Compensatiestelling – bewijs, uitleg en opgeloste voorbeelden

Bewijs, uitleg, experiment en opgeloste voorbeelden van compensatiestelling voor circuitanalyse

Compensatiestelling

In de netwerktheorie is het soms belangrijk om het effect van verandering in impedantie in een van zijn takken te kennen of te bestuderen. Het heeft invloed op de bijbehorende spanning en stromen van het netwerk of circuit. De compensatiestelling geeft informatie over de verandering in het netwerk.

De compensatiestelling werkt volgens het basisconcept van de wet van Ohm. Volgens de wet van Ohm, wanneer een stroom door de weerstand gaat, treedt er een zekere spanningsval op over de weerstand. Deze spanningsval zal de bronspanning tegenwerken.

Daarom sluiten we een extra spanningsbron aan in tegengestelde polariteit ten opzichte van de bronspanning en de grootte is gelijk aan de spanningsval. De compensatiestelling werkt op dit concept.

Compensatiestelling stelt dat,

• Gerelateerde post:Thevenin's Theorema. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Uitleg van de compensatiestelling

Beschouw de onderstaande afbeelding om de compensatiestelling te begrijpen.

In deze afbeelding is de spanningsbron V een onafhankelijke spanning en bron en twee impedanties Z₁ en Z₂ zijn lineaire of bilaterale elementen. Daarom kunnen we de compensatiestelling toepassen op dit netwerk. De stroom die door de lus gaat, is I.

Neem nu aan dat de impedantie Z₂ verhoogd met ∆Z. Door deze verandering wordt de stroom die door de lus gaat, veranderd en is het I '. Het nieuwe schakelschema wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Vanwege de verandering in impedantie, de verandering in stroom die wordt gegeven door ∆I.

ΔIk =Ik – Ik'

Volgens de compensatiestelling kunnen we de verandering in de huidige ∆I direct berekenen. Daarvoor moeten we het circuit aanpassen.

De eerste wijziging is dat u een spanningsbron met de waarde I∆Z aansluit in de tak waarvan de impedantie wordt gewijzigd. En de polariteit van deze spanningsbron is tegengesteld aan de hoofdbron. De nieuw toegevoegde spanningsbron V_C staat bekend als de compensatiebron.

V_C =Ik ΔZ

De tweede wijziging is dat we de oude spanningsbron moeten verwijderen door zijn interne impedantie. Als we een ideale spanningsbron beschouwen, kunnen we in deze toestand deze spanningsbron verwijderen door de aansluiting ervan kort te sluiten. Na deze aanpassingen is het resterende circuit zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Door het bovenstaande circuit op te lossen, kunnen we gemakkelijk de verandering in stroom vinden na de verandering in de impedantie.

• Gerelateerde post:de stelling van Norton. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Bewijs van compensatiestelling

Beschouw het circuit in figuur-1. Bereken de stroom (I) die door de lus gaat.

KVL toepassen op figuur-1;

Nu hebben we aangenomen dat de impedantie Z₂ wordt gewijzigd door ∆Z. En het gewijzigde circuit is zoals weergegeven in figuur 2. We moeten (I') berekenen dat de stroom door de lus in figuur 2 gaat.

KVL toepassen op figuur-2;

Vanwege de verandering in impedantie wordt de verandering in lusstroom aangeduid als ∆I. En de ∆I is gelijk aan het verschil tussen oude stroom I en nieuwe stroom I'.

ΔIk =Ik – Ik'

Beschouw nu de onderstaande afbeelding.

Dit cijfer vertegenwoordigt het circuit na de implementatie van de compensatiestelling. Hier wordt de oorspronkelijke spanningsbron verwijderd door kortsluiting (neem aan dat de ideale spanningsbron is).

We zullen zien dat de stroom door deze lus gaat, dat is I". En vergelijk deze stroom met de hierboven berekende stroom.

Om de stroom die door de lus gaat te berekenen, past u KVL toe op de bovenstaande afbeelding.

V_C =Z ₁ ik” +(Z ₂ +ΔZ ) Ik”

V_C =ik” (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

I” =V_C / (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

I” =ΔIk

Daarom is bewezen dat de verandering in stroom (∆I) na wijziging hetzelfde is als de stroom berekend door de compensatiestelling.

En we hebben de verklaring van de compensatiestelling bewezen.

• Verwante post:Superpositiestelling - Circuitanalyse met opgelost voorbeeld

Een experiment van compensatiestelling

Doel: Bewijs de compensatiestelling en vind de verandering in stroom.

Apparaat: Voltmeter, Ampèremeter, Weerstanden, Aansluitdraden, Breadboard,

Circuitdiagram:

Procedure:

Stap-1 Sluit de componenten aan zoals getoond in afbeelding-5 met behulp van verbindingsdraad op een breadboard.

Stap-2 Meet de huidige I.

Stap-3 Verbind de componenten zoals getoond in figuur-6. Hier hebben we een extra weerstand aangesloten.

Stap-4 Meet de huidige I1.

Stap-5 Bereken de verandering in stroom (∆I) uit de waarde van I en I1.

Stap-6 Verbind de componenten zoals getoond in figuur-7. Dit circuit is een compensatiecircuit.

Stap-7 Meet de huidige I".

Stap-8 Vergelijk de verandering in stroom (∆I) met de I".

Experimententabel:

Zr. Nee.	Ik	Ik 1	∆Ik	Ik”
1

Resultaat:

Door de waarde van de huidige I'' te vergelijken met ∆I, kunnen we de compensatiestelling bewijzen.

• Gerelateerde post:stelling van Millman - AC- en DC-circuits analyseren - voorbeelden

Voorbeeld van compensatiestelling

Voorbeeld-1

• 1) Zoek de stroom die door de tak AB gaat als de weerstand 3Ω is.
• 2) Vind de stroom die door de tak AB gaat met behulp van de compensatiestelling wanneer de 3Ω-weerstand wordt gewijzigd in 9Ω.
• 3) Bewijs de compensatiestelling.

Antwoord-1

Zoals weergegeven in de afbeelding, zijn de 6Ω- en 3Ω-weerstanden parallel. En deze parallelle combinatie is in serie geschakeld met een 3Ω-weerstand. Daarom zal de equivalente weerstand zijn;

R _Vergelijking =6 | | 3+3

R _Vergelijking =2 + 3

R _Vergelijking =5 Ω

Volgens de wet van Ohm;

10 =I (5)

Ik =10 ÷ 5

Ik =2 A

Nu moeten we de stroom door tak AB vinden. Dus, volgens de huidige delerregel;

Ik' =1,333 A (of 3/4 A)

• Gerelateerde post:vervangingsstelling – stapsgewijze handleiding met opgelost voorbeeld

Antwoord-2

We moeten de 3Ω-weerstand vervangen door een 9Ω-weerstand. Volgens de compensatiestelling moeten we een nieuwe spanningsbron in serie toevoegen met de 9Ω-weerstand. En de waarde van deze spanningsbron is;

V_C =Ik' ΔZ

Waar,

ΔZ =9 – 3 =6 Ω en I’ =4/3 A (of 1,333 A)

V_C =(4/3A) x 6 Ω

V_C =8 V

Een aangepast schakelschema of gecompenseerd schakelschema is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Nu zullen we de equivalente weerstand vinden. Hier zijn 3Ω en 6Ω weerstanden parallel geschakeld. En deze parallelle combinatie is in serie geschakeld met een 9Ω-weerstand.

R_Eq =3 | | 6 + 9

R_Eq =2 + 9

R_Eq =11 Ω

Nu, volgens de wet van Ohm;

V =ΔIK R

8 =ΔI (11 Ω)

ΔIk =8 ÷ 11

ΔIk =0,7272 A

Dus, volgens de compensatiestelling; de verandering in stroom is 0,7272A.

• Gerelateerde post:Stelling van Tellegen - opgeloste voorbeelden en MATLAB-simulatie

Antwoord-3

We willen de compensatiestelling bewijzen. Dus berekenen we de stroom in het gegeven voorbeeld met een 9Ω-weerstand.

Het gewijzigde schakelschema wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Hier zijn 9Ω en 6Ω weerstanden parallel geschakeld en deze parallelle combinatie is in serie geschakeld met de 3Ω weerstand.

De equivalente weerstand is gelijk aan;

R_Eq =9 | | 6 + 3

R_Eq =99 ÷ 15

R_Eq =6.66 Ω

Van de bovenstaande afbeelding;

10 =I (6,66)

Ik =10 ÷ 6.66

Ik =1.5151 A

Volgens de huidige scheidingsregel;

I” =0,6060A

ΔIk =Ik' – ik”

ΔIk =(4/3A) – 0,6060

ΔIk =1.333A – 0.6060

ΔIk =0,7273 A

Daarom is bewezen dat de verandering in stroom berekend op basis van de compensatiestelling hetzelfde is als de verandering in stroom berekend op basis van het originele circuit.

• Gerelateerde post:  Maximale vermogensoverdrachtstelling voor AC- en DC-circuits
  

Voorbeeld-2

Zoek in het onderstaande circuit de stroomverandering als de 3Ω-weerstand wordt vervangen door een 7Ω-weerstand met behulp van de compensatiestelling. En bewijs de compensatiestelling.

Het bovenstaande netwerk bestaat alleen uit weerstanden en onafhankelijke stroombronnen. We kunnen dus de compensatiestelling toepassen op dit netwerk.

In deze afbeelding wordt het netwerk gevoed door een stroombron. Nu moeten we de stroom vinden die door de 3Ω-weerstandstak gaat. Deze stroom kan worden gevonden met behulp van KCL of KVL. Maar hier kan deze stroom gemakkelijk worden gevonden door de huidige delerregel.

Daarom, volgens de huidige scheidingsregel;

Ik =70 ÷ 10 A

Ik =7 EEN

In het originele netwerk met een 3Ω-weerstand is de stroom die door die tak gaat 3A. Nu moeten we deze weerstand veranderen van 3Ω naar 7Ω. Door deze wijziging zal de stroom die door die tak gaat, worden gewijzigd. En we zullen deze stroomverandering vinden door de compensatiestelling.

Daarvoor moeten we een compensatienetwerk maken. Om een ​​compensatienetwerk te maken, moeten we alle onafhankelijke bronnen in het netwerk verwijderen door de spanningsbron kort te sluiten en de stroombron te openen.

In dit netwerk is slechts één huidige bron beschikbaar. We nemen aan dat de stroombron een ideale stroombron is. Daarom hoeven we de interne weerstand niet toe te voegen.

De tweede wijziging die we moeten aanbrengen in het compensatiecircuit is het toevoegen van een extra spanningsbron. En de waarde van deze spanning is;

V_C =Ik ΔZ

V_C =7 × (7 – 3)

V_C =7 × 4

V_C =28 V

Het compensatienetwerk is zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Deze figuur heeft maar één lus. En de stroom die door de tak van 7Ω gaat, geeft ons de verandering van stroom (∆I).

ΔIk =V_C ÷ (7+7)

ΔIk =28 ÷ 14

ΔIk =2 A

Om de compensatiestelling te bewijzen, zullen we de stroom in het circuit vinden met een 7Ω-weerstand aangesloten. Het aangepaste schakelschema wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

I” =(10 (7)) ÷ (7 + 7)

I” =70 ÷ 14

I” =5 A

Door de huidige scheidingsregel toe te passen;

Om de verandering van de stroom te vinden, moeten we deze stroom aftrekken van de stroom die door het oorspronkelijke netwerk gaat.

ΔIk =Ik – ik”

ΔIk =7 – 5

ΔIk =2 A

Daarom hebben we de compensatiestelling bewezen.

Verwante handleidingen voor analyse van elektrische circuits:

• SUPERNODE-circuitanalyse - stap voor stap met opgelost voorbeeld
• SUPERMESH-circuitanalyse - stap voor stap met opgelost voorbeeld
• Kirchhoff's stroom- en spanningswet (KCL &KVL) | Opgelost voorbeeld
• Cramer's Rule Calculator - 2 en 3 vergelijkingssysteem voor elektrische circuits
• Wheatstone Bridge – Circuit, werking, afleiding en toepassingen
• Elektrische en elektronische technische rekenmachines
• 5000+ elektrische en elektronische technische formules en vergelijkingen