Accurate energie-inschatting van supercondensatoren met fractionele differentiaalmodellen

waar f(l)=0 voor l<0 en L de lengte is van model (6) [23]. Het verminderen van het aantal monsters resulteert in verminderde berekeningsnauwkeurigheid. Dit is belangrijk voor systemen die in continue tijd werken. Sommige andere soorten oplossingen zijn algoritmen die fractionele differentiaal-integralen benaderen met gehele-orde modellen. Een voorbeeld kunnen Oustaloup recursieve filters [35] zijn. Een andere effectieve eindige-lengte model is de FFLD, een combinatie van het afgekapte model (6) en een Laguerre-gebaseerd verschil [24, 36, 37].

Alle resultaten van identificatie alsook energiemetingen worden verkregen gebaseerd op alle monsters in het (lange) observatievenster L, d.w.z. met maximale nauwkeurigheid. Figuur 1 presenteert de stapresponsen van integratie en differentiatie verkregen op basis van (6), voor k=0,1,…,L en voor verschillende waarden van integratie/differentiatie orde α. Door verschillende waarden van orde α aan te nemen, kan men nauwkeuriger verschillende fysieke processen modelleren, met name diffusieprocessen.

Parameterschatting voor fractioneel model

De resultaten van alle energiemetingen en identificatieprocedures gepresenteerd in dit artikel zijn verkregen voor een supercondensator opgeladen vanuit een gecontroleerde spanningsbron. In zo'n systeem moet de supercondensatorstroom i _C (t) beperkt worden door een weerstand R in serie met de supercondensator C (Fig. 2). Schatting van alle supercondensatorparameters wordt uitgevoerd op basis van quadripoolrespons u _C (t) op spanningsstap u(t) aan zijn ingang. Het kiezen van de juiste waarde van afgeleideorde α stelt in staat om rekening te houden met een supercondensatormodel van de fysieke verschijnselen gerelateerd aan diffusieprocessen geassocieerd met de ladingherverdeling tijdens oplaad- en ontlaadprocessen. De parallelle weerstand r _P stelt additioneel in staat om de lekkagestroom te modelleren. Met behulp van fractionele differentiaalcalculus voor het modelleren van supercondensatoren, kan de modelstructuur van lage complexiteit zijn. Voor supercondensator opgeladen van de spanningsbron, bestaat een model uit slechts twee elementen, d.w.z. een eenvoudige RC quadripool (Fig. 2a). Voor lage capaciteiten is de serieweerstand r _S van belang (Fig. 2b), terwijl de lekkagestroom I _L additioneel voorgesteld kan worden door de parallelle weerstand r _P (Fig. 2c). Met behulp van fractionele orde calculus om de supercondensator te modelleren, kan de relatie tussen de spanning op condensatorklemmen en zijn stroom worden uitgedrukt als:

waar de operator d^α/dt^α een differentiatieoperator van orde α betekent en de SI-eenheid van C _α is [F/sec^1−α]. De basale supercondensatorconfiguratie gepresenteerd in Fig. 2a kan behandeld worden als een eerste-orde inertiesysteem en kan voorgesteld worden door de fractionele overdrachtsfunctie:

waar T=RC _α . Rekening houdend met de serieweerstand r _S (Fig. 2b), wordt het circuit behandeld als een fase-vertragend correctiesysteem met de overdrachtsfunctie (vergelijk [24]):

waar T₁=C _α (R+r _S ) en T₂=r _S C _α . Additioneel, toelatend voor de parallelle weerstand r _P die de lekkagestroom I _L voorstelt (Fig. 2c), kan de systeemoverdrachtsfunctie worden uitgedrukt als:

waar K=R/r _P +1, T₁=C(Rr _s /r _P +R+r _S ) en T₂=r _S C. In het tijddomein kan Verg. (10) worden gepresenteerd als:

De tijdsrespons van het model gedefinieerd door (11) werd verkregen door het te transformeren in de vorm gepresenteerd grafisch in Fig. 3, waar integratie en differentiatie bewerkingen van fractionele orde α zijn. Dit model werd gebruikt tijdens het proces van schatting van supercondensatorparameters. De geteste supercondensator werd geïdentificeerd met het systeem gepresenteerd in Fig. 4a. De controleprocedure van het gehele systeem werd ontwikkeld met Matlab/Simulink software met xPC Toolbox. Het systeem bestond uit een desktop PC (xPC Target) met de geïnstalleerde meetkaart NI-DAQ en mastercomputer (xPC Host). De computers waren met elkaar verbonden via het Ethernet-netwerk. De supercondensator werd opgeladen en ontladen door (spanningsgecontroleerde) spanningsbron (Fig. 4b) van stroomrendement tot ± 3 A. Het meetsysteem werd bediend met een bemonsteringsfrequentie van 100 Hz, terwijl alle metingen en analoge regelsignalen met 16-bit resolutie verwerkt werden [25].

De hoofdmethode voor het bepalen van de dynamische eigenschappen van een systeem is gebaseerd op de analyse van de staprespons [38]. In relatie tot het systeemmodel stelt deze methode schatting van zijn parameters toe. Voor deze studie is het stapssignaal met verschillende spanningen (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) en constante duur (500 s) gebruikt (zie Fig. 5 en Tabel 2). Aan de andere kant is een van de typische toepassingen van supercondensatoren de opslag of levering van energie in energiestelsels. In dit geval is de spanningveranderingssnelheid redelijk klein. Om dit te simuleren, werd het 400 mVpp en 0,03 rad/s signaal met 2 V offset gebruikt (Fig. 6). Daarnaast, om de invloed van spanning- en frequentieveranderingen op geschatte parameters te onderzoeken, werden verschillende waarden van de laatste gebruikt (zie Tabel 3).

Er zijn verschillende methoden voor schatting van modelparameters. Het hoofddoel van de identificatieprocedure in het tijdsdomein toegepast in dit werk was het schatten van de vector van onbekende parameters θ=[α,C _α ,r _S ,r _P ] van fractioneel model gepresenteerd door (11). De kleinste-kwadraten methode werd gebruikt om de initiële fout te minimaliseren. Een optimalisatiecriterium betrof minimalisatie van de standaardfout \(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\), waar

waar u _C (k) de uitgangsspanning is gemeten van het geteste systeem op moment k, terwijl \(\hat {u}_{C}(k)\) de uitgangsspanning is van het overwogen model voor het invoersignaal u(k). Het identificatieprobleem is nu gereduceerd tot het vinden van een parametervector θ∈Θ _ad die het kwadraatcriterium J zo minimaliseert dat:

waar Θ _ad de verzameling van toelaatbare parameterwaarden aanduidt en N de simulatiettijd betekent. Er zijn veel optimalisatie-algoritmen die gebruikt kunnen worden om probleem (13) op te lossen. De resultaten gepresenteerd in dit artikel zijn verkregen door het genetisch algoritme te implementeren in de Matlab-omgeving.

Energieberekening

Een verandering in de opgeslagen energie in de supercondensator hangt af van het aan de condensator geleverde vermogen per tijdseenheid en kan als volgt worden beschreven:

Door het aan de condensator geleverde vermogen uit te drukken als een product van de stroom en spanning op condensatorklemmen, kan de energieverandering op gegeven tijd t worden uitgedrukt als:

De totale energie tijdens het tijdsinterval [t₁,t₂] kan verkregen worden door de energieveranderingen over die tijd te integreren:

Rekening houdend met Verg. (7), kan de totale energieopslag worden bepaald als:

Aannemend t₁=0 en \(E_{t_{1}}=0\), is de totale energie opgeslagen in de supercondensator tijdens het tijdsinterval [0,t]:

Let op dat voor α=1 Verg. (18) gereduceerd kan worden tot de klassieke:

Resultaten en discussie

Initieel werd de procedure voor het schatten van de parametervector van het supercondensatormodel met behulp van fractionele calculus uitgevoerd. De schatting werd uitgevoerd op basis van het systeem gepresenteerd in Fig. 2c, genererend een spanningsstap of sinusoïdale golf aan de ingang. De modelresponsen werden berekend op basis van (11). De resultaten verkregen door de twee identificatieprocedures zijn zeer vergelijkbaar, met name in het geval van fractionele capaciteit C _α en de fractionele orde α (zie Tabel 1). Enkele verschillen in de schattingen van serieweerstand r _S kunnen een gevolg zijn van de frequentie-afhankelijkheid. Het stapssignaal bestaat uit veel hoge-frequentie harmonischen terwijl de sinusoïdale golf er slechts één heeft – de 0,03 rad/s. De gepresenteerde resultaten zijn verkregen voor de commerciële supercondensator Samwha Green-Cap EDLC(DB), gewaardeerd als 2,7 V met 100 F nominale capaciteit en 8 mΩ maximum equivalente serieweerstand (r _S ) bij 1 kHz.

Figuren 5a en 6a tonen de gemeten supercondensatorspanning en de berekende modelresponsen, voor stap- en sinusoïdale signalen respectievelijk, terwijl Fig. 5b en 6b de modelresponsfout tonen.

Alle verkregen resultaten tonen hoge consistentie tussen modelresponsen en echte metingen ondanks dat relatief eenvoudige modellen voorgesteld werden. Sommige discrepantiën kunnen voortvloeien uit het feit dat modelparameters geschat moeten worden in het systeem van supercondensator opgeladen en ontladen met de stroom bron [25]. Ook, zeer hoge schattingen van r _P kunnen suggereren dat deze weerstand uitgesloten kan worden uit het supercondensatormodel getoond in Fig. 2c. Die zeer hoge schattingen en hun hoge discrepanties voor verschillende invoeren duiden erop dat de testsignalen gebruikt om deze parameter te schatten niet passend zijn. Model (10) werd gebruikt als de meest algemene vorm. Echter, om alle parameters ervan nauwkeurig te bepalen, was het nodig om andere procedures en testsignalen te gebruiken. De waarde van r _P karakteriseert de lekkagestroom I _L en moet bepaald worden met het constante spanningssignaal, maar voor een heel lange tijd – in de orde van enkele tientallen uren.

Hoewel het hoofddoel van de studie was om energie te meten, beïnvloedden verschillende excitatieomstandigheden alle parameterschattingen aanzienlijk (zie Tabel 2). Bijvoorbeeld, de toename van de stapspanningamplitude veranderde de fractionele integratieorde significant, als gevolg van de toenemende invloed van de diffusieverschijnselen binnen de supercondensator. Het kan ook gezien worden uit Tabel 2 dat de supercondensator redelijk niet-lineair is. Als gevolg van de integratieordeveranderingen, wordt ook de variatie van de fractionele capaciteit waargenomen. Dit geldt ook voor sinusoïdale excitatie. De waarden van geschatte parameters – met name α en C _α – hangen af van de amplitude en frequentie (zie Tabel 3). Voor lage frequenties is de amplitudewaarde belangrijk, terwijl voor hogere frequenties de supercondensator zich gedraagt alsof geëxciteerd met een constante spanning.

Energieberekening

Figuren 7a en 8a tonen gemeten waarden van de spanning en stroom van de supercondensator voor de configuratie zoals gepresenteerd in Fig. 4b. Deze waarden werden gebruikt voor berekening van de totale energie opgeslagen in de condensator (gemarkeerd als E₁ in Fig. 7b en 8b) volgens (16). Net als voor parameteridentificatieprocessen, werden de berekeningen uitgevoerd zowel voor spanningsstap als sinusoïdale golf aan de systeeminvoer. De op deze manier berekende energie voor elk tijdstip t werd vergeleken met energie berekend op basis van spanning en capaciteit in overeenstemming met (19) (gemarkeerd als E₃ in Fig. 7b en 8b) en energie berekend met fractionele-orde calculus (gemarkeerd als E₂ in Fig. 7b en 8b) volgens (18). Voor Verg. (19) werd een nominale waarde van supercondensator aangenomen (C _n ), terwijl in (18) de waarde verkregen uit het schattingsproces gepresenteerd in Tabel 1 werd gebruikt. Figuur 7b toont resultaten van metingen en energieberekeningen voor spanningsstap, terwijl Fig. 8b dezelfde grootheden toont voor sinusoïdale golf. Vergelijkbare berekeningen werden gemaakt voor verschillende spanningsstappen en sinusoïdale excitaties. Figuur 9a, b toont een voorbeeld van gemeten en berekende energiëen voor twee spanningsstappen van 0,5 V en 2,7 V respectievelijk. Figuur 10 toont de energieveranderingen voor een sinusoïdaal signaal met frequentie 0,03 rad/s en verschillende amplituden van 0,1/0,25/0,5 en 0,7 V. Het kan gezien worden dat de verschillen in de bepaalde energie waarden overeenkomen met verschillen in de geschatte waarden van de fractionele orde α. Hoe groter het verschil van de waarde −1, hoe groter het verschil in de berekende energiëen.

Discussie

Het gebruik van poreuze materiale elektrod in supercondensatoren in vorm van geactiveerd koolstof geïsoleerd door een heel dun scheider en gebruik van ladingopslagmechanismen als zogenaamde dubbellaag, geeft een enorme toename in hun capaciteit. Echter, toepassing van nieuwe materialen en nieuwe ontwerpoplossingen resulteren in het feit dat traditionele wiskundige berekeningen in vorm van gehele-orde afgeleiden en integralen onnauwkeurig blijken. De uitgevoerde metingen en berekeningen bewijzen de fractionele-orde aard van supercondensatoren. Door correcte schatting van niet-gehele orde α van afgeleide/integraal, kan men precies verschijnselen en processen die plaatsvinden binnen de supercondensator modelleren met eenvoudige wiskundige modellen.

Rekening houdend met de echte waarde van de geaccumuleerde energie bepaald door (16), onder-schat het gehele-orde model met nominale parameters (19) het bedrag van energie, terwijl het fractionele model (18) bijna dezelfde waarde aangeeft.

De uitgevoerde tests en metingen waren gerelateerd aan oplaad en ontlading van de supercondensator door een spanningsbron. Onder industriële omstandigheden worden supercondensatoren meestal opgeladen en ontladen door stroom bronnen. Dit kan de aard van het systeem veranderen omdat de condensator niet langer een inertiesysteem is maar een typisch integrerend systeem wordt. Echter, de metingen uitgevoerd door de auteur wijzen ook op het voorkomen van diffusieprocessen in dergelijke gevallen. Toch wordt de bruikbaarheid van de Grünwald-Letnikov afgeleide/integraal hier bevestigd. Een ander punt betreft de implementatie van de GL differentiaal-integrale operator als, bijv., het eindige of afgekapte GL verschil (6), wat computationeel zwaar kan zijn. In toekomstig onderzoek zullen we de Oustaloup [35] en FFLD [24, 36, 37] benaderingen vergelijken om het implementatieprobleem effectief op te lossen.

Het bedrag van energieopslag in supercondensator berekend alleen op de gemeten waarde van supercondensatorklemspanning en met model (19) is niet passend. Model (19) is alleen geldig als de condensatorstroom gekenmerkt wordt door de gehele-orde afgeleide van de condensatorspanning (i _C (t)=du _C (t)/dt). Dit is niet waar voor supercondensator als gevolg van zijn constructie en gebruikte speciale materialen. Echter, hetzelfde probleem treedt op bij zeer grote supercondensatoren opgeladen door stroom bron. Er zijn ook vrij nieuwe elementen als super-batterijen. In al deze toepassingen worden de stroomveranderingen niet gekenmerkt door de gehele-orde afgeleide van de klemspanning als gevolg van de specifieke eigenschappen van deze elementen.

Conclusies

In dit artikel is een nieuwe benadering voor schatting van een bedrag geaccumuleerde energie in supercondensatoren gepresenteerd. De analyse is uitgevoerd door gebruik te maken van bepaalde unieke eigenschappen van fractionele-ordermodellen. Er is aangetoond dat toepassing van dergelijke gesofisticeerde modellering leidt tot zeer nauwkeurige resultaten, die verkregen kunnen worden zelfs als de modellen zelf niet van hoge complexiteit zijn. Dit is te danken aan een natuurlijke vermogen van niet-gehele orde dynamica om diffusieprocessen te modelleren, net zoals ladingherverdeling in supercondensatoren. De resultaten van dit artikel hebben de fractionele aard van supercondensatoren bevestigd.