Compensatiestelling in Schakelinganalyse: Bewijs, Uitleg en Praktische Voorbeelden

Bewijs, Uitleg, Experiment en Opgeloste Voorbeelden van de Compensatiestelling

Compensatiestelling

In netwerktheorie is het soms nodig om het effect van een impedantiewijziging in één tak te bestuderen. Dit beïnvloedt spanningen en stromen in het netwerk. De compensatiestelling geeft inzicht in deze verandering.

De stelling berust op Ohms wet. Stroom door een weerstand veroorzaakt spanningsval die de bronspanning tegenwerkt. We voegen een extra bron toe met omgekeerde polariteit en grootte gelijk aan de spanningsval. Hierop bouwt de compensatiestelling.

De compensatiestelling stelt:

• Gerelateerd: Thévenin's Stelling – Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld

Uitleg van de Compensatiestelling

Beschouw het schema: spanningsbron V, twee impedanties Z₁ en Z₂ (lineair/bilateraal). Lusstrom I.

Stel Z₂ verandert met ΔZ. Nieuwe stroom I'. Verandering ΔI = I - I'.

Volgens de stelling berekenen we ΔI direct door het netwerk te modificeren:

1. Voeg spanningsbron V_C = I·ΔZ toe in de gewijzigde tak, polariteit tegenover de hoofdbron (compensatiebron).
2. Verwijder de oorspronkelijke bron door deze te vervangen door zijn interne impedantie (ideale spanningsbron = kortsluiting).

Het resulterende netwerk lost ΔI direct op.

• Gerelateerd: Norton's Stelling – Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld

Bewijs van de Compensatiestelling

KVL op oorspronkelijke schakeling: V = I(Z₁ + Z₂) → I = V/(Z₁+Z₂).

Na verandering Z₂ → Z₂+ΔZ: V = I'(Z₁ + Z₂ + ΔZ) → I' = V/(Z₁+Z₂+ΔZ).

ΔI = I - I' = V·ΔZ / [(Z₁+Z₂)(Z₁+Z₂+ΔZ)].

Compensatieschakeling: bron V_C = I·ΔZ, oorspronkelijke bron gekortsluit. KVL: V_C = I''(Z₁+Z₂+ΔZ).

I'' = V_C/(Z₁+Z₂+ΔZ) = I·ΔZ/(Z₁+Z₂+ΔZ) = ΔI. Q.E.D.

• Gerelateerd: Superpositiestelling – Schakelinganalyse met Opgelost Voorbeeld

Experiment: Compensatiestelling

Doel: Bewijs stelling, vind ΔI.

Apparatuur: Voltmeter, ammeter, weerstanden, draden, breadboard.

Procedure:

1. Bouw originele schakeling (fig 5). Meet I.
2. Bouw gewijzigde schakeling met extra weerstand (fig 6). Meet I₁.
3. Bereken ΔI = I - I₁.
4. Bouw compensatieschakeling (fig 7). Meet I''.
5. Vergelijk ΔI met I''.

Resultaat: Vergelijking I'' met ΔI bevestigt de stelling.

• Gerelateerd: Millman's Stelling – AC & DC Analyse met Voorbeelden

Voorbeeld 1

1. Stroom door tak AB bij 3 Ω?
2. Stroom door AB na verandering 3 Ω → 9 Ω (via compensatiestelling)?
3. Bewijs de stelling.

Oplossing 1: 6Ω // 3Ω = 2Ω, in serie met 3Ω → R_eq = 5Ω. I_totaal = 10V/5Ω = 2A. Stroom door 3Ω (AB): stroomdelingsregel → I' = 2A × 6/(6+3) = 4/3 A ≈ 1,333 A.

Oplossing 2 (Compensatie): ΔZ = 6Ω. V_C = I'·ΔZ = (4/3)×6 = 8V. Compensatieschakeling: 3Ω // 6Ω = 2Ω, + 9Ω = 11Ω. ΔI = 8V/11Ω = 0,7272 A.

Oplossing 3 (Bewijs): Echte schakeling met 9Ω: 9Ω // 6Ω = 3,6Ω, + 3Ω = 6,6Ω. I_totaal = 10/6,6 = 1,515A. Stroom door 9Ω (AB): I'' = 1,515 × 6/(9+6) = 0,606A. ΔI = I' - I'' = 1,333 - 0,606 = 0,727A. Overeenkomst bevestigd.

• Gerelateerd: Substitutiestelling – Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld

Voorbeeld 2

Stroomverandering bij vervanging 3Ω → 7Ω in stroombronnetwerk.

Origineel: stroomdeling → I = 7A door 3Ω. ΔZ = 4Ω. V_C = 7×4 = 28V. Compensatienetwerk: stroombron open, V_C in serie met 7Ω+7Ω. ΔI = 28V/14Ω = 2A.

Bewijs: echte schakeling met 7Ω → stroomdeling geeft I'' = 5A. ΔI = 7-5 = 2A. Stelling bevestigd.