MATLAB Integratie: Van Onbepaalde Integralen tot Riemann Sommen

Integratie omvat twee probleemtypen:

1. Onbepaalde integraal: gegeven afgeleide, vind de primitieve functie (anti-differentiatie).
2. Bepaalde integraal: optellen van oneindig veel infinitesimale hoeveelheden → oppervlakte, volume, zwaartepunt, etc.

Onbepaalde Integralen met int

Als f'(x) = 2x, dan ∫ 2x dx = x² + c.

syms x
int(2*x)  % ans = x^2

Voorbeeld 1: Veelvoorkomende Integralen

syms x n
int(sym(x^n))           % piecewise: n=-1 → log(x), anders x^(n+1)/(n+1)
f = 'sin(n*t)'; int(sym(f))  % -cos(n*t)/n
syms a t
int(a*cos(pi*t))        % a*sin(pi*t)/pi
int(a^x)                % a^x/log(a)

Voorbeeld 2: Meer Integralen

int(cos(x))             % sin(x)
int(exp(x))             % exp(x)
int(log(x))             % x*(log(x) - 1)
int(x^-1)               % log(x)
int(x^5*cos(5*x))       % complexe expressie
pretty(int(x^5*cos(5*x)))  % leesbaardere output
int(x^-5)               % -1/(4*x^4)
int(sec(x)^2)           % tan(x)
pretty(int(1 - 10*x + 9*x^2))  % x*(3*x^2 - 5*x + 1)
int((3+5*x-6*x^2-7*x^3)/(2*x^2))
pretty(...)

Bepaalde Integralen met int

Syntax: int(f, a, b) voor ∫ₐᵇ f(x) dx.

int(x, 4, 9)  % 65/2 = 32.5

Octave alternatieven: polyint + polyval, of quad.

Voorbeeld 1: Oppervlakte Onder Curve

y = x³ - 2x + 5, x ∈ [1, 2]

f = x^3 - 2*x + 5;
a = int(f, 1, 2)  % 23/4 = 5.75

Voorbeeld 2: Oppervlakte f(x) = x² cos(x), x ∈ [-4, 9]

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp(double(a))  % 0.3326

Resultaat: 8·cos(4) + 18·cos(9) + 14·sin(4) + 79·sin(9)