Staande golven en resonantie in transmissielijnen begrijpen

Wanneer een impedantie-mismatch optreedt tussen een transmissielijn en zijn belasting, ontstaan gereflecteerde golven. Voor een continue AC-bron interfereren de incidente en gereflecteerde golven om stationaire patronen te vormen bekend als staande golven.

In het onderstaande diagram wordt een driehoekvormige incidente golfvorm gereflecteerd aan het niet-afgesloten einde van de lijn, wat een spiegelafbeelding reflectie produceert. De transmissielijn is als een enkele dikke lijn getekend voor duidelijkheid.

De incidente golf reist van links naar rechts, terwijl de gereflecteerde golf van rechts naar links reist, geïllustreerd in de figuur hieronder.

Incidente golf reflecteert aan het einde van een niet-afgesloten transmissielijn.

Als we de twee golfvormen bij elkaar optellen, vinden we dat een derde, stationaire golfvorm ontstaat langs de lengte van de lijn, zoals getoond in de figuur hieronder.

De som van de incidente en gereflecteerde golven is een stationaire golf.

Deze stationaire golf, de "staande golf", vertegenwoordigt de netto spanning langs de lijn. Hij oscilleert in amplitude maar plant zich niet voort langs de kabel zoals de incidente of gereflecteerde golven doen.

Let op de stippen die de "nul" punten van de staande golf markeren – waar de incidente en gereflecteerde golven elkaars uitschakelen. Deze punten bewegen nooit, zoals geïllustreerd hieronder.

De staande golf plant zich niet voort langs de transmissielijn.

Gevalletjes waar een staande golf wordt geproduceerd

Staande golven verschijnen in veel fysische systemen. Bijvoorbeeld, een snaar of touw dat aan één kant wordt geschud terwijl het andere einde vastzit, produceert een staande golf patroon, met knopen (punten van minimale beweging) en buiken (punten van maximale beweging) die vastblijven langs de lengte van de snaar. Het effect is het meest uitgesproken wanneer de aandrivingfrequentie overeenkomt met een van de natuurlijke frequenties van de snaar.

Geprikkelde snaren vertonen een vergelijkbaar staande-golf gedrag, maar de prik voorziet de snaar van zijn eigen resonante frequentie, wat maximaal constructieve interferentie waarborgt.

Wind die over een open buis waait, creëert ook staande geluidsgolven. Of een knoop of buik aan het einde van de buis verschijnt, hangt af of het einde open (buik) of dicht (knoop) is.

In al deze systemen wordt het staande-golf patroon bepaald door de randvoorwaarden aan de einden.

Voortgang van harmonischen van resonante frequenties

Voor elk staande-golf systeem bestaan meerdere resonante frequenties – elk corresponderend met een integer veelvoud van de fundamentele (laagste) frequentie. Deze hogere frequenties worden harmonischen of overtonen genoemd.

In een open-eindige buis, treedt de eerste harmonische op wanneer een kwart van een golfengte in de buislengte past; de volgende harmonischen zijn bij een half, driekwart, enzovoort. De exacte frequenties hangen af van de fysieke lengte van de buis en de geluidssnelheid in het medium.

Harmonischen (overtonen) in open-eindige buizen

Transmissielijn-resonantie simuleren met SPICE

Transmissielijnen ondersteunen staande golven, en deze golven worden geconstraineerd door de afsluitimpedantie. Wanneer de afsluiting niet matcht met de karakteristieke impedantie van de lijn, treedt resonantie op bij frequenties bepaald door de lengte van de lijn en de voortplantingssnelheid van het signaal.

Ter illustratie, overweeg een perfect gematcht systeem: een bron, een 75 Ω transmissielijn, en een 75 Ω belasting. De SPICE netlist hieronder modelleert dit scenario.

 Transmissielijn v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 75 .ac lin 101 1m 1meg * Using "Nutmeg" programma om analyse te plotten .end 

In dit model heeft de lijn een karakteristieke impedantie van 75 Ω en een voortplantingsvertraging van 1 μs, wat overeenkomt met een fysieke lengte van ongeveer 197 m voor een coaxiale kabel met een snelheidsfactor van 0,66.

Het draaien van de simulatie en het plotten van de bronspanning, de lijn's bron-eind spanning, en de belastingspanning toont dat de bronspanning op 1 V blijft terwijl de andere knopen op 0,5 V blijven. Geen resonanties verschijnen omdat de lijn perfect gematcht is.

Geen resonanties op een gematchte transmissielijn.

Wanneer de belasting wordt gewijzigd in een open circuit (≈999 MΩ), zijn reflecties onvermijdelijk, en resonantie-pieken verschijnen in de frequentie-sweep van 1 mHz tot 1 MHz.

 Transmissielijn v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 999meg .ac lin 101 1m 1meg * Using "Nutmeg" programma om analyse te plotten .end 

Open-eindige transmissielijn.

De analyse onthult vijf sleutelfrequenties: 0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz, en 1 MHz. Op elk van deze punten verandert de spanning- en stroomverdeling langs de lijn op een voorspelbare manier, weerspiegeld het staande-golf patroon.

Bijvoorbeeld, bij 250 kHz, is de lijndikte gelijk aan een kwart van een golfengte. Het belasting-eind wordt een spanningsbuik (maximale spanning) en een stroomknoop (nul stroom). Consequent ziet de bron een open circuit, zelfs al is de belasting fysiek open.

Bij 250 kHz: bron ziet een open circuit.

Bij 500 kHz, herbergt de lijn een half-golf staand patroon, met het bron-eind weer als spanningsbuik en stroomknoop.

Half-golf staande golf op de lijn.

Wanneer de belasting kortgesloten is (≈1 μΩ), wisselen de rollen van spanning- en stroomknopen: het kortgesloten eind wordt een spanningsknoop en een stroombuik.

 Transmissielijn v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 1u .ac lin 101 1m 1meg * Using "Nutmeg" programma om analyse te plotten .end 

Kortgesloten transmissielijn.

Zelfs met een deels gematchte belasting – zeg, 100 Ω op een 75 Ω lijn – blijven staande golven bestaan, maar de amplitude van de pieken en dalen wordt verminderd. De staande-golf verhouding (SWR) voor deze mismatch is 1,333, berekend als de verhouding van de grotere tot de kleinere impedantie.

Zwakke resonanties op een gemismatchte transmissielijn.

In al deze voorbeelden is de gereflecteerde golf 100% van de incidente golf aan het einde van de lijn, maar de spanning- en stroomamplitudes variëren langs de lijn afhankelijk van de frequentie.

Staande-golf verhouding (SWR)

SWR kwantificeert de ernst van staande golven. Het is gedefinieerd als de verhouding van de maximale amplitude (buik) tot de minimale amplitude (knoop) van spanning of stroom langs de lijn.

Voor een open of kortgesloten lijn, is SWR oneindig omdat de minimale amplitude nul is. Voor een perfect gematchte lijn, is SWR 1 omdat spanning en stroom uniform zijn langs de lijn.

Hoge SWR-waarden wijzen niet alleen op inefficiënte energieoverdracht, maar kunnen ook de isolatie en geleiders van de lijn belasten, potentiële doorbraak of oververhitting veroorzakend. Omgekeerd, opereren antennes opzettelijk bij hoge SWR om straling te maximaliseren.

Praktische implicaties

In RF-systemen streven ingenieurs naar lage SWR om maximale energieoverdracht te waarborgen en ongewilde straling te minimaliseren. Echter, bepaalde toepassingen – zoals impedantie-matchtransformatoren of bepaalde antenne-ontwerpen – benutten staande golven om gewenste prestaties te bereiken.

Overzicht

• Staande golven zijn stationaire spanning- en stroompatronen gevormd door de interferentie van incidente en gereflecteerde golven op een transmissielijn.
• Een knoop is een punt van minimale amplitude; een buik is een punt van maximale amplitude.
• Staande golven ontstaan alleen wanneer de afsluitimpedantie van de lijn niet matcht met zijn karakteristieke impedantie.
• Resonantie treedt op wanneer de lijndikte overeenkomt met een kwart-golfengte of de integer veelvouden ervan.
• Harmonischen zijn integer veelvouden van de fundamentele resonante frequentie.
• De staande-golf verhouding (SWR) is de verhouding van maximum tot minimum amplitude; het is gelijk aan de grotere van Zload of Z0 gedeeld door de kleinere. Een gematchte lijn heeft SWR = 1.
• Excessieve staande-golf amplituden kunnen transmissielijnen beschadigen door over-spanning van isolatie of over-verhitting van geleiders.