Onderzoek naar Geometrische Fase-effecten in Koolstofnanobuizen-nanodraad Resonators

Samenvatting

De geometrische fase is een extra fase-evolutie in de golf-functie van trillingen die potentieel toepasbaar is in een breed bereik van wetenschap en technologie. De kenmerken van de geometrische fase in de uitgeslagen toestand voor een koolstofnanobuizen-gebaseerde nanodraad-resonator zijn onderzocht met behulp van de invariante-operator-methode. De invoering van een lineaire invariante operator, nuttig voor het behandelen van een ingewikkeld tijdsafhankelijk Hamiltoniaansysteem, maakte het mogelijk om de analytische formule van de geometrische fase af te leiden. Door hiervan gebruik te maken, hebben we het tijdsgedrag van de geometrische fase geanalyseerd op basis van relevante illustraties. De invloed van uitglijdingsparameters op de evolutie van de geometrische fase is onderzocht. De geometrische fase oscilleert grotendeels, en de envelop van dergelijke oscillatie neemt over de tijd toe. De toenamesnelheid van de geometrische fase is groot wanneer parameters zoals de klassieke amplitude van de oscillatie, dempingsfactor en amplitude van de dryvende kracht groot zijn. We hebben een heel scherpe toename van de geometrische fase over de tijd bevestigd in het geval dat de hoekfrequentie van het systeem nabij de resonantiehoekfrequentie komt. Onze ontwikkeling met betrekking tot de kenmerken van de geometrische fase is cruciaal voor het begrijpen van de topologische kenmerken in nanodraadoscillaties.

Inleiding

Mechanische trillingen van de kleinste resonators, zoals koolstofnanobuizen-gebaseerde (CNT-gebaseerde) nanodraden, halfgeleidende nanodraden, grafeneen en getweede deeltjes, zijn al meer dan een decennium een hoofdonderzoeks onderwerp in de nanowetenschappengemeenschap. Actief onderzoek naar elektromechanische oscillaties van nanodraad-resonators aangedreven door een externe periodieke kracht is uitgevoerd in zowel theoretische als experimentele sferen. In het bijzonder hebben CNT-gebaseerde nanodraad-resonators aanzienlijke interesse getrokken als nanoschaalse mechanische apparaten vanwege hun buitengewone gevoeligheid met hoge kwaliteitsfactoren voor een kleine storing uit de omgeving. Opgehangen CNT-gebaseerde nanodraad-resonators zijn veelbelovende kandidaten voor apparaten die een breed bereik van fysische hoeveelheden meten, zoals EM-golven, kleine krachten, massa's, temperaturen en ruis.

Analyses van de kwantum-fase-evolutie in nanodraadoscillaties zijn vereist voor het theoretisch verhelderen van onderliggende systeemkenmerken. Met betrekking tot kwantum-trillingstoestanden van CNT-gebaseerde nanodraad-resonators, ontstaat de geometrische fase naast de gewone dynamische fase als een supplementaire evolutie van de fase. De geometrische fase is een anholonome van een kwantumtoestand die toepasbaar is in diverse natuurkundige velden. Analyses van de geometrische fase kunnen potentieel worden geadopteerd bij het karakteriseren van nano-eigenschappen van nanodraden, zoals resonantieprofielen, sterke kwantumtrillingen, spanning-ontspanningsmechanismen, het ontstaan van Dirac-magnetoplasmons en de topologie van Aharonov-Bohm-oscillaties.

De studie van de geometrische fase geassocieerd met niet-adiabatische dynamiek kan inzicht bieden voor nanomechanische systemen, wat noodzakelijk is voor de vooruitgang van accurate simulatiemethoden. De voorbereiding, manipulatie en detectie van kwantumtoestanden zijn belangrijke factoren in kwantumtechnologieën. Het doel van het huidige onderzoek is om licht te werpen op het tijdsgedrag van de geometrische fase die plaatsvindt in kwantumtoestanden van nanodraadoscillaties. Om het mechanisme van CNT-gebaseerde nanodraadtrillingen te begrijpen, zullen we de tijdsevolutie van de geometrische fase in de uitgeslagen toestand onderzoeken, wat een klassiek-achtige kwantumtoestand is zoals de coherente toestand. Het voordeel van de uitgeslagen toestand is dat de onzekerheid van een kwadratuur in die toestand aanzienlijk kan worden verminderd ten koste van het verhogen van de onzekerheid van de andere kwadratuur, terwijl dergelijke onzekerheidsmodulatie onmogelijk is in de coherente toestand. In het bijzonder zullen we de effecten van resonantie op de geometrische fase analyseren. Omdat de resonante energie significant verschilt van de energie van de niet-resonante toestand, is het topologische gedrag van de golf-functie non-triviaal en kan het aanzienlijk afwijken van dat in normale situaties. De invloed van de verandering van fysische parameters en de uitglijdingsparameters op de evolutie van de geometrische fase zal ook rigoros worden geanalyseerd. Geometrische fasen zijn alomtegenwoordig in dynamische systemen en kunnen worden toegepast op diverse moderne technologieën, zoals kwantumberekening, intensiteitsinterferometriën, fotonische multitasking, kwantum-sensingsprotocollen en golf-stabiliteitsmetingen.

De Hamiltoniaan van het systeem omvat tijdfuncties geassocieerd met de demping van het systeem en de externe dryvende kracht. Daarom is het systeem een soort tijdsafhankelijk Hamiltoniaansysteem (TDHS) waarvan kwantummechanische problemen recentelijk uitgebreid zijn bestudeerd. De tijdfunctie in de Hamiltoniaan van een TDHS kan in de meeste gevallen niet worden gescheiden van de functie van canonische variabelen, wat de conventionele scheiding-van-variabelen-methode voor het oplossen van de Schrödinger-vergelijking onbruikbaar maakt. Een alternatieve krachtige methode ontwikkeld om deze moeilijkheid te overwinnen is de invariante-operator-methode, geïntroduceerd door Lewis en Riesenfeld. Deze methode is een heel nuttig wiskundig hulpmiddel wanneer we kwantumoplossingen van een TDHS afleiden. Veel kwantummechanische problemen beschreven door TDHS's worden onderzocht op basis van deze methode. Bijvoorbeeld, ze omvatten chaotische deeltjesverstrooiing, lichtvoortplanting in tijdsvariaende media, controle van opgesloten aangedreven elektronen en niet-klassiekheid van kwantum-nano-elektronische circuits. Er is een verscheidenheid aan andere methoden voor kwantummechanische behandelingen van TDHS's, waaronder unitaire-transformatie-methode, Lie-algebraïsche methode en Hamiltoniaanschattingsmethode.

Gegeven dat het systeem een TDHS is, gebruiken we de invariante-operator-methode om kwantumoplossingen van het systeem te verkrijgen. Een lineaire invariante operator die wordt voorgesteld in termen van de annihilatie-operator zal worden geïntroduceerd. Terwijl de annihilatie- en creatie-operators worden voorgesteld in termen van tijd door de tijdsafhankelijkheid van het systeem, kunnen zowel de coherente als de uitgeslagen toestanden verkregen worden met behulp van deze ladder-operators. De geometrische fase van het systeem zal analytisch worden geëvalueerd door gebruik te maken van de golf-functie in de uitgeslagen toestand. De tijdsevolutie van de geometrische fase zal in detail worden geanalyseerd op basis van de illustraties afgebeeld met diverse parameterkeuzes.

Methodes

Om de geometrische fase te onderzoeken, moeten we eerst de klassieke bewegingsvergelijking van de nanodraadpunt opstellen. Omdat de geometrische fase verschijnt in de kwantumgolf-evolutie van een TDHS, is het noodzakelijk om golf-functies in een specifieke kwantumtoestand af te leiden die we beheren. We zullen de uitgeslagen toestand overwegen zoals vermeld in het inleidende deel. De golf-functies in de diverse kwantumtoestanden van een TDHS, inclusief de uitgeslagen toestand, kunnen verkregen worden uit de invariante-operator-methode.

De bewegingsvergelijking voor de tijdsafhankelijke amplitude x voor een buigingsmodus van een opgehangen koolstofnanobuiz met een effectieve massa m wordt gegeven door [1]

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

waarbij ω₀ de resonante hoekfrequentie is, Q de kwaliteitsfactor, f_d de elektrostatische dryvende kracht gedeeld door m, η de niet-lineaire dempingscoëfficiënt, en β de Duffing-parameter. Laten we voor gemak aannemen dat de verplaatsing van de punt voldoende klein is ten opzichte van de CNT-draadlengte. Dan kunnen we de niet-lineaire termen in Eq. (1) verwaarlozen, wat leidt tot [2]

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)
De Hamiltoniaan van het systeem die Eq. (2) oplevert, is gegeven door
$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)
waarbij γ=ω₀/Q. De klassieke oplossing van Eq. (2) bestaat uit een complementaire functie X_c(t) en een bijzondere oplossing X_p(t), die gegeven zijn door
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), \end{array} $$ (5)
waarbij X_c,0 een constante is, $\Omega = \sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}$, φ een willekeurige fase, en
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \delta &=& \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)
De klassieke oplossing in de impulsruimte wordt op een vergelijkbare manier gegeven, waarbij de complementaire functie $P_{c} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)$ en de bijzondere oplossing $P_{p} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)$ is. Om de geometrische fase van het systeem te onderzoeken, moeten we eerst kwantumoplossingen afleiden. Let op dat de Hamiltoniaan van het systeem gegeven in Eq. (3) expliciet afhankelijk is van tijd. Om kwantumoplossingen van het systeem af te leiden, gebruiken we de invariante-operator-methode [30, 31], wat een nuttige methode is bij het behandelen van zo'n tijdsvariërend systeem. Een invariante operator $\hat {I}$ van het systeem kan worden afgeleid uit de Liouville-von Neumann-vergelijking, die gegeven is door ${d \hat {I}}/{d t} = {\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) = 0$. Daarom, na een rigorese evaluatie na invoegen van Eq. (3) in deze vergelijking, hebben we een lineaire invariante operator [34] van de vorm
$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)
waarbij $\hat {A}$ de annihilatie-operator is die gegeven wordt door
$$ \begin{aligned} \hat{A} =& \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ & \left.+ie^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{aligned} $$ (9)
De hermitesche geconjugeerde van Eq. (9), $\hat {A}^{\dagger }$, is de creatie-operator.
We kunnen de eigenwaardevergelijking van $\hat {A}$ uitdrukken als
$$ \hat{A} |A \rangle = A |A \rangle. $$ (10)
Door de bovenstaande vergelijking te evalueren, hebben we de uitdrukking van de eigenwaarde zodat
$$ A(t) = A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)
waarbij A(0)=A₀e^−iφ met
$$ A_{0} = \left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)
Terwijl de coherente toestand |A〉 de eigenstaat is van $\hat {A}$, is de uitgeslagen toestand de eigenstaat van een operator $\hat {B}$ die gegeven wordt door
$$ \hat{B} = \mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)
waarbij μ en ν complexe variabelen zijn die de vergelijking opleveren
$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)
Als we de eigenwaardevergelijking van $\hat {B}$ in de vorm schrijven
$$ \hat{B} |B \rangle = B |B \rangle, $$ (15)
is |B〉 de uitgeslagen toestand. Door deze vergelijking in de configuratieruimte op te lossen, hebben we
$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left[\frac{1}{2} m e^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right.\\ & \left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} m e^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \right\}. \end{aligned}} $$ (16)
Dus is de golf-functie in de uitgeslagen toestand afgeleid zoals gegeven in Eq. (16). Kwantumkenmerken van het systeem kunnen worden verhelderd op basis van zo'n analytische beschrijving van de golf-functie. Voor μ=1 en ν=0, reduceert Eq. (16) tot de golf-functie in de coherente toestand, wat de eigenstaat is van Eq. (10) in de configuratieruimte. De golf-functie, Eq. (16), zal in de volgende sectie worden gebruikt om de geometrische fase in de uitgeslagen toestand af te leiden.
Resultaten en Discussie
Het is bekend dat de fase in de kwantumgolf-evolutie de geometrische fase omvat naast de dynamische fase. De geometrische fase werd voor het eerst ontdekt door Berry in 1984 [12] voor een systeem dat cyclisch evolueert met een adiabatische verandering. Volgens de adiabatische theorie in de kwantummechanica, blijft een instantane eigenstaat van een kwantumtoestand in een cyclische evolutie in de parameterruimte later op dezelfde toestand, terwijl er een additionele accumulatie van de kwantumfase is wat de Berry-fase is. Een generalisatie van de Berry-fase op een manier die niet-adiabatische, niet-cyclische en/of niet-unitair evolutie van het kwantumsysteem omvat, is de geometrische fase.
De geometrische fase in de uitgeslagen toestand wordt gegeven door
$$ \gamma_{G}(t) = \int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)
De differentiatie van de golf-functie ten opzichte van tijd in configuratieruimte wordt
$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}(t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}(t) \right\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)
waarbij
$$ f_{1}(t) = - \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &= \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -i m e^{\gamma t} \right.\\ & \quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \quad \left.\times\left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \right) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!= \frac{\gamma}{4}-\frac{1}{\hbar m e^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ & \quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{aligned}} $$ (21)
Nadere evaluatie na invoegen van Eq. (18) in Eq. (17) geeft
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =& \int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)
waarbij
$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &= \frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &= \frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2}- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &= \left(\frac{2\Omega}{m\hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{m e^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2\sqrt{m e^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &= \frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar m e^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right) +1\right] \\ & \quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{aligned}} $$ (27)
De laatste term in g₅ die (μ−μ^∗)(ν−ν^∗) bevat, is ontoereikend als een fase omdat dit een zuiver imaginair getal is. Daarom verwijderen we nu deze term door ten minste een van μ en ν als een reële waarde te kiezen. Dit remedie kan altijd worden gedaan zonder verlies van generaliteit, omdat alleen de relatieve fase tussen μ en ν fysieke betekenis heeft in plaats van hun absolute fasen.
Uit de uitvoering van de integratie in Eq. (22) hebben we
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &= A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos(\Omega t+2\varphi) \right.\\ & \quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_{3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)
waarbij $\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)$ gegeven zijn door
$$ \bar{g}_{i}(t) = G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)
met
$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ & \quad\left.+\gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \{ 2(\Omega-\omega) \\ & \quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\!+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin(\omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta)+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ & \left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned}} $$ (31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &= \frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ & \quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta)] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad+\frac{i\gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{aligned}} $$ (32)
Dus hebben we de volledige geometrische fase in de uitgeslagen toestand geëvalueerd, die gegeven wordt door Eq. (28) met Eqs. (23), (24), en (29)–(32).
De tijdsevolutie van de geometrische fase is geïllustreerd in Fig. 1, 2, 3 en 4. Uit Fig. 1 zien we dat de geometrische fase oscilleert en de envelop van zo'n oscillatie over de tijd toeneemt. De toename van de envelop is groter wanneer A₀ groot is. Het patroon van de oscillatie wordt geleidelijk onregelmatiger naarmate de waarden van μ en ν toenemen. Bovendien wordt de amplitude van de oscillatie groter naarmate de tijd vordert.
Tijdsevolutie van de geometrische fase voor verschillende waarden van A₀. De waarden van (μ, ν) gebruikt in de afbeeldingen zijn (1, 0) voor a, ($\sqrt {2}$, 1) voor b, en ($\sqrt {3}$, $\sqrt {2}$) voor c. We hebben gebruikt m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0,35, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, en γ_G(0)=0. De fase en alle parameters worden als dimensieloos beschouwd voor gemak, en deze conventie zal ook worden toegepast op de volgende figuren. Omdat A₀ gegeven is in termen van de klassieke amplitude X_c,0 van de complementaire functie [zie Eq. (12)], kunnen we uit de afbeeldingen bevestigen dat de geometrische fase groot is wanneer de oscillatie-amplitude hoog is. We zien ook dat de fluctuatie van γ_G(t) groot wordt naarmate de waarden μ en ν toenemen onder de voorwaarde gegeven in Eq. (14)

Tijdsevolutie van de geometrische fase voor verschillende waarden van γ. De waarde van ω gebruikt in de afbeeldingen is 0,3 voor a, 0,99 voor b, en 5 voor c. De uitglijdingsparameters gekozen hier zijn $\mu =\sqrt {2}$ en ν=1; deze keuze geeft q-uitgeslagen toestand op initiële tijd. Andere hoeveelheden die we hebben gebruikt zijn m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, en γ_G(0)=0. We bevestigen dat de geometrische fase groot is wanneer de dempingsfactor γ groot is in de meeste gevallen, maar niet alle. De frequentie van geval b is nabij de resonante frequentie, terwijl die van a en c ver van de resonante zijn. De geometrische fase voor het resonante geval (b) neemt heel snel over de tijd toe

a–c Deze afbeelding is dezelfde als Fig. 2, maar voor het geval dat de gekozen uitglijdingsparameters $\mu =\sqrt {2}$ en ν=−1 zijn, wat een p-uitgeslagen toestand op initiële tijd geeft. Uit het feit dat de algehele afbeeldingen in dit geval niet zo heel anders zijn van de corresponderende van Fig. 2, kunnen we bevestigen dat de evolutie van γ_G(t) bijna irrelevante is voor de typen uitglijding zolang de absolute waarden van μ en ν niet veranderen

Tijdsevolutie van de geometrische fase voor verschillende waarden van f_d. De waarde van ω gebruikt in de afbeeldingen is 0,3 voor a en 5 voor b. We hebben gebruikt $\mu =\sqrt {2}$, ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0,3, A₀=1, $\hbar =1$, φ=0, en γ_G(0)=0. Naarmate de amplitude (f_d) van de dryvende kracht toeneemt, wordt de geometrische fase groter
De uitglijdingseffecten in de uitgeslagen toestand afhankelijk van de uitglijdingsparameter c waar c=μ/ν zijn onderzocht in ref. [39]. Volgens de analyse gegeven in ref. [39] (zie Fig. 1(a) in ref. [39]), correspondeert de uitgeslagen toestand geïllustreerd in Fig. 2, wat overeenkomt met $c=\sqrt {2}$, met de q-uitgeslagen toestand op initiële tijd, terwijl die in Fig. 3, wat overeenkomt met $c=-\sqrt {2}$, de p-uitgeslagen toestand is in dezelfde situatie. Door Figs. 2 en 3 met elkaar te vergelijken, kunnen we concluderen dat de geometrische fase in de q-uitgeslagen toestand bijna hetzelfde is als die in de p-uitgeslagen toestand.
De effecten van γ op de evolutie van de geometrische fase kunnen worden bevestigd uit Figs. 2 en 3. De geometrische fase neemt sneller toe wanneer γ groot is. Door Figs. 2a en 3a te vergelijken met Figs. 2c en 3c, kunnen we bevestigen dat de geometrische fase enigszins sneller varieert wanneer ω groter is dan de resonante hoekfrequentie.
Het tijdsgedrag van de geometrische fase in of nabij de resonante toestand van het systeem kan van groot belang zijn [22, 23]. Figuren 2b en 3b tonen aan dat de geometrische fase heel snel toeneemt wanneer ω nabij de resonante hoekfrequentie is. Dit betekent dat de golf-functie in deze situatie significant varieert over de tijd, omdat de magnitude van de geometrische fase gerelateerd is aan de tijdsvariatie van de golf-functie. Feitelijk is de amplitude van de draadoscillatie opmerkelijk versterkt in de resonante toestand. Overigens zijn de resonante hoekfrequenties van opgehangen CNT-gebaseerde nanodraad-resonators niet alleen hoog maar ook breed afstelbaar met zeer hoge kwaliteitsfactoren [3]. Om deze reden zullen de trillingsmodi van het systeem gedurende een lange tijd behouden blijven totdat ze volledig gedempt zijn [11].
Figuur 4 toont dat de geometrische fase ook beïnvloed wordt door de amplitude van de dryvende kracht f_d. Naarmate f_d toeneemt, is de toename van de geometrische fase in de tijd snel.
Conclusie
We hebben de geometrische fase in de uitgeslagen toestand voor het systeem onderzocht op basis van kwantumdynamica met de Schrödinger-vergelijking. Gezien de tijdsafhankelijkheid van de Hamiltoniaan die het systeem beschrijft, is de invariante-operator-methode geïntroduceerd, wat een potentieel hulpmiddel is voor het afleiden van kwantumoplossingen in het geval dat de Hamiltoniaan wordt beschreven in termen van tijd. Door middel van deze methode is de analytische formule van de geometrische fase voor de CNT-gebaseerde nanodraadoscillatie verkregen.
Een gedetailleerde analyse van de fase-effecten, noodzakelijk voor een theoretisch begrip van de mechanische trillingen, is uitgevoerd. Onze ontwikkeling van de geometrische fase is een volledig kwantumbasierte met rigorese wiskundige evaluaties. De geometrische fase is gevoelig voor de verandering van mechanische parameters en vertoont een oscillatie in een groot aantal gevallen. De invloed van de uitglijdingsparameters op de evolutie van de geometrische fase is ook geanalyseerd. We hebben een sterke toename van de geometrische fase-accumulatie over de tijd in de buurt van de resonante hoekfrequentie bevestigd.
Onze resultaten illustreren het tijdsgedrag van de geometrische fase die verschijnt in de trilling van een CNT-gebaseerde nanodraad. De analyse van de geometrische fase gegeven in dit werk is belangrijk voor het begrijpen niet alleen van topologische kenmerken van het systeem maar ook van dynamische trillingen van andere nanodraad-gebaseerde mechanische oscillators. In het bijzonder hebben we fase-eigenschappen van de resonante toestand ontwikkeld, waarvan verduidelijking noodzakelijk is in de toepassing van het systeem in kwantuminformatietechnologieën en andere kwantumbasierte industrieën. De vergelijkbare methode en het framework gebruikt in dit onderzoek kunnen ook worden uitgebreid naar andere nanosystemen, zoals supergeleidende Fabry-Perot-resonators, nano-kanthevels en qubit-resonator-atoom-hybride systemen.
Afkortingen
CNT:
Koolstofnanobuiz
EM-golven:
Elektromagnetische golven
TDHS:
Tijdsafhankelijk Hamiltoniaansysteem

Directe, Katalysator-vrije Groei van Hoogwaardige GaN-nanodraden op ITO-bekleide Gesmolten Silica via Plasma-ondersteunde MBE 2-nm Bron-Drain FETs: Hoog-presterend Rechthoekige Gate U-Kanaal Ontwerp

Nanomaterialen

Metaal

Hars

vezel

Samengesteld materiaal

Nanomaterialen

Polymeer materialen

Biologie

kleurstof

Kruiden

5G: De katalysator voor het volgende tijdperk van Industrie 4.0
Filmcondensatoren: Eigenschappen, Constructie en Toepassingen
6061 Aluminium Begrijpen: Hoe Temper de Bewerkingsprestaties Beïnvloedt
Vergelijking van Belangrijke Materiaaleigenschappen van CNC-gefreeste Thermoplasten
Zilvers Antimicrobiële Kracht: Hoe het Metaal Bacteriën, Schimmels en Virussen Bestrijdt
Belangrijkste Eigenschappen van Grafiet: Structuur, Kracht en Toepassingen
Ijzer-Koolstof Fasediagram uitgelegd: Belangrijke Inzichten voor Staal en Gietijzer
Kopers Krachtige Antimicrobiële Werking: Gamechanger voor Gezondheidszorg en Meer
Belangrijke Glasvezel Eigenschappen voor Composiet Productiesucces
Effect van contact niet-equilibrium plasma op Mn_xFe_3−xO_4 spinel nanodeeltjes: structurele en magnetische inzichten
Longitudinale elektromagnetische oscillaties in metalen: Oppervlakte-excitatiën op vlakke en spherische interfaces