Substitutiestelling - Stapsgewijze handleiding met opgelost voorbeeld

Analyse en oplossen van elektrische circuits met behulp van substitutiestelling

Substitutiestelling

Zoals de naam al doet vermoeden, wordt een substitutiestelling gebruikt om een ​​element van het circuit te vervangen door een ander element. Maar bij het vervangen van het element moet u er rekening mee houden dat het gedrag van de schakeling niet mag veranderen.

Substitutiestelling stelt dat;

Deze stelling wordt gebruikt om verschillende stellingen te bewijzen. Om een ​​tak van het netwerk te vervangen, vertelt deze stelling ons de randvoorwaarden.

Als de waarde van de stroom door de tak gaat en de waarde van de spanning over de tak bekend is, kunnen we deze tak vervangen door andere elementen zoals een spanningsbron, stroombron, verschillende waarden van weerstanden, enz. Door dit te doen, blijft de beginvoorwaarde ongewijzigd.

Deze stelling kan niet worden toegepast wanneer een circuit meer dan twee bronnen heeft die in serie of parallel zijn geschakeld.

• Gerelateerde post:Thevenin's Theorema. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Uitleg van de substitutiestelling

De substitutiestelling is een vervanging van elke tak van een netwerk door een equivalente tak met verschillende elementen. In deze stelling, als een tak of element wordt vervangen door een spannings- en stroombron die hetzelfde is als het oorspronkelijke netwerk, heeft de spanning en stroom van die tak.

Laten we de substitutiestelling begrijpen met een netwerk zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Zoals in de bovenstaande afbeelding te zien is, heeft het twee weerstanden die in serie zijn geschakeld met een gelijkstroombron. Nu zullen we proberen elke tak of elk element te vervangen door andere elementen. Daarvoor moeten we de spanning en stroom kennen die door alle takken gaan.

Hier heeft dit circuit maar één lus. Daarom gaat de stroom door alle takken en elementen hetzelfde. Deze stroom kan worden bepaald door KVL op het netwerk toe te passen.

Laten we zeggen, de hoeveelheid stroom die door de lus gaat.

+15 =5I + 10Ik

15 =15I

Ik =1A

Dus de stroom die door elk element gaat is 1A. Nu moeten we de spanning over alle elementen vinden.

Eén tak heeft een spanningsbron. Dus we vinden de spanning van die tak niet. Deze spanning verdeelt zich in twee weerstanden. En we moeten de spanning over elke weerstand vinden. Het kan worden gevonden door de spanningsdelerregel toe te passen.

Dus de spanning over 5Ω weerstand is;

Evenzo is de spanning over de weerstand van 10Ω;

• Gerelateerde post:de stelling van Norton. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Vervanging-1

We kunnen de 10Ω-weerstandstak vervangen door een 10V-spanningsbron, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Toepassen nu KVL op het netwerk,

+15 – 10 =5I

5 =5I

Ik =1A

De lusstroom is dus hetzelfde als het originele circuit. Bereken nu de spanning over de elementen. De 10Ω-weerstandstak wordt vervangen door een 10V-bron. Daarom is de spanning over die tak 10V. En deze spanning is hetzelfde als de spanning van die tak in het originele circuit.

Zoek nu de spanning over de 5Ω weerstandstak. De stroom die door deze tak gaat is 1A. Daarom, volgens de wet van Ohm;

V _5Ω =1A × 5 =5V

De stroom gaat dus door alle takken en de spanning over alle takken is hetzelfde als het originele netwerk.

Vervanging-2

Verwijder 5Ω weerstandstak. En vervang deze tak door een 5V spanningsbron. Het schakelschema van deze vervanging is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Bereken nu de stroom en spanning van alle takken en vergelijk deze met het originele netwerk.

Om de stroom te vinden die door de lus gaat, past u KVL toe;

+15 – 5 =10I

10 =10I

Ik =1A

Daarom is de lusstroom of de stroom die door de elementen gaat dezelfde als de stroom die door het oorspronkelijke netwerk gaat.

De 5Ω-weerstandstak wordt vervangen door een 5V-spanningsbron. Daarom is de spanning van deze tak hetzelfde als de spanning in het oorspronkelijke netwerk. Nu moeten we de spanning over de 10Ω weerstandstak berekenen.

De stroom die door de 10Ω-weerstandstak gaat, is 1A. Volgens de wet van Ohm;

V _10Ω =IR

V _10Ω =1 × 10

V _10Ω =+10 V

Dus, na het vervangen van de 5Ω-weerstand door een 5V-spanningsbron, verandert het gedrag van het netwerk niet.

• Verwante post:Superpositiestelling - Circuitanalyse met opgelost voorbeeld

Vervangen-3

Verwijder de 10Ω weerstandstak en vervang deze door een stroombron van 1A. Het schakelschema na vervanging is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Er is een stroombron in het circuit. Daarom is de stroom die door de lus gaat hetzelfde als de hoeveelheid van de stroombron. In deze toestand is 1A stroombron aangesloten op het netwerk. En daarom is de stroom die door de lus gaat 1A, wat hetzelfde is als de stroom die door het originele netwerk gaat.

Bereken nu de spanning over de 5Ω weerstand en 1A stroombron.

Volgens de wet van Ohm,

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =+5 V

Zoek nu de spanning over de 1A stroombron. Laten we aannemen dat de spanning over de 1A-stroombron V is.

Van de bovenstaande afbeelding;

+15 – 5 – V =0

V =+10 V

Het is dus bewezen dat de spanning over en stroom door alle elementen hetzelfde is als het originele netwerk nadat de 10Ω-weerstand is vervangen door een 1A-stroombron.

• Gerelateerde post:de stelling van Millman - AC- en DC-circuits analyseren - voorbeelden

Vervanging-4

Verwijder de 10Ω-weerstandtak en vervang deze door een 5Ω-weerstand die in serie is geschakeld met een 5V-spanningsbron. Het schakelschema van deze vervanging is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Nu moeten we de stroom door de lus vinden. Dus pas KVL toe op het bovenstaande netwerk.

15 – 5 =5I + 5Ik

10 =10I

Ik =1A

De stroom die door het element gaat is dus hetzelfde als het originele netwerk. Zoek nu de spanning over alle elementen.

Om de spanning over 5Ω weerstand te vinden; we gebruiken de wet van Ohm.

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =5 V

Nu vinden we de spanning over de punten A en B.

Uit de bovenstaande afbeelding blijkt dat de stroom die door de 5Ω-weerstand gaat, 1A is. De spanning over dit element is dus 5V. En de totale spanning tussen punt A en B is

V _AB =5 + V _5Ω

V _AB =5 + 5

V _AB =+10V

Daarom blijft het gedrag van het netwerk na vervanging van de 10Ω-weerstandtak door een 5Ω-weerstand en 5V-spanningsbron hetzelfde.

We kunnen dus zeggen dat er verschillende methoden beschikbaar zijn om de vervanging van het element van een netwerk te vinden zonder de spanning en stroom van het element te veranderen en zonder het gedrag van de netwerk.

• Gerelateerde post:Stelling van Tellegen - opgeloste voorbeelden en MATLAB-simulatie

Stappen om een ​​netwerk op te lossen met behulp van de vervangingsstelling 

Stap-1 Vind de spanning en stroom van alle elementen van het netwerk. Over het algemeen kunnen de spanning en stroom worden berekend door eenvoudig KCL, KVL of de wet van Ohm te gebruiken.

Stap-2 Zoek de betreffende tak die u wilt verwijderen door een ander element zoals stroombron, spanningsbron of weerstand.

Stap-3 Zoek de juiste waarde van het vervangende element, op voorwaarde dat de spanning en stroom niet veranderen.

Stap-4 Controleer het nieuwe circuit door de spanning en stroom van alle elementen te berekenen. En vergelijk het met het originele netwerk.

Dit gaat allemaal over de substitutiestelling. Laten we nu een voorbeeld nemen.

• Gerelateerde post:  Maximale vermogensoverdrachtstelling voor AC- en DC-circuits
  

Voorbeeld en oplossing van substitutiestelling

Los het onderstaande netwerk op met behulp van de substitutiestelling om de stroom en spanning in alle weerstanden te berekenen.

Stap-1 Vind de spanning en stroom van alle elementen. Daarvoor passen we in dit voorbeeld een KVL toe op het netwerk.

KVL toepassen op loop-1;

14 =6I ₁ – 4Ik ₂ … (1)

KVL toepassen op loop-2;

0 =12I ₂ – 4Ik ₁

12I ₂ =4Ik ₁

Ik ₁ =3Ik ₂ … (2)

Zet deze waarde in de vergelijking-1;

14 =6(3I ₂ ) – 4Ik ₂

14 =18I ₂ – 4Ik ₂

14 =14I ₂

Ik ₂ =1A

Van vergelijking-2;

Ik ₁ =3A

Stap-2 Nu zullen we de takken van lus-1 verwijderen en een enkele lus maken.

Stap-3 We kunnen een spanningsbron of stroombron plaatsen in plaats van de 4Ω-weerstand. Hier zullen we een huidige bron plaatsen.

De stroom die door lus-2 gaat, is 1A. Daarom vervangen we de tak door een 1A stroombron. Het resterende circuit is dus zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Stap-4 Laten we de spanning en stroom van alle elementen controleren.

Dit netwerk heeft een enkele lus. En deze lus heeft een stroombron. De waarde van de stroom die door de lus gaat, is dus hetzelfde als de waarde van de stroombron.

Hier is de waarde van de huidige bron 1A. Daarom gaat de stroom door de tak van 3Ω en 5Ω weerstandtak is 1A, wat hetzelfde is als het originele netwerk.

Zoek nu de spanning over de 3Ω-weerstand met behulp van de wet van Ohm;

V _3Ω =IR

V _3Ω =1 x 3

V _3Ω =3V

Zoek nu de spanning over de weerstand van 5Ω met behulp van de wet van Ohm;

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 x 5

V _5Ω = 5V

De spanning en stroom zijn dus hetzelfde als het originele netwerk. Dit is hoe de substitutiestelling werkt.

In plaats van de huidige bron als we in stap 3 de spanningsbron kiezen. In deze toestand is de waarde van de spanningsbron vergelijkbaar met de waarde van de weerstandstak van 4Ω.

In het originele netwerk gaat de stroom door de 4Ω-weerstandtak is;

Ik ₁ – Ik ₂ =3 – 1 =2A

Volgens de wet van Ohm;

V _4Ω =2 x 4 =8V

We moeten dus de 8V-spanningsbron aansluiten op het netwerk en het resterende circuit is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Stap-4 Controleer de spanning en stroom. Pas KVL toe op de bovenstaande lus.

8 =3I + 5Ik

8 =8I

Ik =8A

De spanning over 3Ω weerstand;

V _3Ω =1 × 3 =3V

De spanning over 5Ω weerstand;

V _5Ω =1 × 5 =5V

De spanning en stroom na vervanging zijn dus hetzelfde als het originele netwerk.

Tutorials voor gerelateerde analyse van elektrische circuits:

• SUPERNODE-circuitanalyse - stap voor stap met opgelost voorbeeld
• SUPERMESH-circuitanalyse - stap voor stap met opgelost voorbeeld
• Kirchhoff's stroom- en spanningswet (KCL &KVL) | Opgelost voorbeeld
• Cramer's Rule Calculator – 2 en 3 vergelijkingssysteem voor elektrische circuits
• Wheatstone Bridge – Circuit, werking, afleiding en toepassingen
• Rekenmachines voor elektrische en elektronische engineering
• 5000+ elektrische en elektronische technische formules en vergelijkingen