Don't-Care Cellen in Karnaugh-kaarten Begrijpen

Tot nu toe hebben we logica-reductieproblemen aangepakt waar elke invoercombinatie volledig gespecificeerd was. Een 3-variabele waarheidstabel bevat bijvoorbeeld 2³ = 8 entries en de corresponderende Karnaugh-kaart is volledig gevuld.

In veel realistische toepassingen hoeven we echter niet elke mogelijke invoer te definiëren. Sommige combinaties zullen nooit voorkomen, en de uitgang voor die "onmogelijke" staten is irrelevant. Deze worden don't-care condities genoemd.

Bijvoorbeeld, bij werken met Binary Coded Decimal (BCD) getallen gecodeerd in vier bits, zijn de geldige codes 0000 tot 1001 (decimaal 0–9). De zes binaire patronen 1010 tot 1111 corresponderen met de hexadecimale cijfers A tot F en worden nooit gebruikt. Dus kunnen we die zes patronen markeren als don't-cares en ze leeg laten in een waarheidstabel of Karnaugh-kaart.

Don't-Care Cellen

In een Karnaugh-kaart worden don't-care cellen voorgesteld door een asterisk (*) en kunnen behandeld worden als een 0 of een 1 bij groepering, of genegeerd. Het gebruik ervan kan grotere groeperingen mogelijk maken, wat vaak leidt tot een simpelere Boolesche expressie.

Neem een don't-care alleen op in een groep als het de algehele complexiteit van de logica reduceert. Er is geen verplichting om elke don't-care cel te gebruiken.

Bekijk een functie die 1 moet uitvoeren voor de invoer ABC = 101, terwijl alle andere invoeren tussen 000 en 101 irrelevant zijn. De twee combinaties 110 en 111 worden gemarkeerd als don't-cares. We kunnen drie verschillende vereenvoudigde expressies afleiden:

• Zonder don't-cares te gebruiken: Uit = AB'C.
• Met een don't-care om een paar te vormen: Uit = AC.
• Met een don't-care om een vier-cel groep van nullen te vormen: ook Uit = AC.

Deze voorbeelden illustreren dat don't-care cellen als 1's of 0's behandeld kunnen worden, afhankelijk van welke keuze de simpelste expressie oplevert.

We richten ons nu op een praktische toepassing: het ontwerpen van lampenlogica voor een stationaire fiets tentoonstelling in een lokaal wetenschapsmuseum.

Naarmate de fietser sneller trapt, produceert een kleine DC-generator een spanning evenredig aan de snelheid. Deze spanning wordt ingevoerd in een tachometerbord dat het signaal afkap zodat de downstream Analog-naar-Digitaal (A/D) converter nooit de twee hoogste 3-bit codes (110 en 111) uitvoert. De converter produceert dus een van de volgende codes: 000 (geen beweging), 001, 010, 011, 100, of 101.

Vijf lampen (L1 tot L5) vormen een staafgrafiek-display. Het verlichtingspatroon is als volgt:

• 000 – geen lampen branden.
• 001 – L1 brandt.
• 010 – L1 en L2 branden.
• 011 – L1, L2, en L3 branden.
• 100 – L1, L2, L3, en L4 branden.
• 101 – alle vijf lampen branden.

Omdat de codes 110 en 111 nooit kunnen voorkomen, behandelen we ze als don't-cares. De volgende Karnaugh-kaarten worden voor elke lamp opgebouwd, met 0's voor de 000 toestand, 1's voor de geschikte brandende toestanden, en *'s voor 110 en 111.

Bijvoorbeeld, lamp L5 is alleen aan voor ABC = 101. De kaart bevat een enkele 1 in die cel en nullen elders. Lamp L4 is aan voor ABC = 100 en 101, dus de kaart heeft 1's in die twee cellen. Lamp L3 brandt voor 011, 100, en 101; lamp L2 brandt voor 010, 011, 100, en 101; lamp L1 brandt voor elke code behalve 000.

Door de 1's te groeperen en don't-cares te exploiteren waar voordelig, vereenvoudigt elke lampens Boolesche expressie dramatisch. In het bijzonder reduceert lamp L4's expressie tot simpelweg A (de meest significante bit), wat de noodzaak voor enige logische poort elimineert. De andere lampen profiteren ook van gereduceerde complexiteit.

Het resulterende poortdiagram (hierboven getoond) verbindt de vijf geminimaliseerde expressies met open-collector invertors (74-serie 7406) die de LEDs aansturen. De L1-uitgang gebruikt een 2-invoers OF-poort die (A + B) combineert met C, wat de logische som A + B + C oplevert.

Open-collector uitgangen zijn ideaal voor LED-drivers omdat ze stroom door een externe last laten vloeien. Een actief hoog op een inverter trekt de uitgang laag, waardoor stroom door de LED en de stroombegrenzende weerstand sinkt. Hoewel de LEDs in deze tentoonstelling deel kunnen uitmaken van een solid-state relais dat 120 VAC lampen aanstuurt, valt die schakeling buiten de scope van dit logica-ontwerp.

Gerelateerde Werkbladen

• Digitale Display Schakelingen Werkblad
• Karnaugh Mapping Werkblad