Millman's theorema: stapsgewijze AC & DC schakelinganalyse met praktische voorbeelden

Millman's theorema voor AC & DC schakelingen – stap voor stap opgeloste voorbeelden

Millman's theorema

Millman's theorema wordt gebruikt in de schakelinganalyse wanneer deze alleen parallelle takken heeft. Daarom is deze theorema nuttig om de spanning aan het einde van een schakeling te berekenen. Millman's theorema is alleen van toepassing op de schakeling die een parallel netwerk bevat.

Millman's theorema is een combinatie van Thevenin's theorema en Norton's theorema. Soms wordt deze theorema ook wel parallelle generator theorema genoemd. Deze theorema is voorgesteld door elektriciteitsengineering professor Jacob Millman. En naar zijn naam is deze theorema Millman's theorema genoemd.

Millman's theorema stelt dat:

Dit betekent dat we de spanning over de parallelle takken van het gegeven netwerk kunnen vinden. Deze theorema vermindert de complexiteit van het netwerk wanneer een aantal bronnen zijn aangesloten zoals getoond in de onderstaande figuur.

Volgens Millman's theorema is de spanning over de last:

• Gerelateerd artikel: Thevenin's theorema. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Wiskundige vergelijking

Zoals getoond in de bovenstaande figuur, heeft de schakeling een n-aantal spanningsbronnen (E₁, E₂, E₃, …, E_n). En de interne weerstand van de bronnen is R₁, R₂, R₃, …, R_n respectievelijk. Volgens Millman's theorema kan elke schakeling worden vervangen door het onderstaande netwerk. De volgende fig toont de Millman's equivalente schakeling.

Nu moeten we de waarde van de spanningsbron (E) en de equivalente weerstand (R) vinden. De bovenstaande schakeling is vergelijkbaar met Thevenin's equivalente schakeling. Daarom kunnen we zeggen dat de spanningsbron (E) hetzelfde is als Thevenin's equivalente spanning (V_TH) en de equivalente weerstand is Thevenin's equivalente weerstand (R_TH).

We vinden Norton's equivalente schakeling om een makkelijke berekening te maken. Hiervoor zullen we een bronte transformatie maken. En alle spanningsbronnen omzetten in stroom bronnen.

We hebben een interne weerstand in serie met de spanningsbron. Na bronte transformatie wordt de spanningsbron omgezet in de stroom bron en de interne weerstand is parallel met de stroom bron verbonden. Daarom wordt de bovenstaande schakeling omgezet zoals in de onderstaande figuur getoond.

Volgens de wet van Ohm, zal de waarde van de stroom bronnen E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n zijn. Nu, om Norton's equivalente stroom (I_N) te vinden, moeten we de lastklemmen kortsluiten. En de stroom die door die tak loopt vinden.

Op knoop A₁, deelt de stroom zich in twee paden. Een pad is door de weerstand R₁ en het tweede pad is van de kortgesloten tak. Zoals we weten, vloeit de stroom altijd door het laagste weerstand pad. Daarom passeert in deze voorwaarde de volledige stroom door de kortgesloten tak. En de stroom die door de weerstand loopt is nul.

Ditzelfde gebeurt voor alle bronnen op knoop A₂, A₃, …, A_n. En de stroom door alle weerstanden is nul.

Nu, op knoop A₂, wordt de stroom die van knoop A₁ komt, opgeteld. Op dezelfde manier, op knoop A₃, wordt de stroom die van knoop A₂ komt, opgeteld. Daarom, op knoop A_n, worden de stromen van alle knopen opgeteld. De totale stroom is een sommatie van alle stromen en wordt Norton's stroom (I_N) genoemd.

Dus, we hebben Norton's equivalente stroom gevonden. Nu moeten we Norton's equivalente weerstand vinden. En daarvoor moeten we alle energiebronnen in de schakeling verwijderen door de stroom bron open te schakelen en de spanningsbron te kortsluiten.

In de bovenstaande figuur hebben we alleen een stroom bron. We zullen deze stroom bronnen verwijderen door open te schakelen. En we moeten de last verwijderen om de equivalente weerstand te berekenen. Daarom ziet de overgebleven schakeling eruit als de onderstaande figuur.

Zoals getoond in de bovenstaande figuur, kunnen we zien dat alle weerstanden parallel zijn verbonden. En deze parallelle combinatie is gelijk aan de equivalente weerstand.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Nu zetten we deze waarden in Norton's equivalente schakeling zoals getoond in de onderstaande figuur.

Als we deze Norton's equivalente schakeling omzetten in Thevenin's equivalente schakeling, kunnen we de waarde van E en R berekenen uit Norton stroom I_N en Norton weerstand R_N.

Volgens de wet van Ohm;

E = I_N × R_N

Laten we de bovenstaande vergelijking in algemene vorm maken voor n-aantal takken.

Dus, we hebben de waarde van de spanningsbron. En de waarde van equivalente weerstand is gelijk aan Norton's equivalente weerstand. Daarom kunnen we de Millman's equivalente schakeling verkrijgen (fig-2).

• Gerelateerd artikel: Norton's theorema. Stap voor stap handleiding met opgelost voorbeeld

Stappen voor Millman theorema

Stap-1 Millman's theorema is alleen van toepassing op het netwerk of de schakeling die een groter aantal parallelle takken heeft. Dus we nemen aan dat we de schakeling moeten oplossen die een aantal parallelle takken heeft met een spanningsbron in serie met de interne weerstand.

Stap-2 Maak een lijst van de interne weerstand of weerstand in serie verbonden en de spanningsbronnen.

Stap-3 Vind de equivalente weerstand (R) over de lastklemmen door de spanningsbronnen te kortsluiten.

Stap-4 Pas Millman's theorema toe en vind de waarde van de spanning (E) over de lastklemmen. Gebruik daarvoor vergelijking-1. Deze spanning is de spanning over de last.

Stap-5 Zet de waarde van R en E in de Millman's equivalente schakeling (fig-2).

Stap-6 Pas KVL toe op de lus om de stroom te vinden die door de last loopt.

• Gerelateerd artikel: Superpositie theorema – Schakelinganalyse met opgelost voorbeeld

DC schakeling analyseren met Millman's theorema

Voorbeeld #1

Vind de stroom en spanning over de lastklem met Millman's theorema.

Stap-1 Door de bovenstaande figuur te observeren, kunnen we zeggen dat alle vier takken parallel zijn verbonden. En we kunnen Millman's theorema toepassen.

Stap-2 Er zijn drie takken behalve de lasttak. Dus er zijn drie spanningen en drie weerstanden zoals hieronder vermeld.

E₁ = 12V en R₁ = 2Ω

E₂ = 0V en R₁ = 4Ω

E₃ = 16V en R₁ = 4Ω

Stap-3 Om de equivalente weerstand te vinden, moeten we de spanningsbronnen verwijderen door kortsluiten en de lastklemmen openen. Daarom is de overgebleven figuur getoond in de onderstaande figuur.

R_eq = 1Ω

Zoals getoond in de bovenstaande figuur, zijn alle weerstanden parallel. Dus de equivalente weerstand is;

Stap-4 Nu passen we Millman's theorema toe.

In dit voorbeeld hebben we 3 takken. Daarom gebruiken we n=3.

Vul de bovenstaande vermelde waarden in deze vergelijking in.

E = 10V

Dit is de spanning over de lastklem.

Stap-5 Zet deze waarden in de Millman's equivalente schakeling.

Stap-6 Volgens de wet van Ohm,

I_L = 1A

Dus de spanning over de last is 10V en de stroom die door de last loopt is 1A.

• Gerelateerd artikel: Tellegen's theorema – Opgeloste voorbeelden & MATLAB simulatie

AC schakeling analyseren met Millman's theorema

Voorbeeld #2

Vind de stroom en spanning over de lastklemmen met Millman's theorema.

Stap-1 Zoals getoond in de bovenstaande figuur zijn vier takken parallel verbonden. Daarom kunnen we Millman's theorema toepassen.

Stap-2 Als we de lasttak niet overwegen, zijn er drie takken. Om de berekening makkelijk te maken, zullen we de spanningen en impedanties opschrijven. In het geval van een AC schakeling moeten we het woord impedantie gebruiken in plaats van weerstand.

De waarden van de spanningsbronnen zijn gegeven in polaire vorm. Maar de waarden van de impedanties zijn gegeven in rechthoekige vorm. Dus we moeten de waarden van de spanningsbron in polaire vorm omzetten.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10,392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5,196 + j3

Impedanties zijn gegeven in rechthoekige vorm. Dus we schrijven ze op zoals ze zijn.

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = –j6Ω

Stap-3 Vind de equivalente impedantie. Zoals getoond in het bovenstaande voorbeeld, moeten we alle spanningsbronnen verwijderen door kortsluiten. En de overgebleven schakeling is als getoond in de onderstaande figuur.

Hier zijn alle impedanties parallel verbonden. Dus de equivalente impedantie zal zijn;

Z_eq = 6Ω

Stap-4 Nu passen we Millman's theorema toe,

Hier hebben we drie takken. Daarom is n gelijk aan 3.

V = 6 + 1j0,392 – j9 + j5,196 – 3

V = 3 + j6,588

Nu moeten we de RMS waarde vinden.

V = 7,23V

Stap-5 Zet deze waarden in de Millman's equivalente schakeling.

Stap-6 Volgens de wet van Ohm,

I_L = 0,9A

• Gerelateerd artikel: Maximaal vermogen overdracht theorema voor AC & DC schakelingen

Beperkingen van Millman's theorema

Millman's theorema is heel nuttig om het netwerk op te lossen. Maar er zijn enkele beperkingen die hieronder vermeld zijn.

• Deze theorema is niet van toepassing op de schakeling die een afhankelijke bron heeft tussen de onafhankelijke bron.
• Voor de schakeling met minder dan twee onafhankelijke bronnen is deze theorema niet nuttig.
• Deze theorema is niet van toepassing op de schakeling die alleen serie elementen heeft.
• Wanneer er een element is verbonden tussen de bron, kan deze theorema niet toegepast worden.

Toepassingen van Millman's theorema

Millman's theorema wordt wijd gebruikt in de netwerkanalyse om complexe schakelingen op te lossen. De toepassing van Millman's theorema is als hieronder vermeld.

• Millman's theorema is het meest nuttig om de spanning en stroom van de lastimpedantie te vinden in het geval van een groter aantal parallelle takken beschikbaar zijn met een aantal spanningsbronnen.
• De berekening van deze theorema is eenvoudig. Het vereist niet het gebruik van meer vergelijkingen.
• Deze theorema wordt gebruikt om de complexe schakeling op te lossen die complexe elementen heeft zoals Op-Amp.

Gerelateerde elektrische schakelinganalyse tutorials:

• SUPERKNOOP schakelinganalyse – stap voor stap met opgelost voorbeeld
• SUPERMESH schakelinganalyse – stap voor stap met opgelost voorbeeld
• Kirchhoff's stroom & spanning wet (KCL & KVL) | opgelost voorbeeld
• Cramer's regel calculator – 2 en 3 vergelijkingen systeem voor elektrische schakelingen
• Wheatstone brug – schakeling, werking, afleiding en toepassingen
• Elektrotechnische en elektronische engineering calculators
• 5000+ elektrotechnische en elektronische engineering formules & vergelijkingen