Beheersing van modus en dispersie in grafene-dielektrische plasmonische golgleiders via dubbele non-lineariteit

Samenvatting

We bestuderen de modus- en dispersie-eigenschappen van een grafene-dielektrische non-lineaire plasmonische golgleider rekening houdend met de dubbele non-lineariteit van zowel het dielektricum als grafene. Voor TM-polarisatie werden de modusverdeling, de permitiviteitsverdeling en de dispersierelatie verkregen door de Maxwell-vergelijkingen numeriek op te lossen. Vergeleken met het geval waar alleen de non-lineariteit van het dielektricum in aanmerking wordt genomen, daalt de initiële veldintensiteit om plasmonmodussen op te wekken duidelijk bij de invoering van dubbele non-lineariteit. Bovendien wordt de invloed van dubbele non-lineariteit op de dispersierelatie besproken; we vinden dat de non-lineariteit van grafene de dispersie-eigenschappen sterk beïnvloedt. De invoering van dubbele non-lineariteit leidt tot een verlaging van de initiële veldintensiteit, wat potentieel toepasbaar is in all-optische schakelaars met lage drempelwaarden.

Achtergrond

Grafene-plasmonica heeft veel aandacht getrokken vanwege de unieke elektronische en optische eigenschappen van grafene vergeleken met metalen. In het THz- en ver-infraroodfrequentiebereik domineert de intraband-overgang van elektronen en gedraagt grafene zich als een metaal. Daarom kunnen oppervlakteplasmonpolaritonen (SPPs) door grafene worden ondersteund. Voor de grafene-dielektrische meerlaag-compositestructuur zijn de modusopwekking, koppeling en voortplanting van SPPs onderzocht. De quasi-transversale elektromagnetische modus werd gevonden in een grafene parallel-plaat golgleider. De koppeling van SPPs werd bestudeerd in een grafene-dielektrische meerlaagstructuur. Voor de periodieke arraystructuur van monolag grafene ontstaat sterke koppeling tussen SPPs wanneer de grafene-lagen dicht bij elkaar zijn gerangschikt.

Aanzienlijke inspanningen zijn gedaan om de optische eigenschappen van grafene-dielektrische non-lineaire composietstructuren te onderzoeken vanwege hun grote potentieel in het controleren van lichtuitbreiding op micro- en nanoschaal. Voor het geval van een enkele laag grafene werden oppervlakteplasmonen aan de interface tussen grafene en een Kerr-type non-lineair substraat besproken. Er wordt getoond dat de golflengte van grafene-plasmonen afgestemd kan worden door de non-lineaire permitiviteit van substraten aan te passen. Voor de grafene-non-lineaire dielektrische meerlaagstructuur werden de voortplantings- en localisatie-eigenschappen van grafene-plasmonen verkend, en de exacte dispersierelaties voor TM-oppervlakteplasmonen van een grafene parallel-plaat golgleider verkregen. De voortplantings- en localisatielengte worden opmerkelijk beïnvloed door het aanpassen van non-lineaire permitiviteiten. Onlangs is de dispersierelatie voor de symmetrische en antisymmetrische plasmonmodussen afgeleid in een grafene-gecoate Kerr-plaatstructuur. Naast de typische voorwaarts voortplantende modus, werden de symmetrische en antisymmetrische modussen gevonden.

Op basis van de sterke non-lineariteit van grafene zijn verschillende non-lineaire optische effecten voorspeld. Nesterov et al. bestudeerden de non-lineaire voortplanting van licht in een grafene-monolaag en vonden dat een grafene-monolaag TE en TM ruimtelijke optische solitonen kan ondersteunen bij optische frequenties door de intrinsieke non-lineariteit van grafene. Meer recentelijk, door monolag grafene te vervangen door meerlag grafene, onderzochten Smirnova et al. de non-lineaire eigenschappen van een meervoudige stapel van grafene-velletjes en afgeleiden de non-lineaire vergelijkingen die de ruimtelijke dynamica van de non-lineaire plasmonen beschrijven. Eerdere studies richtten zich voornamelijk op de invloed van enkele non-lineariteit op het controleren van lichteigenschappen in grafene-dielektrische structuren. Het idee van dubbele non-lineariteitscontrole werd geïntroduceerd in grafene-gebaseerde fotonische superroosters, waarin elektrische en all-optische controle van fotonische bundels met diep-subgolflengte nauwkeurigheid werd bereikt. Echter, de dubbele non-lineariteitscontrole van modus- en dispersie-eigenschappen in grafene-dielektrische plasmonische structuren laat nog steeds veel vragen open. Daarom overwegen we in dit artikel de non-lineariteit van zowel grafene als het dielektricum tegelijkertijd in de grafene-dielektrisch-grafene golgleider en bestuderen we de invloed van de dubbele non-lineariteit op moduskoppeling en dispersie-eigenschappen.

Methoden

De grafene-non-lineaire dielektrische plasmonische golgleider is schematisch weergegeven in Fig. 1, een grafene parallel-plaat met een geleidbaarheid σ _g is geplaatst op x = ± d/2, waar het dielektricum een Kerr-type medium is met een permitiviteit ε = ε _L + α|E|². In onze analyse wordt grafene behandeld als een grensvlak vanwege de dikte op atoomschaal. Overwegend een transversaal-magnetische (TM) SPPs die voortplant langs de z-richting met een voortplantingsconstante β en exponentieel afneemt langs de x-richting in de lucht en het non-lineaire medium, respectievelijk.

Schematisch diagram van non-lineaire grafene-dielektrisch-grafene plasmonische golgleider

Voor de TM-polarisatie weten we dat er drie veldcomponenten zijn: E _x , E _z , en H _y . Het magnetische veld H = H _y y en het elektrische veld E = E _x x + E _z z voldoen aan de vergelijkingen:

$$ \frac{d{E}_z}{ d x}= i\omega {\mu}_0{H}_y+ i\beta {E}_x $$ (1) $$ i\beta {H}_y=- i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_x $$ (2) $$ \frac{d{ H}_y}{ d x}= i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_z $$ (3)

waarbij ε ₀ en μ ₀ de elektrische permitiviteit en magnetische permeabiliteit van de vacuüm zijn. Uit Verg. (2) en ε = ε _L + α|E|² kunnen we verkrijgen:

$$ {\varepsilon}^2{E}_x^2=\frac{\beta^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2 $$ (4) $$ {E}_x^2=\left(\varepsilon -{\varepsilon}_L-\alpha {E}_z^2\right)/\alpha $$ (5)

Door Verg. (5) in Verg. (4) te substitueren hebben we:

$$ {\varepsilon}^3-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right){\varepsilon}^2-\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2=0 $$ (6)

Voor de cubische vergelijking [20, 21]:

$$ {x}^3+ b{x}^2+ c x+ d=0 $$ (7)

De discriminant van Verg. (7) is:

$$ \varDelta ={b}^2{c}^2-4{c}^3-4{b}^3 d+18 b c d-27{d}^2 $$ (8)

Door \( b=-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right),\kern0.5em c=0 \), en \( d=-\alpha {\beta}^2{H}_y^2/\left({\omega}^2{\varepsilon}_0^2\right) \) in te stellen, is het eenvoudig aan te tonen dat de discriminant van Verg. (6) voldoet aan:

$$ \varDelta =-{\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right)}^3\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2-27\frac{\alpha^2{\beta}^4}{\omega^4{\varepsilon}_0^4}{H}_y^4<0 $$ (9)

Δ < 0 betekent dat Verg. (6) slechts één reële oplossing heeft. Uit de methode van Cardano [20] weten we dat voor de cubische vergelijking (7) de reële wortel is:

$$ x=-\frac{b}{3}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}} $$ (10)

waarbij p = c − b ²/3, q = d − bc/3 + 2b ³/27. Met Verg. (10) kunnen we de ε verkrijgen. Door de ε in Verg. (2) en (3) te vervangen door de reële oplossing, kunnen de gewone differentiaalvergelijkingen numeriek worden opgelost met een relaxatiemethode.

Resultaten en discussie

Vanuit de continuïteitseisen van E _z en H _y , voldoen de randvoorwaarden op x = ± d/2 aan E _1z = E _2z en H _2y − H _1y = σ _g E _z . De oppervlaktegeleidbaarheid van grafene σ _g wordt bepaald door de Kubo-formule [22] met inbegrip van interband- en intraband-overgangsbijdragen. In het THz- en ver-infraroodfrequentiebereik domineert de intraband-overgangsbijdrage en kan de oppervlaktegeleidbaarheid worden vereenvoudigd tot een eenvoudig Drude-type als [23]:

$$ {\sigma}_g=\frac{e^2{\mu}_c}{\pi {\hslash}^2}\frac{\mathrm{i}}{\omega +\mathrm{i}{\tau}^{-1}} $$ (11)

waarbij e de lading van het elektron is, μ _c het chemisch potentieel van grafene, ω de frequentie, en τ de impulsverliesstijd. Dit model is toepasbaar in de lage-temperatuurlimiet (k _B T < < μ _c ) bij lage frequentie (ℏω ≤ μ _c ). Voor sterke veldcondities moet het non-lineaire deel van de geleidbaarheid in aanmerking worden genomen en de totale geleidbaarheid van grafene luidt [16]:

$$ {\sigma}_g={\sigma}_L+{\sigma}^{NL}{\left|{E}_{\tau}\right|}^2 $$ (12)

waarbij E _τ de tangentiële component van het elektrische veld is en σ ^NL de non-lineaire geleidbaarheid aanduidt [16]:

$$ {\sigma}^{NL}=- i\frac{3}{8}\frac{e^2}{\pi {\hslash}^2}{\left(\frac{e{\nu}_F}{\mu_c\omega}\right)}^2\frac{\mu_c}{\omega} $$ (13)

waarbij ν _F = 0,95 × 10⁸ cm/s de Fermisnelheid is.

Voor grafene kan de oppervlaktegeleidbaarheid slechts in het THz- en ver-infraroodfrequentiebereik worden vereenvoudigd tot een eenvoudig Drude-type; daarom kiezen we de incidentegolflengte als λ = 10 μm. Overige parameters zijn vastgelegd op de waarden ε ₁ = 1, ε _L = 2,25, α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)² [24], E _F = 0,27 eV, τ = 1,5 ps. Het is bekend dat er twee modussen in grafene-dielektrisch-grafene lineaire structuren zijn: de symmetrische en antisymmetrische modus. In het volgende zullen we de invloed van non-lineariteit op modusverdeling in de grafene-dielektrische composietstructuren bespreken.

Door H ₀ in te stellen als de initiële magnetische veldcomponent aan het incidentievlak, en door Verg. (1, 2 en 3) numeriek op te lossen, wordt de afhankelijkheid van de initiële magnetische veldintensiteit H ₀ van de voortplantingsconstante β gegeven in Fig. 2. De genormaliseerde voortplantingsconstante \( {k}_F=\sqrt{\uppi n} \) is in eenheden van Fermimpuls [25], waar n = 6 × 10¹² cm⁻² de dragerdichtheid is. De volle lijnen vertegenwoordigen het geval dat alleen de non-lineariteit van het dielektricum in aanmerking wordt genomen, terwijl de stipellijnen het geval aanduiden dat de non-lineariteit van het dielektricum en grafene simultaan worden overwogen. Uit Fig. 2 vinden we dat de moduseigenschappen voor beide gevallen hetzelfde zijn. Er zijn drie takken, wat betekent dat de non-lineaire plasmonische golgleider drie modussen kan ondersteunen. Echter, vergeleken met het geval van enkele non-lineariteit, daalt de initiële veldintensiteit duidelijk voor het geval van dubbele non-lineariteit. Hoewel de grafene non-lineaire plasmonische golgleider drie modussen kan ondersteunen, is het onmogelijk te onderscheiden welke tak de symmetrische, antisymmetrische of asymmetrische modus vertegenwoordigt. Om de moduseigenschappen van elke tak te bepalen, plotten we de elektrische veld- en magnetische veldverdeling geassocieerd met A, B, C en D in Fig. 3, respectievelijk.

De initiële magnetische intensiteit versus de voortplantingsconstante. Voor de volle lijnen: α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², σ ^NL = 0; voor de stipellijnen: α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², σ ^NL = 2,19 × 10⁻²⁰i, de horizontale zwarte volle lijn is een hulplijn

De permitiviteit en modusverdeling voor magnetische component H _y en elektrische component E _z . a en b corresponderen met punt A (H ₀ = 300, β = 6,94 × 10⁻² k _F ) gemarkeerd in Fig. 2 voor symmetrische modussen, c en d corresponderen met punt B (H ₀ = 300, β = 7,81 × 10⁻² k _F ) gemarkeerd in Fig. 2 voor antisymmetrische modussen, e en f corresponderen met punt C (H ₀ = 300, β = 8,36 × 10⁻² k _F ) gemarkeerd in Fig. 2 voor asymmetrische modussen, en g en h corresponderen met punt D (H ₀ = 700, β = 8,07 × 10⁻² k _F )

Voor de tak van de zwarte stipellijnen worden de bijbehorende permitiviteit en velden geassocieerd met A geplot in Fig. 3a, b, waarin de verdeling van de permitiviteit en het elektrische veld E _z symmetrisch is. Daarom vertegenwoordigt deze tak de symmetrische modus. Voor de tak van de rode stipellijnen worden de permitiviteit en velden geassocieerd met B gegeven in Fig. 3c, d. De verdeling van de permitiviteit is nog steeds symmetrisch; de verdeling van het elektrische veld E _z is echter antisymmetrisch, wat impliceert dat deze tak een antisymmetrische modus is. De verdeling van permitiviteit en veld geassocieerd met C en D worden geplot in Fig. 3e–h. Het is op te merken dat de verdeling van het corresponderende magnetische veld en elektrische veld geassocieerd met C en D asymmetrisch is; daarom vertegenwoordigt de tak van de blauwe stipellijnen asymmetrische modus. Tegelijkertijd leidt de asymmetrische verdeling van het elektrische veld tot een asymmetrische verdeling van de permitiviteit.

Daarna richten we onze aandacht op de discussie van de invloed van non-lineariteit van het dielektricum en grafene op de dispersierelatie. Figuur 4 toont de dispersierelatie voor een vaste initiële magnetische veld (H ₀ = 300 A/m) en verschillende chemische potentieel en non-lineaire coëfficiënten van het dielektricum. In Fig. 4a–c wordt de invloed van de non-lineaire coëfficiënt van het dielektricum op de dispersierelatie getoond, waarbij alleen de non-lineariteit van het dielektricum in aanmerking wordt genomen. Wanneer zowel de non-lineaire coëfficiënt als de non-lineaire geleidbaarheid gelijk zijn aan nul (α = 0, σ ^NL = 0), degeneert de non-lineaire structuur tot een lineaire structuur. In Fig. 4a, voor het lineaire geval, bestaan alleen symmetrische en antisymmetrische modussen. De zwarte volle lijn en de rode volle lijn vertegenwoordigen de symmetrische en antisymmetrische modus, respectievelijk. Wanneer de non-lineaire coëfficiënt niet-nul is, verschijnt een asymmetrische modus als tak III getoond in Fig. 4b, c in de structuur. Naarmate de non-lineaire coëfficiënt verder toeneemt, wordt de invloed van de coëfficiënt op de dispersie-eigenschappen zwakker.

De dispersierelatie voor een vaste initiële magnetische intensiteit (H ₀ = 300 A/m) en voor verschillende non-lineaire coëfficiënten (a–c) en voor verschillende chemische potentieel (d–f). a α = 0, μ _c = 0,27 eV, σ _NL = 0, b α = 5 × 10⁻¹⁷ (m/V)², μ _c = 0,27 eV, σ _NL = 0, c α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², μ _c = 0,27 eV, σ _NL = 0, d μ _c = 0,27 eV, α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², (e) μ _c = 0,16 eV, α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)², en f μ _c = 0,10 eV, α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)²

In het volgende introduceren we de non-lineariteit van het dielektricum en grafene simultaan, en bespreken we de invloed van de non-lineariteit van grafene op de dispersierelatie met een vaste non-lineaire coëfficiënt van het dielektricum α = 5 × 10⁻¹⁶ (m/V)². De resultaten worden getoond in Fig. 4d-f. Vergeleken Fig. 4d met Fig. 4c, is op te merken dat het terugvouwfenomeen van de dispersierelatie in alle drie de takken verschijnt. Uit Verg. (13) weten we dat de non-lineariteit van grafene gecontroleerd kan worden door het chemische potentieel aan te passen. Naarmate de non-lineariteit van grafene verder toeneemt van μ _c = 0,27 eV naar μ _c = 0,16 eV, zoals getoond in Fig. 4e, verschuift het terugvouwpunt van de dispersierelatie omhoog. Voor een grotere non-lineariteit van grafene (met klein chemisch potentieel μ _c = 0,10 eV), zoals getoond in Fig. 4f, verschijnt alleen de symmetrische modus en vormt een gesloten lus. Uit Fig. 4 weten we dat, wanneer alleen de non-lineariteit van het dielektricum in aanmerking wordt genomen, de dispersierelatie drie takken toont die bijna onveranderd blijven naarmate de non-lineaire coëfficiënt van het dielektricum toeneemt. Echter, wanneer we verder de non-lineariteit van grafene introduceren, verschijnt het terugvouwfenomeen van de dispersierelatie. Voor de gespecificeerde initiële magnetische veld H ₀ en chemisch potentieel toont de dispersierelatie alleen een symmetrische modus met een gesloten lus.

Conclusies

Samengevat hebben we de modus- en dispersie-eigenschappen van een grafene-dielektrische non-lineaire plasmonische golgleider onderzocht. De modusverdeling, permitiviteit en dispersierelaties werden verkregen door de Maxwell-vergelijking numeriek op te lossen voor TM-polarisatie. Vergeleken met het geval waarin alleen de non-lineariteit van het dielektricum in aanmerking wordt genomen, daalde de initiële veldintensiteit duidelijk bij het simultaan overwegen van de non-lineariteit van het dielektricum en grafene. Bovendien beïnvloedt de dubbele non-lineariteit de dispersie-eigenschappen van de golgleider significant. Met name, naarmate de non-lineariteit van grafene toeneemt, smelten de antisymmetrische en asymmetrische modussen samen en verdwijnen ze geleidelijk. Daarom kan alleen de symmetrische modus worden gevonden in het geval van sterke non-lineariteit.