Grotere Karnaugh-kaarten met 4 variabelen

Weten hoe we Gray-code moeten genereren, zou ons in staat moeten stellen grotere kaarten te bouwen. Eigenlijk hoeven we alleen maar naar de volgorde van links naar rechts boven op de kaart met 3 variabelen te kijken en deze naar de linkerkant van de kaart met 4 variabelen te kopiëren. Zie hieronder.

Verlagingen van 4 Variabele K Maps

De volgende vier variabele Karnaugh-kaarten illustreren de reductie van Booleaanse uitdrukkingen die te vervelend zijn voor Booleaanse algebra. Reducties kunnen worden gedaan met Booleaanse algebra.

De Karnaugh-kaart is echter sneller en gemakkelijker, vooral als er veel logische reducties moeten worden gedaan.

De bovenstaande Booleaanse uitdrukking heeft zeven producttermen. Ze zijn van boven naar beneden en van links naar rechts in kaart gebracht op de K-map hierboven. Bijvoorbeeld de eerste P-term A'B'CD is de eerste rij, 3e cel, die overeenkomt met locatie op de kaart A=0, B=0, C=1, D=1 .

De overige producttermen zijn op vergelijkbare wijze geplaatst. Om de grootst mogelijke groepen te cirkelen, worden hierboven twee groepen van vier weergegeven.

De gestreepte horizontale groep komt overeen met de vereenvoudigde productterm AB . De verticale groep komt overeen met Booleaanse CD. Aangezien er twee groepen zijn, zullen er twee producttermen zijn in het resultaat van de Sum-Of-Products van Out=AB+CD .

Vouw de hoeken van de onderstaande kaart op alsof het een servet is om de vier cellen fysiek aangrenzend te maken.

De vier cellen hierboven zijn een groep van vier omdat ze allemaal de Booleaanse variabelen hebben B’ en D' met elkaar gemeen. Met andere woorden, B=0 voor de vier cellen, en D=0 voor de vier cellen.

De andere variabelen (A, C) zijn 0 in sommige gevallen 1 in andere gevallen met betrekking tot de vier hoekcellen.

Dus deze variabelen (A, C) zijn niet betrokken bij deze groep van vier. Deze enkele groep komt uit de kaart als één productterm voor het vereenvoudigde resultaat:Out=B’D’

Voor de onderstaande K-map rolt u de boven- en onderranden in een cilinder die acht aangrenzende cellen vormt.

De bovenstaande groep van acht heeft één Booleaanse variabele gemeen:B=0 . Daarom wordt de ene groep van acht gedekt door één p-term:B’ . De oorspronkelijke Booleaanse uitdrukking van acht termen vereenvoudigt tot Out=B'

P-termen in 4 variabele K-kaarten

De onderstaande Booleaanse uitdrukking heeft negen p-termen, waarvan er drie drie Booleanen hebben in plaats van vier. Het verschil is dat terwijl vier Booleaanse variabele producttermen één cel beslaan, de drie Booleaanse p-termen elk een paar cellen beslaan.

De zes producttermen van vier Booleaanse variabelen worden op de gebruikelijke manier hierboven weergegeven als enkele cellen. De drie Booleaanse variabele termen (elk drie) worden weergegeven als celparen, zoals hierboven weergegeven.

Merk op dat we p-termen in kaart brengen in de K-map, en ze er op dit moment niet uithalen.

Voor de vereenvoudiging vormen we twee groepen van acht. Cellen in de hoeken worden gedeeld met beide groepen. Dit is goed. In feite leidt dit tot een betere oplossing dan het vormen van een groep van acht en een groep van vier zonder cellen te delen. De uiteindelijke oplossing is Out=B’+D’

Hieronder brengen we de niet-vereenvoudigde Booleaanse uitdrukking in kaart met de Karnaugh-kaart.

Hierboven vormen drie van de cellen groepen van twee cellen. Een vierde cel kan met niets worden gecombineerd, wat vaak gebeurt bij "echte" problemen. In dit geval is de Booleaanse p-term ABCD is ongewijzigd in het vereenvoudigingsproces. Resultaat:Out=B’C’D’+A’B’D’+ABCD

Vaak is er meer dan één minimale kostenoplossing voor een vereenvoudigingsprobleem. Dat is het geval dat hieronder wordt geïllustreerd.

Beide resultaten hierboven hebben vier producttermen van elk drie Booleaanse variabelen. Beide zijn even geldig minimale kosten oplossingen. Het verschil in de uiteindelijke oplossing is te wijten aan de manier waarop de cellen zijn gegroepeerd, zoals hierboven weergegeven.

Een oplossing met minimale kosten is een geldig logisch ontwerp met het minimum aantal poorten met het minimum aantal ingangen.

Hieronder brengen we zoals gebruikelijk de onvereenvoudigde Booleaanse vergelijking in kaart en vormen een groep van vier als eerste vereenvoudigingsstap. Het is misschien niet duidelijk hoe de resterende cellen moeten worden opgehaald.

Pak nog drie cellen op in een groep van vier, midden erboven. Er zijn nog twee cellen over. de minimale kostenmethode om die op te halen, is ze te groeperen met aangrenzende cellen als groepen van vier zoals rechtsboven.

Voorzichtig:probeer geen groepen van drie te vormen. Groeperingen moeten machten van 2 zijn, dat wil zeggen 1, 2, 4, 8 ...

Hieronder hebben we nog een voorbeeld van twee mogelijke minimale kostenoplossingen. Begin met het vormen van een paar groepjes van vier nadat je de cellen in kaart hebt gebracht.

De twee oplossingen zijn afhankelijk van of de enkele overgebleven cel is gegroepeerd met de eerste of de tweede groep van vier als een groep van twee cellen. Die cel komt ofwel uit als ABC' of ABD , uw keuze.

Hoe dan ook, deze cel valt onder een van beide Booleaanse producttermen. De eindresultaten worden hierboven weergegeven.

Hieronder hebben we een voorbeeld van een vereenvoudiging met behulp van de Karnaugh-kaart aan de linkerkant of de Booleaanse algebra aan de rechterkant. Plot C' op de kaart als het gebied van alle cellen die vallen onder adres C=0 , de 8-cellen aan de linkerkant van de kaart. Teken vervolgens de single ABCD cel.

Die enkele cel vormt een groep van 2-cellen zoals weergegeven, wat vereenvoudigt tot P-term ABD , voor een eindresultaat van Out =C’ + ABD .

Dit (hierboven) is een zeldzaam voorbeeld van een probleem met vier variabelen dat zonder veel werk kan worden verminderd met Booleaanse algebra, ervan uitgaande dat u de stellingen onthoudt.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad Karnaugh-toewijzing