Gelijkvergelijkingen Oplossen: Stap-voor-Stap Gids voor Substitutie- en Optelmethode

Wat zijn Gelijkvergelijkingen en Stelsels van Vergelijkingen?

De termen gelijkvergelijkingen en stelsels van vergelijkingen verwijzen naar situaties waarin twee of meer onbekende variabelen aan elkaar gerelateerd zijn door een even aantal vergelijkingen.

Voorbeeld:

Voor deze verzameling vergelijkingen bestaat er slechts één combinatie van waarden voor x en y die aan beide voldoet.

Elke vergelijking apart heeft oneindig veel geldige (x,y)-oplossingen, maar tezamen is er er maar één. Op een grafiek getekend wordt deze voorwaarde duidelijk:

Elke lijn is een continuüm van punten die mogelijke x en y oplossingsparen voor elke vergelijking vertegenwoordigen.

Elke vergelijking apart heeft oneindig veel geordende paren (x,y) als oplossing. Er is slechts één punt waar de twee lineaire functies x + y = 24 en 2x - y = -6 elkaar snijden (waar een van hun veel onafhankelijke oplossingen toevallig voor beide vergelijkingen geldt), en dat is waar x gelijk is aan 6 en y aan 18.

Grafieken zijn meestal niet de meest efficiënte manier om de gelijktijdige oplossingsverzameling voor twee of meer vergelijkingen te bepalen. Het is vooral onpraktisch voor stelsels van drie of meer variabelen.

In een drietal-variabelen systeem zou de oplossing bijvoorbeeld gevonden worden door het snijpunt van drie vlakken in een driedimensionale coördinateruimte – geen makkelijk scenario om te visualiseren.

Gelijkvergelijkingen Oplossen met de Substitutiemethode

Er bestaan verschillende algebraïsche technieken om gelijkvergelijkingen op te lossen.

Misschien wel de makkelijkste om conceptueel te begrijpen is de substitutie-methode.

Neem ons voorbeeld met twee variabelen:

In de substitutiemethode manipuleren we een van de vergelijkingen zodanig dat één variabele gedefinieerd wordt in termen van de andere:

Daarna nemen we deze nieuwe definitie van één variabele en substitueren die voor dezelfde variabele in de andere vergelijking.

In dit geval nemen we de definitie van y, namelijk 24 - x, en substitueren deze voor de y-term in de andere vergelijking:

Nu we een vergelijking met slechts één variabele (x) hebben, kunnen we deze oplossen met "gewone" algebraïsche technieken:

Nu x bekend is, kunnen we deze waarde in een van de oorspronkelijke vergelijkingen invullen om een waarde voor y te verkrijgen.

Of, om werk te besparen, vullen we deze waarde (6) in de vergelijking in die we zojuist hebben gegenereerd om y in termen van x te definiëren, aangezien deze al in een vorm is om y op te lossen:

Het toepassen van de substitutiemethode op stelsels van drie of meer variabelen volgt een vergelijkbaar patroon, alleen met meer werk.

Dit is over het algemeen waar voor elke oplossingsmethode: het aantal benodigde stappen neemt snel toe met elke extra variabele in het stelsel.

Om drie onbekende variabelen op te lossen, hebben we minimaal drie vergelijkingen nodig. Overweeg dit voorbeeld:

Aangezien de eerste vergelijking de eenvoudigste coëfficiënten heeft (1, -1, en 1 voor x, y en z respectievelijk), lijkt het logisch om deze te gebruiken om een definitie van één variabele in termen van de andere twee te ontwikkelen.

Los x op in termen van y en z:

Nu kunnen we deze definitie van x substitueren waar x voorkomt in de andere twee vergelijkingen:

Deze twee vergelijkingen vereenvoudigd tot hun eenvoudigste vormen:

Tot nu toe hebben we het stelsel gereduceerd van drie variabelen in drie vergelijkingen tot twee variabelen in twee vergelijkingen.

Nu kunnen we de substitutietechnique opnieuw toepassen op de twee vergelijkingen 4y - z = 4 en -3y + 4z = 36 om op te lossen voor y of z. Eerst manipuleer ik de eerste vergelijking om z in termen van y te definiëren:

Vervolgens substitueren we deze definitie van z in termen van y waar we z zien in de andere vergelijking:

Nu y een bekende waarde is, kunnen we het invullen in de vergelijking die z in termen van y definieert en een waarde voor z verkrijgen:

Nu, met bekende waarden voor y en z, kunnen we deze invullen in de vergelijking waar we x in termen van y en z definieerden, om een waarde voor x te verkrijgen:

Tot slot hebben we waarden gevonden voor x, y en z van respectievelijk 2, 4 en 12, die aan alle drie de vergelijkingen voldoen.

Gelijkvergelijkingen Oplossen met de Optelmethode

Hoewel de substitutiemethode misschien het makkelijkst conceptueel te begrijpen is, zijn er andere oplossingsmethoden beschikbaar.

Een dergelijke methode is de zogenaamde optel-methode, waarbij vergelijkingen bij elkaar opgeteld worden met als doel variabelentermen te laten vervallen.

Laten we ons tweevariabelen-stelsel nemen dat gebruikt werd voor de substitutiemethode:

Een van de meest gebruikte regels van algebra is dat je elke rekenkundige bewerking mag uitvoeren op een vergelijking, mits je het gelijk aan beide kanten doet.

Met betrekking tot optellen betekent dit dat we elke hoeveelheid aan beide kanten van een vergelijking mogen toevoegen – mits het dezelfde hoeveelheid is – zonder de waarheid van de vergelijking te veranderen.

Een optie die we hebben, is om de overeenkomstige kanten van de vergelijkingen bij elkaar op te tellen om een nieuwe vergelijking te vormen.

Omdat elke vergelijking een uitdrukking van gelijkheid is (dezelfde hoeveelheid aan beide kanten van het = teken), is het optellen van de linkerkant van de ene vergelijking met de linkerkant van de andere geldig, mits we de rechterkanten van de twee vergelijkingen ook bij elkaar optellen.

In ons voorbeeld mogen we bijvoorbeeld x + y optellen bij 2x - y, en 24 en -6 bij elkaar optellen om een nieuwe vergelijking te vormen.

Wat levert dit ons op? Bekijk wat er gebeurt wanneer we dit doen met ons voorbeeld:

Omdat de bovenste vergelijking een positieve y-term bevatte terwijl de onderste een negatieve y-term had, vielen deze twee termen bij de optelling weg, zonder y-term in de som.

Wat overblijft is een nieuwe vergelijking, maar een met slechts één onbekende variabele, x! Dit stelt ons in staat om de waarde van x gemakkelijk op te lossen:

Eenmaal een bekende waarde voor x gevonden, is het bepalen van de waarde van y een kwestie van substitutie (vervangen van x door het getal 6) in een van de oorspronkelijke vergelijkingen.

In dit voorbeeld werkte de techniek van het bij elkaar optellen van de vergelijkingen goed om een vergelijking met één onbekende variabele te produceren.

Wat nu met een voorbeeld waar dingen niet zo eenvoudig liggen? Overweeg het volgende stelsel:

We zouden deze twee vergelijkingen bij elkaar kunnen optellen – een volledig geldige algebraïsche bewerking – maar het zou ons niet helpen bij het vinden van waarden voor x en y:

De resulterende vergelijking bevat nog steeds twee onbekende variabelen, net als de oorspronkelijke vergelijkingen, en dus zijn we niet verder gekomen in het verkrijgen van een oplossing.

Echter, wat als we een van de vergelijkingen zouden kunnen manipuleren zodat er een negatieve term ontstaat die wel de respectieve term in de andere vergelijking zou laten vervallen bij optelling?

Dan zou het stelsel reduceren tot een enkele vergelijking met één onbekende variabele, net als bij het vorige (gelukkige) voorbeeld.

Als we alleen de y-term in de onderste vergelijking in een -2y term zouden kunnen veranderen, zodat bij optelling van de twee vergelijkingen beide y-termen wegvallen, overblijvend slechts een x-term, zou dit ons dichter bij een oplossing brengen.

Gelukkig is dit niet moeilijk te doen. Als we elke term van de onderste vergelijking vermenigvuldigen met -2, produceren we het gewenste resultaat:

Nu mogen we deze nieuwe vergelijking optellen bij de oorspronkelijke bovenste vergelijking:

Oplossen voor x levert een waarde van 3 op:

Substitueren van deze nieuwgevonden waarde voor x in een van de oorspronkelijke vergelijkingen maakt het gemakkelijk de waarde van y te bepalen:

Het gebruik van deze oplossingstechniek op een drietal-variabelen stelsel is iets complexer.

Net als bij substitutie moet je deze techniek gebruiken om het drietal-vergelijkingen stelsel van drie variabelen terug te brengen tot twee vergelijkingen met twee variabelen, en het daarna opnieuw toe te passen om een enkele vergelijking met één onbekende variabele te verkrijgen.

Ter demonstratie gebruik ik het drietal-variabelen stelsel uit de substitutie-sectie:

Aangezien de bovenste vergelijking coëfficiëntwaarden van 1 heeft voor elke variabele, is het een makkelijke vergelijking om te manipuleren en te gebruiken als annuleringsinstrument.

Als we bijvoorbeeld de 3x-term uit de middelste vergelijking willen laten vervallen, hoeven we alleen de bovenste vergelijking te nemen, elke term te vermenigvuldigen met -3, en dit toe te voegen aan de middelste vergelijking:

We kunnen de onderste vergelijking ontdoen van zijn -5x-term op dezelfde manier: neem de oorspronkelijke bovenste vergelijking, vermenigvuldig elke term met 5, en tel die gemodificeerde vergelijking op bij de onderste vergelijking, wat resulteert in een nieuwe vergelijking met alleen y en z termen:

Op dit punt hebben we twee vergelijkingen met dezelfde twee onbekende variabelen, y en z:

Door inspectie moet duidelijk zijn dat de -z-term van de bovenste vergelijking benut kan worden om de 4z-term in de onderste vergelijking te laten vervallen, mits we elke term van de bovenste vergelijking vermenigvuldigen met 4 en de twee vergelijkingen bij elkaar optellen:

De nieuwe vergelijking 13y = 52 oplossen voor y (door beide kanten te delen door 13) geeft een waarde van 4 voor y.

Substitueren van deze waarde 4 voor y in een van de twee-variabele vergelijkingen stelt ons in staat om op te lossen voor z.

Substitueren van beide waarden voor y en z in een van de oorspronkelijke drie-variabele vergelijkingen stelt ons in staat om op te lossen voor x.

Het eindresultaat (ik bespaar u de algebraïsche stappen aangezien u er nu bekend mee bent!) is dat x = 2, y = 4 en z = 12.

GERELATEERDE WERKBLADEN:

• Gelijkvergelijkingen voor Schakelinganalyse Werkblad