Hoe elastische stijfheid en oppervlakte-adhesie nanodeeltjes stuitergedrag bepalen

Samenvatting

Granulaire botsingen worden gekenmerkt door een drempelsnelheid, die het laagsnelheidsregime van korrelplakken scheidt van het hoge-snelheidsregime van korrelstuiteren: de stuiter-snelheid, v _b . Deze parameter is bijzonder belangrijk voor nanokorrels en heeft toepassingen in bijvoorbeeld astrofysica waar het de beschrijving van collisionele stofagglommering invoert. Analytische schattingen zijn gebaseerd op de macroscopische Johnson-Kendall-Roberts (JKR) theorie, die de afhankelijkheid van v _b van straal, elastische stijfheid en oppervlakte-adhesie van korrels voorspelt. Hier voeren we atomistische simulaties uit met modelpotentialen die ons toestaan deze afhankelijkheden te testen voor nanokorrelbotsingen. Onze resultaten tonen niet alleen dat JKR de afhankelijkheid van materiaalparameters kwalitatief goed beschrijft, maar wijzen ook op aanzienlijke kwantitatieve afwijkingen. Deze zijn het meest uitgesproken voor kleine adhesie, waar elastische stijfheid de waarde van de stuiter-snelheid niet beïnvloedt.

Achtergrond

De meest basale procedure van granulair mechanica is de botsing van twee korrels. Bij hoge korrelsnelheden scheiden korrels weer na de botsing, en het botsingsresultaat kan gekarakteriseerd worden door de klassieke mechanica van inelastische botsingen. Bij lage korrelsnelheden zullen korrels echter plakken. De grens tussen plakende en stuiterende botsingen [1] kan de stuiter-snelheid, v _b , genoemd worden. Deze parameter is bijzonder belangrijk voor nanokorrels en heeft toepassingen in bijvoorbeeld astrofysica waar het de beschrijving van collisionele stofagglommering invoert [2, 3].

Macroscopische contactmechanica is gebruikt om een voorspelling voor v _b af te leiden. Het is gebaseerd op de Johnson-Kendall-Roberts (JKR) theorie [4], die de botsing van twee adhesieve spheren beschrijft met behulp van de elastische stijfheid en de oppervlakte-adhesie als basisfysica-input. Kwantitatief worden deze grootheden beschreven door de indentatiemodulus, E _ind=E/(1−ν ²), waar E de Young-modulus is en ν het Poisson-getal, en door de oppervlakte-energie γ. Met de straal R en de massadichtheid ρ, luidt de stuiter-snelheid van twee identieke spheren [1, 5, 6]:

$$ {v_{b}} = \left(\frac {C} {\rho} \right)^{1/2}\left(\frac {\gamma^{5}} {E_{\text{ind}}^{2} R^{5}} \right)^{1/6}. $$ (1)

De waarde van de constante C hangt sterk af van de aannames over energiedissipatie tijdens de botsing en is besproken om waarden aan te nemen tussen 0,3 en 60 [1, 7].

De geldigheid van deze voorspelling is voornamelijk bestudeerd met betrekking tot de grootte-afhankelijkheid [1, 5–8]. Met afnemende korrelgrootte worden adhesiekrachten belangrijker, en de stuiter-snelheid neemt toe. Inderdaad, experimenten op nanokorrels (Ag en NaCl korrels) [9] vinden v _b in het bereik van 1 m/s voor korrelgroottes van enkele 10 nm, maar een scherpe toename voor kleinere korrels. Atomistische simulaties gebaseerd op moleculaire dynamica (MD) hebben de voorspelde R ^−5/6 afhankelijkheid bevestigd voor botsingen tussen amorfe silica korrels van groottes R=15–25 nm [7].

Tot nu toe is de voorspelde afhankelijkheid van v _b op de materiaalparameters E _ind en γ niet in detail getest. Dit is niet gemakkelijk in experimenten, aangezien verschillende materialen meestal in beide grootheden verschillen. Echter, met MD kunnen we modelmaterialen construeren, die identieke eigenschappen hebben, maar slechts in één aspect verschillen, ofwel E _ind ofwel γ. In dit artikel kiezen we een model voor Cu [10] maar variëren de materiaalparameters ruimschoots met tot één orde van grootte van de echte waarden. Aangezien we geen stuiteren vinden voor amorfe nanodeeltjes in dit systeem, richten we ons op kristallijne (fcc) korrels.

Methoden/Experimenteel

We gebruiken de Morse-potentiaal,

$$ U(r) = D \left[ e^{-2\alpha(r-r_{0})} - 2 e^{-\alpha(r-r_{0})} \right], $$ (2)

om de interactie tussen twee atomen op afstand r te beschrijven. De drie Morse-parameters D, α en r ₀ worden bepaald om de roosterconstante a, de bulkmodulus B en de cohesieve energie E _coh van een bulk fcc vast stof te beschrijven.

Voor definitiviteit fixeren we de roosterconstante op a=3,615 Å (geschikt voor Cu) in deze studie en nemen ook de atoomgewicht van Cu aan, om de massadichtheid ρ in Verg. (1) vast te houden. De potentiaal wordt afgekapt bij r _c =2,5a; dus 12 buurschillen, inclusief in totaal 248 atomen, interageren met elk atoom. Een aantal van 100 potentialen worden geëvalueerd voor B in het bereik van 403 tot 1008 GPa, en E _coh in het bereik van 0,35 tot 3,54 eV. Let op dat de bestudeerde bulkmoduli groter zijn, en de cohesieve energien kleiner zijn, dan de waarden van echt Cu (B=134,4 GPa, E _coh=3,54 eV [11]), aangezien voor de echte waarden geen stuitering werd waargenomen.

We bepalen de indentatiemodulus E _ind voor uniaxiale spanning in (100) richting uit de Young-modulus en het Poisson-getal in deze richting ([12], blz. 32). Figuur 1a toont de afhankelijkheid van E _ind op B. We zien dat deze grootheden een lineaire relatie volgen; bij constante bulkmodulus laat een afname van de cohesieve energie E _ind toenemen.

Materiaalparameters. Afhankelijkheid van a de indentatiemodulus E _ind op de bulkmodulus B en van b de oppervlakte-energie γ op de cohesieve energie E _coh

De oppervlakte-energie van (100) facetten wordt berekend uit het energieverschil van een bulk kristal en een kristal met een open (100) oppervlak door te delen door de oppervlakte van het open oppervlak [13]. Figuur 1b toont dat γ ruwweg evenredig is met E _coh; afwijkingen zijn alleen zichtbaar voor kleinere stijfheden en sterk gebonden materialen.

We construeren korrels door een bol met straal R=9a=33 Å uit het fcc rooster te snijden, wat ongeveer 12.000 atomen bevat. Vanwege hun constructie hebben ze een gefacetteerd oppervlak. Ze worden gerept om hun oppervlakken te equilibreren; lichte oppervlakterelaxatie, maar geen reconstructie van het oppervlak werd waargenomen. De botsingen worden gestart door de korrels te dupliceren en ze naar elkaar te schieten met een relatieve snelheid v. Alleen centrale botsingen worden overwogen, waar de twee tegenovergestelde (100) facetten frontaal botsen, zie Fig. 2.

Initiële opzet van de botsing

Voor het bepalen van de stuiter-snelheid voeren we botsingen uit met verschillende snelheden. Het hier gebruikte algoritme is gebaseerd op een simpele bisectie-schema. We verifieerden dat botsingen met een snelheid van 250 m/s stuiteren voor alle botsingssystemen bestudeerd hier, terwijl bij nihil snelheid botsingen plakken. Vervolgens worden simulaties uitgevoerd op het rekenkundig gemiddelde van de laagst bekende stuiter-snelheid en de hoogst bekende plak-snelheid. Deze procedure wordt herhaald tot het verschil tussen de hoogste plak-snelheid en de laagste stuiter-snelheid minder dan 10% van hun gemiddelde waarde is. v _b wordt genomen als het rekenkundig gemiddelde van de hoogste plak-snelheid en de laagste stuiter-snelheid; deze twee laatste waarden worden ook genomen om de fout van onze berekening in de plots aan te duiden. De simulaties werden uitgevoerd met de open-source software LAMMPS [14], en de code is essentieel hetzelfde als die gebruikt in onze eerdere studies over botsingen van silica [7] en water-ijs deeltjes [15].

Resultaten

Figuur 3 geeft een overzicht over de verkregen resultaten. Een algehele machtswet-fit wordt gegeven door

$$ {v_{b}} \propto \gamma^{0.588} E_{\text{ind}}^{-0.155}. $$ (3)

Stuiter-snelheid. Driedimensionale plot van de afhankelijkheid van de stuiter-snelheid v _b op de indentatiemodulus E _ind en de oppervlakte-energie γ

Dus worden de hoofdkenmerken van de JKR-wet, Verg. (1) – een toename van v _b met adhesie en een afname met elastische stijfheid – gereproduceerd, maar de afhankelijkheden zijn zwakker dan in het JKR-geval.

Figuur 4 kijkt in meer detail naar deze afhankelijkheden. Aangezien we de stuiter-snelheden bepaalden voor materialen met ofwel vast B ofwel E _coh, zullen we ze analyseren voor deze vaste waarden, maar de afhankelijkheden presenteren in termen van E _ind en γ om verbinding te maken met de JKR-voorspelling, Verg. (1). Voor constante cohesieve energie E _coh, hangt v _b als een machtswet af van de elastische stijfheid,

$$ v_{b} \propto E_{\text{ind}}^{-a}, $$ (4)

Stuiter-snelheid. Afhankelijkheid van de stuiter-snelheid v _b op de a indentatiemodulus E _ind en de b oppervlakte-energie γ. Lijnen duiden machtswet-fits aan. c toont de afhankelijkheid van de machts-exponent, a, Verg. (4), op de cohesieve energie. De lijn duidt een lineaire fit aan ter orientatie

waar a=0,28 (0,26, 0,02) voor E _coh=3,54 (2,12, 0,35) eV. Dus de exponent a=0,33 voorspeld door JKR wordt inderdaad bijna hersteld voor hoge oppervlakte-energieën; de afhankelijkheid wordt echter zachter met afnemende γ en verdwijnt geheel voor zwak adhesieve oppervlakken. Let op dat in het geval van verdwijnende oppervlakte-energie alle botsingen stuiterend moeten zijn; dit verklaart de verdwijnende rol van de elastische stijfheid in dit geval.

Figuur 4c toont de machts-exponenten van de afhankelijkheid van v _b (E _ind), Verg. (4), verkregen uit onze simulaties. De plot toont duidelijk de toename van de afhankelijkheid van E _ind met toenemende cohesieve energie, en dus oppervlakte-energie, zoals aangegeven door de rode lineaire fitlijn.

Voor vaste elastische stijfheid, B, toont de afhankelijkheid van v _b op γ een eenvoudiger plaatje, zie Fig. 4c. Machtswet-fits, v _b ∝γ ^−b, geven redelijk consistente waarden van b=0,67 (0,59, 0,53) voor B=403 (739, 1008) GPa, en tonen dus slechts een milde afhankelijkheid van B en dus E _ind. Let op dat deze afhankelijkheden zachter zijn dan de waarde van b=0,83 voorspeld door Verg. (1). Met toenemende stijfheid worden de afwijkingen van de JKR-voorspelling sterker. Inderdaad, het is bekend dat JKR faalt voor te stijve systemen [16, 17]. Voor dergelijke systemen wordt de Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) theorie [18] beter van toepassing geacht; echter, geen voorspelling voor de stuiter-snelheid lijkt uit die theorie voortgekomen te zijn.

Over het algemeen zijn de gevonden stuiter-snelheden hieronder 100 m/s. We benadrukken dat voor realistische waarden van de Morse-potentiaal passend voor Cu, we plakken vinden over het hele bereik van snelheden, en geen stuitering. Dit is in lijn met recente simulaties van Cu-sfeer (7–22 nm diameter) botsingen met een Al-oppervlak uitgevoerd door Pogorelko et al. [19, 20] die plakken vinden tot snelheden van 1000 m/s. De reden dat we wel stuitering vinden in onze simulaties is dat we modelpotentialen gebruiken waarin de elastische moduli ruimschoots verhoogd zijn, en de oppervlaktebinding verlaagd is, ten opzichte van de waarden die echt Cu kenmerken.

Boven de stuiter-drempel worden botsingen gekenmerkt door de restitutiecoëfficiënt,

$$ e= |v'|/|v|, $$ (5)

die de relatieve snelheid na botsing, v ^′, vergelijkt met die voor de botsing, v, en dus de inelastischheid van de botsing meet. Voor plakende botsingen is duidelijk e=0. JKR-theorie suggereert een wet [4–6]

$$ e_{\text{JKR}} = \alpha \sqrt{1- \left(\frac{v_{b}}{v} \right)^{2}}, $$ (6)

waar we de factor α introduceerden om energiedissipatie in rekening te brengen [7].

Figuur 5 toont twee gevallen van de snelheidsafhankelijkheid van e; we vinden deze representatief voor het gehele bereik van stijfheid en adhesiewaarden onderzocht. In al deze gevallen is er geen grote energiedissipatie tijdens de botsing; α is rond 0,9. Bij voldoende grote oppervlakte-energieën, Fig. 5a, volgt e redelijk goed de JKR-voorspelling, Verg. (6). Bij kleine γ, echter, Fig. 5b, wordt een smalle overgangszone gezien, waarin e schakelt van 0 naar bijna 1; deze overgangszone wordt niet goed beschreven door de JKR-voorspelling, Verg. (6).

Restitutiecoëfficiënt. Afhankelijkheid van de restitutiecoëfficiënt, e, op botsingssnelheid, v, voor een sterke (γ=2,32 J/m²) (a) en een zwakke (γ=0,89 J/m²) (b) adhesieve oppervlakte. De bulkmodulus is identiek in beide gevallen, B=940,8. Symbolen duiden simulateresultaten aan, terwijl de curve een fit is aan de JKR-voorspelling, Verg. (6), met α=0,86 (a) en 0,95 (b)

Discussie

In het plakregime blijft de restitutiecoëfficiënt onder 1 wat inelastische energieverliezen tijdens de botsing aangeeft. We verifieerden dat de botsingen puur elastisch zijn in de zin dat geen permanente plasticiteit werd gegenereerd tijdens de botsing; de softwaretool OVITO [21] werd gebruikt om op dislocatieproductie te controleren. Bij hogere snelheden, v>100 m/s, en compliant spheren, werden dislocaties tijdelijk gevormd maar verdwenen weer na de botsing. We merken op dat tijdens de botsing van vergelijkbaar grote kristallijne nanospheren die interageren via de generieke Lennard-Jones potentiaal, ample dislocatieproductie gedetecteerd kon worden [22, 23], terwijl schuiftransformatie-zones geïdentificeerd werden in de botsing van amorfe silica-spheren [7], beide botsingssystemen dus plasticiteit vertonen. In ons geval voorkomen de hoge elastische moduli de vestiging van plastic vervorming; inelastische energieverliezen worden alleen veroorzaakt door de opwekking van trillingen in de gebotste spheren. Het kan geconcludeerd worden dat het bestaan van stuiterende botsingen verbonden is met een onderdrukking van inelastische verliezen tijdens de botsingen en dus met de onderdrukking van plastic vervorming.

Het gedrag van e voor kleine γ onderstreept onze bovenstaande bevindingen voor v _b dat grote afwijkingen van JKR getoond worden voor zwak adhesieve systemen. We concluderen dat voor zwakke adhesie de stuiter-snelheid, en ook de toestand van het systeem na stuiteren, slechts zwak afhangen van andere systeemeigenschappen zoals E _ind en v.

Conclusies

De voorspelling van de JKR-theorie van adhesieve elastische contacten is getest door toegewijde MD-simulaties van nanokorrels met modelpotentialen. We vinden dat de grote trends van de afhankelijkheid van de stuiter-snelheid redelijk goed gereproduceerd worden door JKR-theorie bij het variëren van de materiestijfheid en materiaaladhesie met tot een orde van grootte. Echter, we vinden systematische afwijkingen voor zwak adhesieve korrels; in dit geval wordt de stuiter-drempel onafhankelijk van de materiestijfheid, en de restitutiecoëfficiënt vertoont bijna geen snelheidsafhankelijkheid boven v _b . Ook voor sterkere adhesie is de afhankelijkheid van de stuiter-snelheid op γ systematisch kleiner dan die voorspeld door JKR.

Deze afwijkingen wijzen op een onvolledige beschrijving van nanodeeltjesbotsingen door macroscopische contacttheorie. Toekomstig werk zal proberen deze studie uit te breiden naar kristallijne korrels met andere oriëntaties en met grotere stralen, en naar amorfe korrels.