MATLAB Transformaties: Laplace, Fourier en FFT

MATLAB biedt commando's voor transformaties: Laplace, Fourier, FFT. Transformaties vereenvoudigen analyse en bieden andere perspectieven op data.

• Fourier: tijdssignaal → frequentiespectrum
• Laplace: differentiaalvergelijking → algebraïsche vergelijking

Laplace Transformatie

Laplace transformatie van f(t): F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(-st) dt.

Berekenen met laplace(f(t)).

Voorbeelden

syms s t a b w
laplace(a)           % 1/s^2  (waarschijnlijk bedoeld: laplace(a*t) of a/s)
laplace(t^2)         % 2/s^3
laplace(t^9)         % 362880/s^10
laplace(exp(-b*t))   % 1/(b+s)
laplace(sin(w*t))    % w/(s^2 + w^2)
laplace(cos(w*t))    % s/(s^2 + w^2)

Inverse Laplace Transformatie

Met ilaplace:

ilaplace(1/s^3)        % t^2/2
ilaplace(2/(w+s))      % 2*exp(-t*w)
ilaplace(s/(s^2+4))    % cos(2*t)
ilaplace(w/(s^2+w^2))  % sin(t*w)
ilaplace(s/(s^2+w^2))  % cos(t*w)

Fourier Transformatie

Transformatie van f(t) naar frequentiedomein F(ω).

Voorbeeld: Gaussische Functie

syms x
f = exp(-2*x^2);
ezplot(f, [-2,2])
FT = fourier(f)  % (sqrt(2)*sqrt(pi)*exp(-w^2/8))/2
ezplot(FT)

Inverse Fourier Transformatie

Met ifourier:

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))
% f = -2/(pi*(x^2 + 1))

Fast Fourier Transform (FFT)

De fft functie berekent de discrete Fourier transformatie efficiënt (O(N log N)). Gebruikt voor signaalverwerking, spectrumanalyse, etc.

% Basis gebruik
Y = fft(x);           % FFT van vector x
Y = fft(x, n);        % FFT met n punten (zero-padding/truncatie)
y = ifft(Y);          % Inverse FFT