MATLAB voor Calculus: Limieten, Differentiaal & Integralen

MATLAB biedt tools voor differentiaal- en integraalcalculus, differentiaalvergelijkingen en limieten. Je kunt grafieken plotten en extrema vinden via afgeleiden.

Dit hoofdstuk: limieten en eigenschappen. Volgend hoofdstuk: differentiatie. Daarna: integratie.

Limieten Berekenen

De limit functie berekent limieten. Basisvorm: limiet als variabele → 0.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))  % ans = 5/7

Limiet als x → a:

limit((x - 3)/(x-1), 1)  % ans = NaN (oneindig)
limit(x^2 + 5, 3)        % ans = 14

Limieten in Octave

Met symbolic pakket en subs:

pkg load symbolic; symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)  % 0.7142857...

Verificatie Basis Eigenschappen van Limieten

Algebraïsche Limiet Stelling: lim(f±g) = lim f ± lim g, lim(f·g) = lim f · lim g, lim(f/g) = lim f / lim g (mits lim g ≠ 0).

Functies: f(x) = (3x+5)/(x-3), g(x) = x²+1. Limiet x→4.

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)      % 17
l2 = limit(g, 4)      % 17
lAdd = limit(f+g, 4)  % 34
lSub = limit(f-g, 4)  % 0
lMult = limit(f*g, 4) % 289
lDiv = limit(f/g, 4)  % 1

Linker- en Rechterlimieten

Bij discontinuïteiten: linkerlimiet (x→a⁻) ≠ rechterlimiet (x→a⁺) → limiet bestaat niet.

Functie: f(x) = (x-3)/|x-3|. Toon dat lim x→3 niet bestaat.

1. Plot grafiek → toont discontinuïteit
2. Bereken linker/rechterlimiet met 'left'/'right' argument

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')   % -1
r = limit(f,x,3,'right')  % 1

Omdat l ≠ r, bestaat de limiet niet.