MATLAB-gids:polynomiale derivaten efficiënt berekenen

In de wiskunde vertegenwoordigt een afgeleide de veranderingssnelheid van een functie ten opzichte van een variabele. In eenvoudige bewoordingen vertelt het ons hoe een functie op een bepaald punt verandert. Derivaten zijn van fundamenteel belang in de calculus en worden veel gebruikt in vakgebieden als natuurkunde, techniek en economie om verandering en beweging te modelleren.

Als u bijvoorbeeld een functie heeft die de positie van een auto in de loop van de tijd beschrijft, geeft de afgeleide van die functie u de snelheid van de auto (snelheid waarmee de positie verandert).

Afgeleiden van veeltermen

Een polynoom is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit variabelen verheven tot verschillende machten, gecombineerd met coëfficiënten. De polynoom P(x) =3x2 + 2x + 5 is bijvoorbeeld een polynoom van de tweede graad.

De afgeleide van een polynoomfunctie wordt gevonden door een eenvoudige regel toe te passen:vermenigvuldig voor elke term de coëfficiënt met de exponent en verminder vervolgens de exponent met 1. Dit proces wordt herhaald voor elke term in de polynoom.

Beschouw bijvoorbeeld de polynoom:

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

De afgeleide , P(x), wordt berekend als −

• Voor de term 3x3:Vermenigvuldig 3 met 3 (de exponent), resulterend in 9x2.
• Voor de term 4x2:vermenigvuldig 4 met 2, wat resulteert in 8x.
• Voor de term 2x:vermenigvuldig 2 met 1, wat resulteert in 2.
• De constante term (1) heeft een afgeleide van 0.

De afgeleide is dus −

P(x) = 9x2 + 8x + 2

Afgeleide producten in MATLAB

MATLAB maakt het eenvoudig om afgeleiden van polynomen te berekenen met behulp van ingebouwde functies. Een polynoom in MATLAB wordt weergegeven door een vector die de coëfficiënten ervan bevat, geordend op afnemende machten van de variabele.

Om de afgeleide van een polynoom te vinden, biedt MATLAB de polyderfunctie.

Syntaxis

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

Syntaxisuitleg

k =polyder(p) berekent de afgeleide van een polynoom gegeven door de coëfficiënten in p, resulterend in een nieuwe polynoom k(x) die de afgeleide d/dx p(x) vertegenwoordigt.

k =polyder(a,b) berekent de afgeleide van het product van twee polynomen a en b, resulterend in een nieuwe polynoom k(x) die representeert.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b) berekent de afgeleide van het quotiënt van twee polynomen a en b, en retourneert twee polynomen:q(x) (de teller) en d(x) (de noemer), die de afgeleide van a(x)/b(x) vertegenwoordigen.

Voorbeeld 1:Derivaat berekenen met polyder(p)

Stel dat we een polynoom

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

Dit polynoom kan worden weergegeven door de vector van zijn coëfficiënten in MATLAB −

p = [4 3 2 1];

Om de afgeleide van dit polynoom te berekenen, gebruiken we de polyderfunctie in MATLAB −

k = polyder(p);

Bij uitvoering van de code in het matlab-opdrachtvenster is de uitvoer .

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

Voor de term 4x3 is de afgeleide 12x2 (vermenigvuldig de coëfficiënt 4 met de exponent 3 en verminder de exponent met 1).

Voor de term 3x2 is de afgeleide 6x.

Voor de term 2x is de afgeleide 2.

Voor de constante term heeft 1 een afgeleide van 0.

Het afgeleide polynoom is dus:

k(x) = 12x2 + 6x + 2

In Matlab is het resultaat van k:[12 6 2]

Voorbeeld 2:Nog een voorbeeld om afgeleiden van een polynoom te vinden

Overweeg de volgende polynoom

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

Dit polynoom kan worden weergegeven door de vector van zijn coëfficiënten in MATLAB −

p = [5 -2 7 -3 8]

Om de afgeleide van dit polynoom te vinden, wordt gebruik gemaakt van de polyderfunctie in matlab.

k = polyder(p)

Dit commando retourneert de coëfficiënten van de afgeleide van polynoom p.

Wanneer u de code uitvoert in het matlab-opdrachtvenster, is de uitvoer:

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

De vector k =[20 -6 14 -3] vertegenwoordigt de polynoom

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

Voorbeeld 3:Afgeleide van het product van twee veeltermen met behulp van polyder(a, b)

Laten we twee polynomen

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

Deze polynomen kunnen worden weergegeven door vectoren van hun coëfficiënten in MATLAB:

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

Om de afgeleide van het product van deze twee polynomen te berekenen, gebruiken we de polyderfunctie met twee invoerargumenten.

k = polyder(a, b);

Dit levert de coëfficiënten op van de afgeleide van het product van a(x) en b(x).

Wanneer u de code in het matlab-opdrachtvenster uitvoert, is de uitvoer die we krijgen:

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

Het afgeleide polynoom is dus:k(x) =24x2 + 44x + 19

Voorbeeld 4:Afgeleide van twee gegeven polynomen

Beschouw twee verschillende polynomen.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

Deze polynomen kunnen worden weergegeven door de volgende coëfficiëntvectoren in MATLAB.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

Om de afgeleide van het product van deze twee polynomen te berekenen, gebruiken we de polyderfunctie met de vectoren a en b als invoer

k = polyder(a, b);

Dit commando retourneert de coëfficiënten van de afgeleide van het product van a(x) en b(x).

Wanneer de code wordt uitgevoerd in het Matlab-opdrachtvenster, is de uitvoer:

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

Het afgeleide polynoom is dus −

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

Voorbeeld 5:Afgeleide van het quotiënt van twee veeltermen met [q, d] =polyder(a, b)

Laten we twee polynomen beschouwen −

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

Deze polynomen kunnen worden weergegeven door vectoren van hun coëfficiënten in Matlab.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

Om de afgeleide van het quotiënt a(x) / b(x) te berekenen, gebruiken we de polyderfunctie met twee uitvoerargumenten q en d.

[q,d] = polyder(a,b)

Dit levert twee polynomen op:q(x) (de teller) en d(x) (de noemer) van de afgeleide van a(x) / b(x).

Wanneer de code wordt uitgevoerd in het Matlab-opdrachtvenster, is de uitvoer:

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>