8Ω), I₁₂ = 3 A (door 6Ω). De vermogens zijn:

• P₁ = 6V (onbekend, leverend)
• P₂ = 6 × 3² = 54 W (absorberend)
• P₃ = 2 × 3² = 18 W (absorberend)
• P₄ = −12 × 3 = −36 W (leverend, 12V bron)

Sommatie: P₁ − 54 − 18 + 36 = 0 → P₁ = 108 W. Aangezien P₁ = V × 6 A, volgt V = 18 V over de stroombron.

Analyse en Simulatie met MATLAB/Simulink

Doel: Tellegen's theorema verifiëren voor het circuit uit Voorbeeld 1 via simulatie.

Methode: Het circuit wordt in Simulink nagebouwd met spanningsbronnen, weerstanden en metingblokken voor stroom en spanning per tak. De simulatie levert identieke waarden als de analytische berekening (I₁=2A, I₂=3A, etc.). De berekende vermogens tellen zich op tot 0 W, wat het theorema experimenteel bevestigt. Dezelfde waarden kunnen fysiek gemeten worden op een breadboard met voltmeters en amperemeters.

Toepassingen van Tellegen's Theorema

• Signaalverwerking: Ontwerp van filters en analyse van netwerksynthese.
• Chemische techniek: Stabiliteitsanalyse van chemische installaties.
• Biologische systemen: Modelleren van dynamisch gedrag van fysiologische netwerken.
• Algemene netwerktheorie: Topologie, structuuranalyse en bewijs van andere theorema's.
• Universiteit & onderzoek: Fundamenteel hulpmiddel in cursussen netwerkanalyse en elektrotechniek.

Gerelateerde Tutorials:

• Thevenin's Theorema – Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld
• Norton's Theorema – Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld
• Superpositie Theorema – Schakelinganalyse met Opgelost Voorbeeld
• Kirchhoff's Wetten (KCL & KVL) – Uitleg en Voorbeelden
• Maximum Power Transfer Theorema voor AC & DC