Pseudospin-afhankelijke eenrichtingstransmissie in op grafeen gebaseerde topologische plasmonische kristallen

Methoden

We onderzoeken de bandtopologie van SPP's in een 2D-plasmonisch kristal van een reeks periodiek gerangschikte grafeen-nanoschijven omgeven door hetzelfde vel grafeen met verschillende chemische potentiaal zoals weergegeven in figuur 1a. De roosterconstante a = 40 nm, μ _c1 , en r zijn de chemische potentiaal en stralen van de grafeen-nanoschijven; μ _c2 geeft het chemische potentieel van het omringende grafeen aan. Door de Maxwells-vergelijkingen met randvoorwaarden op te lossen, verkrijgen we de dispersierelatie voor transversale magnetische (TM)-gepolariseerde SPP-modi die worden ondersteund op de grafeenlaag die wordt omgeven door lucht en silica [29]:

een Schema's van de 2D GPC's. b De Brillouin-zones. c Bandstructuur van het rooster op basis van de ruitvormige primitieve eenheidscel aangegeven met groene stippellijnen, de inzetstukken plotten de eigen elektrische veldverdelingen van het Dirac-punt. d Bandstructuur van het rooster op basis van de hexagonale eenheidscel, de inzetstukken plotten de eigen elektrische veldverdelingen van het dubbele Dirac-punt. De andere parameters zijn ingesteld als μ _c1 = 0,3 eV, μ _c2 = 0,6 eV, τ = 1 ps, de roosterconstante a = 40 nm

Hier, ε ₀ is de vacuümdiëlektrische constante van vrije ruimte, k ₀ = 2π/λ is het golfnummer in de vrije ruimte, en λ is de werkende golflengte in vacuüm. In het midden-infraroodgebied wordt aangenomen dat de diëlektrische constanten van lucht en silica overeenkomend met super en substraten ε zijn _Lucht = 1 en ε _SiO2 = 3.9 respectievelijk [30]. In het niet-achterlijk regime waar β » k ₀ , de Vgl. (3) kan worden vereenvoudigd tot [31].

$$ \beta ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega} {\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

waar β is de voortplantingsconstante SPP's op de grafeenlaag en de effectieve brekingsindex n _eff van de SPP-modus kan worden afgeleid uit n _eff = β /k ₀ . σ _g is de oppervlaktegeleidbaarheid van grafeen samengesteld uit de bijdragen van intraband en interband, d.w.z. σ _g = σ _intra + σ _inter [29, 30]. De intraband geleidbaarheid σ _intra overeenkomend met het intraband elektron-fotonverstrooiingsproces wordt gegeven door

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\mathrm{\hslash}}^2\left(\omega +i/\tau \ rechts)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}} {k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

waar μ _c is de chemische potentiaal gerelateerd aan de elektronendichtheid, e is de elektronenlading, ω is de hoekfrequentie van het plasmon, ℏ en k _B zijn respectievelijk de gereduceerde constante van Planck en de constante van Boltzmann, T is de temperatuur, en τ vertegenwoordigt de relaxatietijd van het elektronenmomentum als gevolg van verstrooiing van ladingsdragers. Voor ℏω » k _B T en |μ _c | » k _B T , de interband geleidbaarheid σ _inter overeenkomend met interband-elektronovergangen kan bij benadering worden uitgedrukt als

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \mathrm{\hslash}}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{ \mathrm{c}}\mid -\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\mathrm {\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

Resultaten en discussie

De energiebandstructuren van de voorgestelde plasmonische kristallen worden verkregen door gebruik te maken van de op eindige elementenmethode (FEM) gebaseerde commercieel beschikbare software COMSOL Multiphysics. In Fig. 1a zien we dat zowel de ruitvormige eenheidscel van twee grafeen-nanoschijven (groen gestippelde ruit gedefinieerd door vectoren a _s1 en een _s2 ) en de hexagonale eenheidscel van zes grafeen-nanoschijven (met roostervectoren a ₁ en een ₂ ) kan de honingraat-rooster plasmonische kristallen vormen. Figuur 1b toont de BZ's voor de ruitvormige en hexagonale eenheidscellen, met de irreducibele zones van M_II -Γ _II - K_II - M_II en M_ik -Γ _Ik - K_Ik - M_Ik respectievelijk. Merk op dat de hexagonale eenheidscel drie keer groter is dan de ruitvormige primitieve cel. Daarom is de eerste BZ van de ruitvormige primitieve eenheidscel drie keer groter dan die van de hexagonale (blauwe regio in figuur 1b). Bij het nemen van een ruitvormige primitieve eenheidscel, vertoont dit plasmonische kristal Dirac-kegeldispersie op K_II en K_II ` wijst in de BZ-hoeken zoals weergegeven in Fig. 1c. De inzetstukken in figuur 1c tonen de eigen elektrische veldverdelingen van de twee gedegenereerde toestanden op het Dirac-punt. Vergelijkbaar met de pseudo-spins in klassieke fotonische en akoestische systemen [17, 19, 20], om de analoog van de pseudo-spins in het plasmonische systeem na te bootsen, moet de vrijheidsgraad worden verhoogd tot tweevoudige toestanden. Er zijn dus viervoudig gedegenereerde dubbele Dirac-kegels in de plasmonische bandstructuur vereist. Door gebruik te maken van een zonevouwmechanisme [18], worden de Dirac-kegels bij K<sub>II</sub> en K<sub>II</sub> ` punten worden gevouwen tot een dubbele Dirac kegel bij Γ punt in het BZ-centrum bij het nemen van de grotere zeshoekige eenheidscel (zoals weergegeven in Fig. 1d). De inzetstukken in figuur 1d tonen de viervoudige gedegenereerde eigentoestanden met dipool- en quadrupoolmodi. De relatieve parameters die we gebruiken zijn μ _c1 = 0,3 eV, μ _c2 = 0,6 eV, en τ = 1 ps, die matig zijn gekozen uit de eerdere onderzoeken voor praktisch grafeen [32, 33].

De viervoudig gedegenereerde dubbele Dirac-kegels bestaande uit twee dipolaire en twee quadrupolaire modi zijn geassocieerd met twee 2D-onherleidbare representaties van een C_6v puntengroep, namelijk E₁ modi van oneven ruimtelijke pariteit en E₂ modi van zelfs ruimtelijke pariteit. Volgens de conventionele notatie die algemeen wordt gebruikt in de kwantummechanica [34], kunnen we deze modi classificeren in de p _x /p _j en d _x2-y2 /d _xy modi volgens hun eigen E _z veldverdelingen getoond in Fig. 2. Vervolgens, om een ​​niet-triviale topologische bandgap te openen bij de Γ punt, nemen we verdere aanpassingen (d.w.z. het vervormen van het honingraatrooster van a /R = 3) op de hexagonale eenheidscel om de symmetrie te doorbreken. Bij het verkleinen van de grafeen-nanoschijven tot a /R =-3,2, splitst de viervoudig gedegenereerde dubbele Dirac-kegel zich in twee tweevoudig gedegenereerde toestanden en een bulkband gap geopend van 62,1 tot 63,5 THz, zoals weergegeven in figuur 2a. De E _z velden van de lagere banden hebben een paar dipoolmodi die p . vertonen _± karakters, terwijl de bovenste banden een paar quadrupoolmodi hebben die d . vertonen _± tekens rond de Γ punt, wat consistent is met de klassieke fotonische theorie dat de dipoolmodi een lagere frequentie moeten vertonen dan de quadrupoolmodi van hogere orde. Er vindt echter een bandinversie plaats bij het uitbreiden van de grafeen-nanoschijven naar a /R =-2,9, d.w.z. de dipoolmodi stijgen boven de quadrupoolmodi, wat de topologische niet-triviale bandkloof tot stand brengt van 62,4 tot 63,3 THz, zoals weergegeven in figuur 2c. Figuur 2d, e illustreert het proces van topologische overgang tussen p _± en d _± toestanden en de magnetische velden in het vlak geassocieerd met p _± en d _± zijn gemarkeerd met witte pijlen. Het impulsmoment van de golffunctie van E _z velden p _± = (p _x ± ip _j )/\( \sqrt{2} \) en d _± = (d _x2-y2 ± id _xy )/\( \sqrt{2} \) vormen verder de pseudospin in de huidige plasmonische kristallen [17, 18].

Bandstructuren van de GPC's met a een /R = 3.2, b een /R = 3, en c een /R = 2.9. d , e De E _z veldverdelingen van dipoolmodi en quadrupoolmodi van de p _± en d _± staten in a en c respectievelijk. De witte pijlen geven het magnetische veld in het vlak weer dat hoort bij E _z veld

Om de topologische eigenschap van de in Fig. 2a, c getoonde bandhiaten verder te onderzoeken, is deze in het algemeen gerelateerd aan een effectieve Hamiltoniaanse beschrijving en topologische getallen. Door de \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) perturbatietheorie toe te passen, wordt de effectieve Hamiltoniaanse H _eff (k ) rond de Γ punt op basis [p ₊ , d ₊ , p ₋ , d ₋ ] kan worden uitgedrukt als [17, 35].

waar k _± = k _x ± ik _j , en A komt van off-diagonale elementen van de eerste-orde verstoringsterm \( {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k }\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle \) met α = 1, 2 en β = 3, 4. De effectieve Hamiltoniaan H _eff (k ) heeft een vergelijkbare vorm als het Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) -model voor het CdTe / HgTe / CdTe-kwantumbronsysteem [36], wat een topologische bandkloof impliceert wanneer de bandinversie plaatsvindt. Gebaseerd op de Hamiltoniaan uitgedrukt in Vgl. (5), we kunnen de spin Chern-getallen van de topologische plasmonische kristallen evalueren als [36].

Hier, M = (E _p – E _d )/2 is het frequentieverschil tussen E ₂ en E ₁ vertegenwoordigingen op de Γ punt. B wordt bepaald door de diagonale elementen van de storingsterm van de tweede orde en is typisch negatief [19]. Dus C _± = 0 wordt verkregen bij een normale bandvolgorde zoals weergegeven in figuur 2a. En we concluderen dat de geopende band gap triviaal is. Echter, M wordt positief wanneer bandinversie optreedt. Daarom, C _± = ±1 wordt eenvoudig verkregen en de opening in figuur 2c is niet triviaal.

Door de bandhiaten te overlappen met verschillende topologieën (d.w.z. topologisch triviaal en topologisch niet-triviaal), kan men randtoestanden creëren die ruimtelijk beperkt zijn rond het grensvlak tussen twee plasmonische kristallen. Hier beschouwen we een lint van topologisch niet-triviaal plasmonisch kristal (met bandstructuur getoond in Fig. 2c) met zijn twee randen bekleed met twee topologisch triviale plasmonische kristallen (met bandstructuur getoond in Fig. 2a) in hetzelfde frequentievenster. De twee triviale gebieden voorkomen dat mogelijke randtoestanden naar de vrije ruimte lekken. In Fig. 3a presenteren we de berekende geprojecteerde bandstructuren langs de Γ K-richting voor zo'n lint, waarbij een bulkbandopening wordt overspannen door extra topologische randtoestanden zoals aangegeven door de dubbele gedegenereerde rode curven. Fig. 3b geeft de elektrische veldverdelingen weer die zijn opgesloten rond het grensvlak dat is geconstrueerd door twee onderscheidende kristallen, overeenkomend met punten A (met k _x = − 0.05π/a ) en B (met kx = 0.05π/a ) gemarkeerd in Fig. 3a. De pseudo-spin-up en spin-down-karakteristieken worden bewezen door fasevortexen van linksom en rechtsom, zoals geïllustreerd in het rechterpaneel van figuur 3b.

een Geprojecteerde bandstructuur voor een supercel bestaande uit 16 niet-triviale eenheidscellen bekleed met 12 triviale eenheidscellen aan beide zijden. b Elektrische veldverdelingen rond het grensvlak tussen de triviale en niet-triviale plasmonische kristallen op de punten A en B, d.w.z. op k _x = − 0,05π/a en 0,05π/a respectievelijk

De pseudospin-afhankelijke unidirectionele transmissie van randtoestanden wordt ook aangetoond in een eindige 20a × 18een rooster geconstrueerd door de triviale en niet-triviale kristallen. Zoals getoond in Fig. 4a, b, eenrichtingsvoortplanting van de SPP-golf naar links (rechts) richting wanneer geëxciteerd door een pseudo-spin-up (spin-down) bron S ₊ (S ₋ ) van tegen de klok in (met de klok mee) circulaire polarisatie van magnetisch veld in het vlak. Een van de meest onderscheidende kenmerken van topologische randtoestanden is dat ze robuust zijn tegen verstoringen/imperfecties. Om deze robuustheid te verifiëren, construeren we scherpe bochten zoals weergegeven in figuur 4c, waar de unidirectionele transmissie van SPP-golf wordt opgewekt door een pseudo-spin-down-bron S ₋ . De SPP-golf verdween uiteindelijk na een lange reisafstand langs de scherpe bochten vanwege het intrinsieke verlies van grafeenmateriaal. Om deze topologische transmissie verder te bevestigen, vertonen we ook de verdeling van de elektrische veldintensiteit door het intrinsieke verlies van grafeen ter vergelijking te negeren. Zoals te zien is in figuur 4d, volgt de SPP-golf de ontworpen route en handhaaft de eenrichtingsvoortplanting met weinig terugverstrooiing.

een Links en b rechtse eenrichtingsrandtoestanden opgewekt door magnetisch veld in het vlak met een π/2 faseverschil:\( {S}_{\pm }={H}_0\left(\overset{\rightharpoonup }{x}\mp i\overset{\rightharpoonup }{y}\right) \). c Topologische randtoestanden die zich langs scherpe bochten voortbewegen. d De verdeling van de elektrische veldintensiteit van de topologische eenrichtingstransmissie zonder rekening te houden met het intrinsieke verlies van grafeenmateriaal