Stelling van Tellegen - Opgeloste voorbeelden en MATLAB-simulatie

De Stelling van Tellegen – Stapsgewijze handleiding met opgeloste voorbeelden

Wat is de stelling van Tellegen?

stelling van Tellegen werd gepubliceerd door een Nederlandse elektrotechnisch ingenieur en uitvinder Bernard D.H. Tellegen in 1952. Deze stelling is de belangrijkste en meest fundamentele stelling onder andere stellingen in netwerkanalyse. De meeste andere stellingen zijn afgeleid van deze stelling.

De stelling van Tellegen hangt af van de wet van Kirchhoff. Daarom kan deze stelling van toepassing zijn op het netwerk dat voldoet aan de wet van Kirchhoff. Deze stelling kan worden toegepast op het brede bereik van het netwerk met lineaire of niet-lineaire, tijdsvariante of niet-variante, passieve of actieve elementen.

De stelling van Tellegen stelt dat;

De stelling van Tellegen werkt op basis van het principe van de wet van behoud van energie. Deze stelling wordt gebruikt in chemische en biologische toepassingen om het dynamische gedrag van het fysieke netwerk te vinden. Bij signaalverwerking wordt deze stelling gebruikt om filters te ontwerpen.

• Gerelateerde post:Thevenin's Theorema. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Wiskundige vergelijking

Voor een algemene analyse van de stelling beschouwen we het 'n' aantal elementen dat in het netwerk wordt gegeven. De momentane stroom die door het element gaat is i₁ , i₂ , i₃ , …., i_n . En de momentane spanning van deze tak is v₁ , v₂ , v₃ , ...., v_n .

Daarom zijn de momentane stroom en spanning van element-1 i₁ en v₁ . Het momentane vermogen (p₁ ) verbruikt door dit element is v₁ i₁ .

p ₁ =v ₁ ik ₁

Onmiddellijke kracht van element-2 is (p ₂ );

p ₂ =v ₂ ik ₂

Evenzo is de onmiddellijke kracht van n ^th element is (p _n );

p_n =v_n i_n

Volgens de stelling van Tellegen is de som van alle momentane macht nul. Het betekent dat we al het momentane vermogen p₁ . moeten optellen , p₂ , p₃ , …., p_n .

p ₁ + p ₂ + p ₃ + … + p_n = 0

v ₁ ik ₁ + v ₂ ik ₂ + v ₃ ik ₃ + … + v_n i_n  = 0

In algemene vorm kunnen we de bovenstaande vergelijking schrijven voor de k ^de tak;

Waar,

• n =totaal aantal vestigingen in het netwerk
• v_k =momentane spanning van k ^de tak
• i_k =momentane stroom van k ^de tak
• p_k =momentane kracht van k ^de tak

Beschouw nu de onderstaande afbeelding, aangezien tak AB gelijk is aan tak k.

Daarom, momentane spanning v_k ;

v_k =v_a – v_b

En de momentane stroom die door de tak (a naar b) gaat is i_k ;

i_k =i_ab

Dus, de momentane kracht p_k is;

p_k =v_k i_k =(v_a – v_b ) i_ab ….. (1)

We beschouwen nu de tegenovergestelde richting van momentane stroom (b naar a);

i_ab =– i_ab

Onmiddellijke spanning;

v_k =v_b – v_a

De onmiddellijke kracht p_k is;

p_k =v_k i_k =(v_b – v_a ) i_ba ….. (2)

Samentelling van vergelijking 1 en 2;

2v_k i_k =(v_a – v _b ) ik _ab + (v_b – v_a ) i_ba

v_k i_k =1/2 [(v_a – v _b ) ik _ab + (v_b – v_a ) i_ba ] ….. (3)

Deze vergelijking kan als volgt worden geschreven voor n-takken;

Volgens de huidige wet van Kirchhoff is de algebraïsche sommatie van stroom nul op een knooppunt van het circuit.

Vandaar,

Als we deze waarde in vergelijking-4 plaatsen, krijgen we;

Het is dus bewezen dat de som van het aan het netwerk geleverde vermogen nul is. Daarom is het de stelling van Tellegen bewezen. Er wordt ook beschreven dat de som van het vermogen dat door de elementen van het netwerk wordt opgenomen, gelijk is aan de som van het vermogen dat door de bronnen wordt geleverd.

• Gerelateerde post:de stelling van Norton. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Te volgen stappen voor de stelling van Tellegen

We moeten de onderstaande stappen volgen om elk elektrisch netwerk op te lossen volgens de stelling van Tellegen.

Stap-1: We moeten een aantal vestigingen vinden in het gegeven elektriciteitsnet. Zoek vervolgens de kracht die over elke tak wordt verspreid. Om vermogen te vinden, moeten we de spanning of stroom van die tak vinden met behulp van een conventionele analysemethode.

Stap-2: Vind de onmiddellijke kracht van elke tak.

Stap-3: De tak met een energiebron die wordt beschouwd als een stroomleverende tak. En de tak heeft andere elementen en wordt beschouwd als een krachtabsorberende tak. Identificeer nu de stroomleverende tak en de stroomabsorberende tak.

Stap-4: Neem aan dat er een positief teken is in de stroomleverende tak en een negatieve spanningsval in de stroomabsorberende tak. U kunt ook omgekeerde tekens aannemen. Maar kan in het hele voorbeeld niet veranderen.

Stap-5: Om de stelling van Tellegen te rechtvaardigen, moeten we alle macht optellen die is berekend uit alle takken. En deze optelling is altijd nul.

• Gerelateerde post: SUPERMESH-circuitanalyse – stap voor stap met opgelost voorbeeld

Laten we het begrijpen met een voorbeeld.

De stelling van Tellegen opgelost voorbeeld

Voorbeeld #1

Verklaar de stelling van Tellegen voor het onderstaande netwerk.

Oplossing:

Stap-1: Het gegeven circuitnetwerk heeft 5 takken. Om het momentane vermogen te berekenen, moeten we de stroom vinden die door elke tak gaat. Daarvoor passen we KVL toe op het netwerk.

KVL toepassen op de loop-1;

15 =12I ₁ – 3ik ₂

KVL toepassen op de loop-2;

12 =– 3I ₂ + 6Ik ₂

Door de bovenstaande vergelijkingen op te lossen, kunnen we de waarden van lusstroom I₁ vinden en ik₂ . En deze waarden zijn;

Ik ₁ =2A

Ik ₂ =3A

Stap-2: Stroom die door tak-3 gaat is;

Ik _{1 2} =Ik ₂ – Ik ₁ =3 – 2 =1A

We hebben stroom door alle takken. Zoek nu de kracht van elke tak.

P ₁ =V ik ₁ =15 x 2 =30W

P ₂ =R ₁ ik ₁ ² =9 x 4 =36W

P ₃ =R ₁ ik ₁₂ ² =3 x 1 =3W

P ₄ =R ₃ ik ₂ ² =3 x 9 =27 W

P ₅ =V ik ₂ =12 x 3 =36W

Stap-3: Er zijn twee takken met bronnen. Deze takken zijn energieleverende takken en de andere drie takken zijn energieabsorberende takken.

Hier nemen we voor dit voorbeeld aan dat het teken van de stroomleverende tak positief is en het teken van de stroomabsorberende tak negatief. Daarom zijn tak 1 en 5 stroomleverende takken en andere takken zijn stroomabsorberende takken.

Stap-4: Het teken van macht P₁ en P₅ is positief (stroomleverende takken) en het teken van P₂ , P₃ , en P₄ is negatief (krachtabsorberende takken).

Stap-5: Nu moeten we een sommatie vinden van het vermogen dat door alle takken wordt gedissipeerd.

P ₁ – P ₂ – P ₃ – P ₄ + P ₅ =30W – 36W – 3W – 27W + 36W =0W

Dus de som van het momentane vermogen is nul. En daarmee is deze stelling bewezen.

• Verwante post:SUPERNODE-circuitanalyse - stap voor stap met opgelost voorbeeld

Voorbeeld #2

Zoek de spanning over de 6A-stroombron met behulp van de stelling van Tellegen.

Oplossing:

Stap-1: We moeten de spanning of stroom door het element berekenen. Daarvoor passen we KCL of KVL toe op het gegeven netwerk.

KVL toepassen op de loop-2;

-12 =8I ₂ – 6Ik ₁

Stroomstromen door de vertakking met de huidige bron zijn I ₁;

Ik ₁ =6A

Zet deze waarde in de bovenstaande vergelijking;

-12 =8I ₂ – 6(6)

-12 =8I ₂ – 36

36 – 12 =8I ₂

24 =8I ₂

Ik ₂ =3A

Stap-2: Stroom die door tak-2 gaat is;

Ik ₁₂ =Ik ₁ – Ik ₂ =6 – 3 =3A

Zoek nu de kracht van elke tak;

P ₁ =V ik ₁ =V x 6 =6 x V

P ₂ =R ₁ ik ₁₂ ² =6 x 9 =54W

P ₄ =R ₂ ik ₂ ² =2 x 9 =18W

P ₄ =V ik ₂ =-12 x 3 =-36W

Stap-3: Hier twee vestigingen met energiebronnen. Daarom moeten we deze takken beschouwen als stroomleverende takken. En stel het positieve teken in op het momentane vermogen.

De andere twee takken hebben alleen weerstanden. Deze takken zijn dus energieabsorberende takken en stellen het negatieve teken in op het momentane vermogen.

Stap-4: Vermogen P₁ en P₄ hebben een positief teken en macht P₂ en P3 hebben een negatief teken.

Stap-5: Nu moeten we alle momentane energie optellen.

P ₁ – P ₂ – P ₃ + P ₄ =0W

P ₁ – 54 – 18 + 36 =108W

Het vermogen geleverd door de 6A stroombron is 108W. Daarom wordt de spanning over de stroombron berekend door;

P ₁ =V ik

108W =V x 6A

V =18V

Daarom is de spanning over de stroombron 18V.

• Gerelateerde post: Maximale vermogensoverdrachtstelling voor AC- en DC-circuits

Analyse en simulatie van de stelling van Tellegen met behulp van MATLAB  

Doel:

Bewijs de stelling van Tellegen voor het schakelschema in het bovenstaande voorbeeld.

Vereiste: MATLAB

Theorie:

Volgens de stelling van Tellegen is de momentane optelling van alle takken gelijk aan nul. Om deze stelling te bewijzen, moeten we de momentane macht van alle takken berekenen.

Om het momentane vermogen te vinden, moeten we de spanning of stroom van alle takken berekenen. Daarvoor kunnen we KCL- of KVL-stellingen gebruiken. Maar hier zullen we het MATLAB Simulink-model gebruiken om de stroom en spanning te vinden.

We kunnen ook andere software gebruiken, zoals multisim, psim, enz. We zullen een schakelschema maken in het Simulink-model. Met het Simulink-model kunt u de spanning en stroom van elke tak vinden.

Daarna kun je het momentane vermogen vinden uit de spanning en stroom. U kunt het momentane vermogen rechtstreeks van sommige software vinden.

MATLAB Simulink-model

De onderstaande afbeelding toont het schakelschema van het bovenstaande voorbeeld.

In deze afbeelding kunnen we de spanning en stroom direct op het display vinden. U kunt deze waarden vergelijken door de spanning en stroom te berekenen met behulp van KCL of KVL.

Berekening

Na het berekenen van de spanning of stroom kun je het momentane vermogen vinden. Of u kunt het momentane vermogen direct uit de software vinden. Alles wat we nodig hebben is onmiddellijke kracht. En daarna moeten we alle krachten toevoegen.

De som van de macht is altijd nul. Voor dit voorbeeld vergelijken we de waarde van spanning en stroom gevonden van de Simulink en dezelfde waarden berekend in het vorige voorbeeld met behulp van KVL en KCL. Deze waarden zijn hetzelfde.

Deze waarden worden ook berekend door de verbindingsweerstanden en bronnen op het breadboard. En we kunnen de spanning en stroom door alle takken meten met behulp van een voltmeter en ampèremeter.

Daarom is de stelling van Tellegen bewezen.

• Gerelateerde post:stroom- en spanningswet van Kirchhoff (KCL &KVL) | Opgelost voorbeeld

Toepassing van de stelling van Tellegen

Deze stelling is zeer fundamenteel en wordt veel gebruikt in circuitanalyse. Er zijn veel toepassingen van deze stelling. Sommige toepassingen worden hieronder vermeld.

• Voor het ontwerpen van filters is deze stelling erg handig bij toepassingen van digitale signaalverwerking.
• Om de stabiliteit van chemische fabrieken te bepalen, wordt deze stelling gebruikt in de chemische technologie.
• Deze stelling is van toepassing op het samengevoegde systeem met lineaire-niet-lineaire, actief-passieve, tijdvariante/tijdinvariante elementen.
• Deze stelling wordt gebruikt in het biologische proces.
• Het wordt gebruikt in de topologie en analyse van structuurreacties.
• Het wordt ook gebruikt om het dynamische gedrag van het fysieke netwerk te vinden.

Verwante handleidingen voor analyse van elektrische circuits:

• Superpositiestelling - Circuitanalyse met opgelost voorbeeld
• Cramer's Rule Calculator - 2 en 3 vergelijkingssysteem voor elektrische circuits
• Wheatstone Bridge – Circuit, werking, afleiding en toepassingen
• Elektrische en elektronische technische rekenmachines
• 5000+ elektrische en elektronische technische formules en vergelijkingen