Poolvormige vs. rechthoekige notatie voor complexe getallen – een praktische gids

Complexe getallen onderbouwen veel gebieden van ingenieurswetenschap en wiskunde. Om efficiënt met ze te werken - zonder telkens vectoren te tekenen - worden twee standaardnotaties gebruikt: poolvormige en rechthoekige. Dit artikel verklaart beide vormen, de regels voor het converteren ertussen, en wanneer elk het meest nuttig is.

Poolvormige vorm van een complex getal

In poolvormige notatie wordt een complex getal uitgedrukt door zijn grootte (ook wel modulus of absolute waarde genoemd) en de hoek die het maakt met de positieve reële as. De hoek wordt meestal geschreven met het symbool ∠.

Denk aan een kaart: de poolvormige notatie voor de vector van New York City naar San Diego zou luiden "2400 mijl, zuidwest." Hier zijn twee vectoren en hun poolvormige representaties:

Vectoren met poolvormige notaties.

In AC-circuitberekeningen stelt de standaardoriëntatie 0° naar rechts (oost), 90° rechtheboven (noord), 180° naar links (west), en 270° rechtheboven (zuid). Vectoren die "naar beneden" wijzen kunnen beschreven worden met hoeken groter dan 180° of als negatieve hoeken kleiner dan 0°. Bijvoorbeeld, een vector bij ∠270° (recht naar zuid) kan ook geschreven worden als –90°. Op dezelfde manier kan de vector 7,81 ∠230,19° uitgedrukt worden als 7,81 ∠–129,81°.

De vector kompas.

Rechthoekige vorm van een complex getal

Rechthoekige notatie beschrijft een complex getal door zijn horizontale (reële) en verticale (imaginaire) componenten. Visueel is het complex getal de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, met de horizontale zijde de reële deel en de verticale zijde het imaginaire deel vertegenwoordigend.

In zuivere wiskunde wordt de verticale component voorafgegaan door een kleine i, terwijl in elektrotechniek het aangeduid wordt met j. Deze letters zijn puur notationale operatoren; ze vertegenwoordigen geen fysische hoeveelheden.

Voorbeeld:

Rechthoekige vorm: horizontaal (reëel) + verticaal (imaginaire) componenten.

De reële as correspondeert met de bekende getallenlijn, terwijl de imaginaire as een tweede getallenlijn is gedraaid 90° van de reële as.

Vector kompas met reële en imaginaire getallenlijnen.

Omdat complexe getallen tweedimensionaal zijn, hebben we twee loodrechte assen nodig om ze weer te geven. Het gecombineerde diagram ziet er zo uit:

Vector kompas met reële en imaginaire (j) getallenlijnen.

Converteren van poolvormig naar rechthoekig

Beide notaties zijn geldig; de keuze hangt af van de operatie. Rechthoekige vorm is handig voor optelling en aftrekking, terwijl poolvormige vorm vermenigvuldiging en deling vereenvoudigt. Converteren van poolvormig naar rechthoekig gebruikt basis trigonometrie:

• Reëel deel = grootte × cos(hoek)
• Imaginair deel = grootte × sin(hoek)

Deze relaties ontstaan uit de rechthoekige driehoek representatie van het complex getal.

Groottevector in termen van reëel (4) en imaginaire (j3) componenten.

Converteren van rechthoekig naar poolvormig

De andere kant op, vind eerst de grootte met de stelling van Pythagoras, dan bepaal de hoek met de arctangens van de verhouding van imaginaire tot reële componenten:

• Grootte = √(reëel² + imaginair²)
• Hoek = atan2(imaginair, reëel)

Voorbeeldberekeningen zijn geïllustreerd in de volgende figuur:

Belangrijkste punten

• Poolvormige notatie drukt een complex getal uit door zijn lengte (grootte) en richting (hoek).
• Rechthoekige notatie drukt het uit door horizontale (reële) en verticale (imaginaire) componenten.
• De imaginaire component wordt geschreven met een kleine j (in elektronica) of i (in wiskunde).
• Beide vormen mappen op een rechthoekige driehoek: hypotenusa = grootte, aanliggend = reëel deel, tegenoverliggend = imaginair deel.

Gerelateerd Werkblad

• AC Fase Werkblad