Pseudospin-gecontroleerde enkelrichtings transmissie in grafene topologische plasmonische kristallen

Samenvatting

Ontstaan uit het onderzoek naar gecondenseerde materietoestanden, is het concept van kwantum-Hall-effect en kwantum-spin-Hall-effect (QSHE) recentelijk uitgebreid naar andere gebieden van natuurkunde en techniek, bijv. fotonica en fononica, wat leidt tot opvallend onconventionele randmodi die immuun zijn voor verstrooiing. Hier presenteren we het plasmonische analoog van QSHE in grafene plasmonische kristallen (GPC) in midden-infrarouge frequenties. De bandinversie treedt op bij vervorming van het honingraat-rooster GPC's, wat verder leidt tot topologische bandkloof en pseudospin-kenmerken van de randtoestanden. Door bandkloof met verschillende topologieën te overlappen, simuleerden we numeriek de pseudospin-afhankelijke eenrichtings-vooruitplanting van randtoestanden. Het ontworpen GPC kan potentiële toepassingen vinden in het veld van topologische plasmonica en de exploratie van pseudospin-multiplexing-technieken in hoog-dichtheid nanofotonische geïntegreerde circuits triggeren.

Achtergrond

Fotonische topologische isolatoren [1,2,3,4], optische materialen van een non-triviale topologische fase die lichttransmissie in hun interieurs verbieden maar vooruitplanting langs hun randen toestaan, zijn intensief bestudeerd na de ontdekking van kwantum-Hall-effect (QHE) in gecondenseerde materie. Een sleutelmanifestatie van topologische fysica is de aanwezigheid van randtoestanden die robuust zijn tegen structurele defecten of lokale onordenen. In het bijzonder, door gebruik te maken van de bulk-rand correspondentie [5, 6], kan men verschillende topologische fasen onderzoeken door randtoestanden of rand-topologische invarianten te proberen. In recente jaren zijn topologische randtoestanden voorspeld en waargenomen in veel fotonische topologische bandkloof-systemen, zoals gyromagnetische fotonische kristallen [7,8,9], bi-anisotrope-gebaseerde fotonische topologische isolatoren [10, 11], gekoppelde golfgidsnetwerken [12, 13] en Floquet-fotonische roosters [14, 15], waar diverse fysieke mechanismen voorgesteld worden om topologische bescherming te bieden. Opvallend is dat een dubbele Dirac-kegel geopend werd om een topologisch non-triviale bandkloof te verkrijgen in een bekend honingraat-rooster fotonisch kristal dat pseudo-tijdomkeersymmetrie behoudt, wat leidt tot pseudospin-afhankelijke enkelrichtings-transmissie van randtoestanden [16, 17]. Naast fotonische systemen zijn pseudospin-afhankelijke randtoestanden in fononische systemen verkend [18,19,20]. Echter, de analogie in plasmonische nanostructuren is nog niet gerapporteerd, wat te wijten is aan de enorme ohmse verlies van plasmonen die voortplanten langs traditionele plasmonische materialen zoals Au en Ag.

Oppervlakte-plasmon-polaritonen (SPPs) [21], elementaire excitaties gekoppeld door fotonen en vrije-elektron-oscillaties aan een interface tussen een metaal en een diëlektricum, worden beschouwd als een veelbelovend fysiek mechanisme om de diffractielimiet te omzeilen en de miniaturisering van apparaten te bevorderen. Iurov et al. verkenden de terugkoppeling en hybridisatie van plasmon-modi en vonden de geïnduceerde optische polarisatie door Dirac-elektronen in grafene [22]. Memmi et al. rapporteerden de sterke koppeling tussen SPPs en moleculaire vibraties [23]. Terwijl veelgebruikte edele metalen zoals goud en zilver plasmonische eigenschappen vertonen voornamelijk in het zichtbare en nabij-infrarood gebied van het spectrum, is grafene recentelijk opgedoken als een veelbelovende alternatief die in staat is het veld van plasmonica uit te breiden naar infrarood en terahertz (THz) golflengtes. Nog belangrijker, in tegenstelling tot edele metalen, kunnen grafene-plasmonen dynamisch afgesteld worden via electrostatische biasing [24, 25], wat een nieuwe generatie herconfigureerbare plasmonische apparaten mogelijk maakt. Bovendien kunnen SPPs geëxciteerd in hoog-kwaliteit grafene merkbaar lange intrinsieke relaxatietijden bereiken en ongekende niveaus van veldconfinement bieden [26]. Deze buitengewone eigenschappen maken grafene een ideale kandidaat voor alle-geïntegreerde topologische plasmonische componenten. Zeer recent realiseerden Jin et al. topologisch beschermde eenrichtings-randplasmonen in een periodiek gepatroniseerde monolage grafene, waar de bandtopologie van grafene-plasmonen onder een tijd-omkeerbrekend magnetisch veld in detail bestudeerd werd [27]. En Pan et al. demonstreerden substantieel non-reciproek gedrag bij superlattice-juncties onder matige statische magnetische velden, wat leidde tot het opduiken van topologisch beschermde randtoestanden en gelokaliseerde bulk-modi [28].

In dit werk verkennen we theoretisch de topologische eigenschappen van twee-dimensionale (2D) grafene plasmonische kristallen (GPC's) geconstrueerd door periodiek gerangschikte grafene-nanoschijven. Dirac-kelgen aan de Brillouin-zone (BZ) hoeken worden vouwen naar een dubbele Dirac-kegel in het BZ-centrum door het zone-vouwmechanisme te benutten. Om topologische bandkloof te verkrijgen, voeren we verdere vervormingen uit op het honingraat-rooster. Door de grafene-nanoschijven te krimpen of uit te rekken, wordt de dubbele Dirac-kegel geopend en treedt bandinversie op tussen pseudospin-dipool en quadrupel-modi, wat verder leidt tot topologische fasetransitie tussen non-triviale en triviale toestanden. Verder wordt eenrichtings-vooruitplanting van randtoestanden numeriek gesimuleerd langs een interface geconstrueerd door de triviale en non-triviale GPC's, wat verder de pseudospin-karakteristieken en topologische robuustheid van ons ontworpen plasmonische kristallen demonstreert.

Methoden

We onderzoeken de bandtopologie van SPPs in een 2D plasmonisch kristal van een array van periodiek gerangschikte grafene-nanoschijves omringd door hetzelfde vel grafene met verschillende chemische potentiaal zoals getoond in Fig. 1a. De roosterconstante a = 40 nm, μ_c1, en r zijn de chemische potentiaal en stralen van de grafene-nanoschijven; μ_c2 duidt de chemische potentiaal van de omringende grafene aan. Door de Maxwell-vergelijkingen op te lossen met randvoorwaarden, verkrijgen we de dispersierelatie voor transversaal-magnetisch (TM)-gepolariiseerde SPP-modi ondersteund op de grafene-laag omringd door lucht en silica [29]:

$$ \frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{Air}}}+\frac{\varepsilon_{Si{O}_2}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}}=\frac{\sigma_g}{i{\omega \varepsilon}_0}. $$ (1)

Hierbij is ε₀ de vacuümpermittiviteit, k₀ = 2π/λ het golgetal in vacuüm, en λ de werkende golflengte in vacuüm. In het midden-infrarood gebied worden de diëlektrische constanten van lucht en silica corresponderend met super- en substraten aangenomen als ε_Air = 1 en ε_SiO2 = 3,9 respectievelijk [30]. In het non-retarderende regime waar β » k₀, kan Verg. (3) vereenvoudigd worden tot [31].

$$ \beta ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega}{\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

waarbij β de voortplantingsconstante SPPs op grafene-laag is, en de effectieve brekingsindex n_eff van de SPP-mode kan afgeleid worden uit n_eff = β/k₀. σ_g is de oppervlakte-geleidbaarheid van grafene samengesteld uit de bijdragen van intraband en interband, namelijk σ_g = σ_intra + σ_inter [29, 30]. De intraband geleidbaarheid σ_intra corresponderend met het intraband elektronen-foton verstrooiingsproces wordt gegeven door

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\mathrm{\hslash}}^2\left(\omega +i/\tau \right)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

waarbij μ_c de chemische potentiaal is gerelateerd aan de elektrondichtheid, e de elektronenlading, ω de hoekfrequentie van de plasmon, ℏ en k_B de gereduceerde constante van Planck en de Boltzmann-constante respectievelijk, T de temperatuur, en τ de elektronen-impuls-relaxatietijd door lading-drager-verstrooiing. Voor ℏω » k_BT en |μ_c| » k_BT, kan de interband geleidbaarheid σ_inter corresponderend met interband elektronen-overgangen benaderd worden als

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \mathrm{\hslash}}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid -\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

Resultaten en Discussie

a_s1 en a_s2) als de hexagonale eenheidscel van zes grafene-nanoschijven (met roostervectoren a₁ en a₂) het honingraat-rooster plasmonische kristallen kunnen vormen. Figuur 1b presenteert de BZ's voor de rombische en hexagonale eenheidscellen, met de onherleidbare zones van M_II-Γ_II- K_II- M_II en M_I-Γ_I- K_I- M_I respectievelijk. Let op dat de hexagonale eenheidscel drie keer groter is dan de rombische primitieve. Daarom is de eerste BZ van de rombische primitieve eenheidscel drie keer groter dan die van de hexagonale (blauw gebied in Fig. 1b). Bij het nemen van een rombische primitieve eenheidscel, vertoont dit plasmonische kristal Dirac-kegel-dispersie op K_II en K_II` punten in de BZ-hoeken zoals getoond in Fig. 1c. De insets in Fig. 1c tonen de eigen elektrische veldverdelingen van de twee gedegeneerde toestanden op Dirac-punt. Vergelijkbaar met de pseudo-spins in klassieke fotonische en akoestische systemen [17, 19, 20], om de analogie van de pseudo-spins in plasmonisch systeem na te bootsen, moet de vrijheidsgraad verhoogd worden tot tweeledige toestanden. Dus zijn viervoudig gedegeneerde dubbele Dirac-kelgen in de plasmonische bandstructuur vereist. Door het zone-vouwmechanisme [18] te gebruiken, worden de Dirac-kelgen op K<sub>II</sub> en K<sub>II</sub>` punten gevouwen naar een dubbele Dirac-kegel in het Γ-punt in het BZ-centrum bij het nemen van de grotere hexagonale eenheidscel (zoals getoond in Fig. 1d). De insets in Fig. 1d tonen de viervoudig gedegeneerde eigen-toestanden met dipool- en quadrupel-modi. De relatieve parameters die we gebruiken zijn μ_c1 = 0,3 eV, μ_c2 = 0,6 eV, en τ = 1 ps, die matig gekozen zijn uit eerdere onderzoeken voor praktische grafene [32, 33].

De viervoudig gedegeneerde dubbele Dirac-kelgen samengesteld uit twee dipool- en twee quadrupel-modi zijn geassocieerd met twee 2D onherleidbare voorstellingen van een C_6v puntgroep, namelijk E₁ modi van oneven ruimtelijke pariteit en E₂ modi van even ruimtelijke pariteit. Volgend de conventionele notatie breed geadopteerd in kwantummechanica [34], kunnen we deze modi classificeren als p_x/p_y en d_x2-y2/d_xy modi volgens hun eigen E_z veldverdelingen getoond in Fig. 2. Vervolgens, om een non-triviale topologische bandkloof te openen op het Γ-punt, nemen we verdere modificaties (namelijk vervorming van het honingraat-rooster van a/R = 3) op de hexagonale eenheidscel om de symmetrie te breken. Wanneer de grafene-nanoschijven gekrompen worden tot a/R = 3,2, splitst de viervoudig gedegeneerde dubbele Dirac-kegel in twee tweeledige gedegeneerde toestanden en een bulk-bandkloof opent van 62,1 tot 63,5 THz zoals getoond in Fig. 2a. De E_z velden van de lagere banden hebben een paar dipool-modi die p_± karakters vertonen, terwijl de hogere banden een paar quadrupel-modi vertonen die d_± karakters vertonen rond het Γ-punt, wat consistent is met de klassieke fotonische theorie dat dipool-modi lagere frequentie moeten vertonen dan hogere-orde quadrupel-modi. Echter, een bandinversie treedt op wanneer de grafene-nanoschijven uitgebreid worden tot a/R = 2,9, namelijk de dipool-modi stijgen boven de quadrupel-modi, wat de topologische non-triviale bandkloof van 62,4 tot 63,3 THz tot stand brengt zoals getoond in Fig. 2c. Figuur 2d, e illustreert het proces van topologische overgang tussen p_± en d_± toestanden, en de in-plan magnetische velden geassocieerd met p_± en d_± zijn gemarkeerd met witte pijlen. De hoeveelheden van beweging van de golf-functie van E_z velden p_± = (p_x ± ip_y)/\( \sqrt{2} \) en d_± = (d_x2-y2 ± id_xy)/\( \sqrt{2} \) vormen de pseudospin in de huidige plasmonische kristallen [17, 18].

Om de topologische eigenschap van de bandkloof getoond in Fig. 2a, c verder te verkennen, is het in het algemeen gerelateerd aan een effectieve Hamiltonian-beschrijving en topologische getallen. Door de \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) perturbatietheorie toe te passen, kan de effectieve Hamiltonian H_eff(k) rond het Γ-punt op de basis [p₊, d₊, p₋, d₋] uitgedrukt worden als [17, 35].

$$ {H}^{\mathrm{eff}}(k)=\left[\begin{array}{cccc}M+{Bk}^2& {Ak}_{+}& 0& 0\\ {}{A}^{\ast }{k}_{-}& -M-{Bk}^2& 0& 0\\ {}0& 0& M+{Bk}^2& {Ak}_{-}\\ {}0& 0& {A}^{\ast }{k}_{+}& -M-{Bk}^2\end{array}\right], $$ (5)

waarbij k_± = k_x ± ik_y, en A afkomstig is van de off-diagonale elementen van de eerste-orde perturbatieterm \( {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle \) met α = 1, 2 en β = 3, 4. De effectieve Hamiltonian H_eff(k) neemt een vergelijkbare vorm aan als het Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) model voor het CdTe/HgTe/CdTe kwantumput-systeem [36], wat een topologische bandkloof impliceert wanneer bandinversie plaatsvindt. Op basis van de Hamiltonian uitgedrukt in Verg. (5), kunnen we de spin-Chern-getallen van de topologische plasmonische kristallen evalueren als [36].

$$ {C}_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\left[\operatorname{sgn}(M)+\operatorname{sgn}\left(-B\right)\right]. $$ (6)

Hierbij is M = (E_p – E_d)/2 het frequentieverschil tussen E₂ en E₁ voorstellingen op het Γ-punt. B wordt bepaald door de diagonale elementen van de tweedegraads perturbatieterm en is typisch negatief [19]. Dus, C_± = 0 wordt verkregen bij een normale bandorde zoals getoond in Fig. 2a. En we concluderen dat de geopende bandkloof triviaal is. Echter, M wordt positief wanneer bandinversie optreedt. Daarom wordt C_± = ±1 eenvoudig verkregen, en de kloof in Fig. 2c is non-triviaal.

Door bandkloof met verschillende topologieën te overlappen (namelijk topologische triviaal en topologische non-triviaal), kan men randtoestanden creëren die ruimtelijk begrensd zijn rond de interface tussen twee plasmonische kristallen. Hier overwegen we een strook van topologisch non-triviaal plasmonisch kristal (met bandstructuur getoond in Fig. 2c) met zijn twee randen bekleed door twee topologisch triviale plasmonische kristallen (met bandstructuur getoond in Fig. 2a) in hetzelfde frequentievenster. De twee triviale regio's voorkomen mogelijke randtoestanden lekken in vrije ruimte. In Fig. 3a presenteren we de berekende geprojecteerde bandstructuren langs de ΓK-richting voor zo'n strook, waar een bulk-bandkloof bespannen wordt door additionele topologische randtoestanden zoals aangegeven door de dubbel gedegeneerde rode curven. Fig. 3b plaatst de elektrische veldverdelingen begrensd rond de interface geconstrueerd door twee distincte kristallen, overeenkomend met punten A (met k_x = − 0,05π/a) en B (met kx = 0,05π/a) gemarkeerd in Fig. 3a. De pseudo spin-op en spin-af kenmerken worden bewijzen door fase-vortexen van tegen de klok in en met de klok in geïllustreerd op het rechterpaneel van Fig. 3b.

De pseudospin-afhankelijke eenrichtings-transmissie van randtoestanden wordt ook gedemonstreerd in een eindige 20a × 18a rooster geconstrueerd door de triviale en non-triviale kristallen. Zoals getoond in Fig. 4a, b, eenrichtings-vooruitplanting van de SPP-golf naar links (rechts) wanneer geëxciteerd door een pseudo spin-op (spin-af) bron S₊ (S₋) van tegen de klok in (met de klok in) circulair gepolariseerde in-plan magnetische veld. Een van de meest onderscheidende kenmerken van topologische randtoestanden is dat ze robuust zijn tegen perturbaties/onvolkomenheden. Om deze robuustheid te verifiëren, construeren we scherpe bochten zoals getoond in Fig. 4c, waar de eenrichtings-transmissie van SPP-golf geëxciteerd wordt door een pseudo spin-af bron S₋. De SPP-golf verdween uiteindelijk na een lange reafstand langs de scherpe bochten door het intrinsieke verlies van grafene-materiaal. Om deze topologische transmissie verder te bevestigen, tonen we ook de elektrisch-velddichtheidsverdeling door het intrinsieke verlies van grafene te negeren voor vergelijking. Zoals te zien is in Fig. 4d, volgt de SPP-golf de ontworpen route en behoudt de eenrichtings-vooruitplanting met weinig terugverstrooiing.

Conclusies

Samenvattend, we hebben systematisch de bandtopologieën van de GPC's onderzocht geconstrueerd door periodiek gepatroneerde grafene-nanoschijven. Door het zone-vouwmechanisme te benutten, worden de Dirac-kelgen aan de BZ-hoek gevouwen naar een dubbele Dirac-kegel in het BZ-centrum. Vervolgens worden topologische bandkloof gerealiseerd door het vervormen van het honingraat-rooster GPC's. Op basis van de effectieve Hamiltonian afgeleid door de \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) perturbatietheorie, worden de spin-Chern-getallen geëvalueerd. De pseudospin-karakteristieken, bewijzen door fase-vortexen van tegen de klok in en met de klok in, worden met succes gebruikt om de eenrichtings-transmissie van randtoestanden te realiseren langs een interface geconstrueerd door twee topologische triviale en non-triviale plasmonische kristallen. Het ontworpen GPC biedt een nieuw pad om topologische fenommen te onderzoeken en kan potentiële toepassingen vinden in de velden van topologische plasmonica. Het kan ook de exploratie van pseudospin-plasmonica en de techniek van pseudospin-multiplexing in hoog-dichtheid nanofotonische geïntegreerde circuits triggeren.

Afkortingen

BHZ:

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ:

Brillouin-zone

FEM:

Eindige-elementenmethode

GPC:

Grafene plasmonisch kristal

QHE:

Kwantum-Hall-effect

QSHE:

Kwantum-spin-Hall-effect

SPPs:

Oppervlakte-plasmon-polaritonen