AC-Spanningsoptelling geïllustreerd met Complexe Getallen

In deze tutorial verkennen we hoe drie wisselstroom (AC) spanningsbronnen samengaan wanneer ze in serie zijn aangesloten, gebruikmakend van complexe-getal rekenkunde om de nettospanning te bepalen. De aanpak toont aan dat alle bekende DC-stroomwetten—Ohm's wet, Kirchhoff's spanning- en stroomwetten, en netwerkanalysetechnieken—van toepassing blijven op AC-analyse, mits elke grootheid in fasor (complexe) vorm wordt uitgedrukt en alle bronnen op dezelfde frequentie werken.

We beginnen met het rangschikken van de drie bronnen zoals in het diagram hieronder getoond. De polariteitsmarkeringen zijn gekozen zodat de fasorrichtingen direct optellen, wat ons in staat stelt de totale spanning als een eenvoudige vector som te schrijven:

KVL staat toe de optelling van complexe spanningen.

Hoewel de probleemstelling geen expliciete frequentie specificeert, is de impliciete aanname dat alle drie bronnen dezelfde frequentie delen. Dit voldoet aan de eis dat hun faserelaties constant blijven, wat het gebruik van DC-stijl regels toestaat.

De algebraïsche uitdrukking voor de totale spanning is:

V_totaal = V₁ + V₂ + V₃

Grafisch wordt de fasoroptelling geïllustreerd in de onderstaande figuur.

Grafische optelling van vector spanningen.

De resulterende vector ontstaat aan het begin van de 22-V bron en eindigt aan de top van de 15-V bron, zoals getoond in de volgende figuur.

Resultaat is equivalent aan de vectorsom van de drie oorspronkelijke spanningen.

Om de grootte en fase van de resultante te berekenen zonder terug te vallen op een diagram, converteren we elke polaire fasor naar rechthoekige vorm, tellen ze op, en converteren terug. De berekening levert:

V_totaal = 36,8052 V ∠ –20,5018°

In praktische termen zou een voltmeter de 36,8052 V grootte weergeven, terwijl een oscilloscoop gebruikt kan worden om de –20,5018° fasverschuiving ten opzichte van de 15-V referentiebron te bepalen. Hetzelfde principe geldt voor AC-ammeters, die de grootte van de stroom rapporteren maar niet de fasehoek.

Rechthoekige voorstelling is handig voor rekenkunde maar heeft geen direct empirisch analoog in meting; daarom converteren we het eindresultaat routinematig terug naar polaire vorm voor vergelijking met echte meetinstrumenten.

Om het analytische resultaat te valideren, voeren we een eenvoudige SPICE-simulatie uit. Een 10 kΩ weerstand wordt toegevoegd om een open-stroom fout te vermijden. De gekozen frequentie van 60 Hz is willekeurig omdat weerstanden frequentie-onafhankelijk gedrag vertonen, hoewel andere elementen zoals condensatoren en spoelen frequentie-afhankelijkheid zouden introduceren.

SPICE schakelingsschema.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

De simulatie bevestigt het analytische resultaat: een totale spanning van 36,81 V ∠ –20,5°. Dit schijnbaar tegenintuïtieve resultaat—net meer dan 36 V verkrijgen uit 15 V, 12 V, en 22 V bronnen in serie—illustreert hoe faserelaties constructieve of destructieve interferentie in AC-stromingen kunnen veroorzaken.

Vervolgens onderzoeken we het effect van het omkeren van de polariteit van de 12-V bron. Het omkeren van de meetpunten verandert de vectorrichting maar niet de nominale fasehoek; wiskundig kan dit worden voorgesteld door het toevoegen van 180° aan de hoek (12 V ∠ 215°) of door de grootte te negateren (–12 V ∠ 35°). Beide benaderingen leveren hetzelfde rechthoekige resultaat op:

In rechthoekige vorm is de nieuwe som:

V_totaal = 30,4964 V ∠ –60,9368°

We verifiëren dit met SPICE:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; omkering van knooppuntnummers 2 en 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Overzicht

• Alle DC-stroomwetten gelden voor AC-stromingen—behalve vermogensberekeningen—mits alle variabelen in complexe vorm zijn en een gemeenschappelijke frequentie delen.
• Het omkeren van de polariteit van een AC-bron kan worden uitgedrukt door het toevoegen van 180° aan de hoek of door de grootte te negateren.
• Gemeten waarden in AC-stromingen corresponderen met de polaire groottes van berekende fasoren; rechthoekige waarden zijn alleen nuttig voor intermediaire algebraïsche stappen.

Gerelateerde Werkbladen

• AC Netwerk Analyse Werkblad
• Kirchhoff's Wetten Werkblad
• Ohm's Wet Werkblad