Technische Spin- en Valleifysica in Silicene: Periodieke Potentiaalontgrendelt Afstelbare Bandgaten en Diracpunten

Samenvatting

We bestuderen de spin- en valleiafhankelijke energiebandsstructuur en transporteigenschappen van silicene onder een periodiek potentiaal, waarbij zowel spin- als valleidegeneratie wordt opgeheven. Het blijkt dat het Diracpunt, minibanden, bandgaten, anisotrope snelheid en geleiding sterk afhangen van de spin- en valleindices. Extra Diracpunten verschijnen naarmate de spanningstoename toeneemt, wobei de kritische waarden verschillen voor elektronen met verschillende spins en valleien. Interessant is dat de snelheid sterk wordt onderdrukt door het elektrische veld en het uitwisselingsveld, in tegenstelling tot gatloos grafeen. Het is mogelijk om een uitstekende collimatiewerking te bereiken voor een specifieke spin in de buurt van een specifieke valleie. De spin- en valleiafhankelijke bandstructuur kan worden gebruikt om het transport aan te passen, en perfecte transmissie wordt waargenomen bij Diracpunten. Hierdoor wordt een opmerkelijke spin- en valleipolarisatie bereikt die effectief kan worden geschakeld door de structurele parameters. Belangrijk is dat de spin- en valleipolarisaties sterk worden versterkt door de onorde in het periodieke potentiaal.

Achtergrond

Tweedimensionale (2D) Dirac-materialen met hexagonale roosterstructuren worden uitgebreid onderzocht sinds de ontdekking van grafeen, zoals silicene [1, 2], overgangsmetaaldichalcogeniden [3, 4] en fosforeen [5]. Hoewel grafeen veel bijzondere eigenschappen heeft, is de toepassing ervan beperkt door de nul-bandgape en de zwakke spin-baaninteractie (SOI). Onlangs is een siliciumanaaloog van grafeen, silicene, geproduceerd via epitaxiale groei [6–10], en is de stabiliteit ervan voorspeld door theoretische studies [11, 12]. Grafeen en silicene hebben vergelijkbare bandstructuren rond de K en K^′ valleien, en de laag-energiespectra van beide worden beschreven door de relativistische Diracvergelijking [13]. In tegenstelling tot grafeen heeft silicene een sterke intrinsieke SOI en een gebuckelde structuur. De sterke SOI kan een gat openen bij de Diracpunten [13, 14] en leidt tot een koppeling tussen de spin- en valleigraden van vrijheid. De gebuckelde structuur stelt ons in staat om de bandgape te controleren met een extern elektrisch veld loodrecht op het silicenevel [14–16]. Bovendien heeft silicene het voordeel dat het compatibeler is met bestaande siliciumgebaseerde elektronische technologie. Deze kenmerken maken silicene tot een uitstekend materiaal voor nano-elektronica van de volgende generatie. In het bijzonder is een silicene veld-effecttransistor bij kamertemperatuur met succes geproduceerd via een groei-overdracht-productieproces in het experiment [17].

De ontdekking van 2D Dirac-materialen biedt nieuwe kansen om kwantumcontrole van de valleie te verkennen. De twee niet-equivalente valleien K en K^′ in de eerste Brillouin-zone kunnen worden beschouwd als een extra graad van vrijheid naast lading en spin voor kwantuminformatie en kwantumberekening [18–20]. Bijvoorbeeld, de valleiegraad van vrijheid kan worden geïncorporeerd om een elektronspin-qubit uit te breiden tot een spin-vallei-qubit [18]. Daarom heeft valleytronica, die het genereren, detecteren en manipuleren van de valleiepseudospin nastreeft, veel belangstelling gewekt. In grafeen zijn verschillende schema's voorgesteld om valleipolarisatie te bereiken door gebruik te maken van unieke randmodi [21, 22], trigonale vervormingseffecten [23], topologische lijndefecten [24, 25], vervorming [26, 27] en electrostatische gates [28]. Vergeleken met grafeen heeft silicene een significant voordeel in de studie van valleiepseudospin. Er is aangetoond dat silicene een grote verscheidenheid aan topologische fasen en Chern-getallen vertoont onder de modulatie van verschillende externe velden [13, 16, 29, 30]. In de aanwezigheid van elektrisch veld E_z en uitwisselingsveld h heeft Ezawa het fasendiagram in de E_z−h vlak verkend, gekenmerkt door de spin- en valleindices [16]. Door de Rashba SOI te overwegen, wordt een valleiegepolariseerde kwantumanomale Hall-toestand voorspeld in silicene als gevolg van de topologische faseovergang [31]. Op basis van de toestandovergang wordt een silicenebaseerde spinfilter met bijna 100% spinpolarisatie voorgesteld die robuust is tegen zwakke onorde [32]. Yokoyama bestudeerde het ballistische transport door een ferromagnetische (FM) silicenejunctie en toonde een controleerbare spin- en valleigepolariseerde stroom aan [33]. In overgangsmetaaldichalcogeniden met een gebroken inversiesymmetrie is de spinsplitsing van de valentiebanden als gevolg van intrinsieke SOI tegengesteld in de twee valleien als gevolg van tijdomkeersymmetrie [3, 34, 35]. De gebroken inversiesymmetrie kan resulteren in een valleiafhankelijke optische selectieregel, die kan worden gebruikt om drager selectief op tewekken in de K of K^′ valleie via respectievelijk rechts- of linkscirculair gepolariseerd licht [3, 34]. In experimenten is het signaal van valleipolarisatie waargenomen door optische [36, 37] en transportmetingen [38, 39]. Een reusachtig niet-lokaal valleie-Halleffect werd waargenomen in bilayergrafeen onderworpen aan een symmetriebrekend gate-elektrisch veld, en het niet-lokale signaal blijft bestaan tot kamertemperatuur [38]. Een recent overzicht van valleytronica in 2D Dirac-materialen wordt gegeven in Ref. [40].

Een superrooster is een effectieve methode om de elektronische structuur in halfgeleiders en 2D-materialen te ontwerpen [41]. Superroosterpatronen op nanoschaal kunnen van nature ontstaan in experimenten wanneer grafeen of silicene op metalen substraten wordt geplaatst [42, 43]. Een superrooster in grafeen kan leiden tot hernormalisatie van anisotrope Fermisnelheid [44] en generatie van nieuwe Diracpunten in het spectrum [45–47] vanwege de chirale aard, wat experimenteel is waargenomen [43, 48, 49]. In silicene-superroosters met elektrisch veld E_z en uitwisselingsveld h worden zowel spin- als valleidegeneratie opgeheven. Het is bevestigd dat de minibandstructuur en minigaten veroorzaakt door de superroosters afhangen van de spin- en valleindices [50]. Verder kunnen de spin- en valleipolarisaties worden versterkt door de silicene-superroosters [51]. Net als in grafeen worden veel nieuwe elektronische structuren verwacht in silicene-superroosters. Echter, werk over silicene-superroosters is zeer zeldzaam [50, 51]. In dit artikel bespreken we gedetailleerd een complementair aspect, namelijk de spin- en valleiafhankelijke bandstructuur en transporteigenschappen van silicene. We vonden dat de spin- en valleindices verschillende impact hebben op de extra Diracpunten en anisotrope snelheid, die kunnen worden afgesteld door de structurele parameters. De snelheid wordt sterk onderdrukt door het elektrische veld en het uitwisselingsveld. Een opmerkelijke spin- en valleipolarisatie wordt bereikt, die sterk kan worden versterkt door de onorde.

Het artikel is als volgt georganiseerd. In de sectie "Methoden" presenteren we de theoretische formalisme en de dispersierelatie. De numerieke resultaten over bandstructuur, spin- en valleigepolariseerde transmissie worden getoond in de sectie "Resultaten en discussie". Tot slot concluderen we met een samenvatting in de sectie "Conclusies".

Methoden

In de enkele-deeltjesbenadering gehoorzaamt de elektronische structuur van silicene in de buurt van de Diracpunten aan een effectieve Dirac-Hamiltoniaan. Het systeem dat we overwegen is een eendimensionaal silicene-superrooster gevormd door een reeks lokale potentiaalbarrières U, uitwisselingsvelden h, en loodrechte elektrisch veld E_z. U, h, en E_z zijn alleen aanwezig in de barrièreregio's met barrièbreedte d_b, terwijl U=h=E_z=0 in de putregio's met putbreedte d_w, zoals getoond in Fig. 1. Het superrooster met een Kronig-Penney-type varieert alleen in x-richting, en de lengte van één eenheid is d=d_b+d_w. Een vergelijkbaar model is besproken in Refs. [51, 52], die zich voornamelijk richten op thermo-elektronisch en elektronisch transport in plaats van de bandstructuur en onorde-effect bestudeerd in dit werk. Experimenteel kan U worden geproduceerd door metalen gates en h kan worden geproduceerd door het magnetische nabijheidseffect met FM-isolatoren EuO [33], die periodiek bovenop de silicenelaag worden gedeponeerd (zie Fig. 1). Het elektrisch veld E_z dat loodrecht op silicene wordt toegepast, kan een gestaggerde sublatticepotentiaal Δ_z=ℓE_z induceren, met 2ℓ≈0,46Å de verticale scheiding van A en B sites van de twee sublattices als gevolg van de gebuckelde structuur [16]. Daarom kunnen de elektronische toestanden worden beschreven door de Hamiltoniaan,

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} H = \hbar v_{F} (k_{x} \tau_{x} - \eta k_{y} \tau_{y}) + \Delta_{\eta \sigma} \tau_{z} + U_{\sigma}. \end{array} $$ (1)

Boven: schematisch overzicht van de silicene-superroosters. De FM-isolatoren, zoals EuO en EuS, bovenop silicene induceren de uitwisselingsvelden in silicene, zoals voorgesteld voor grafeen [53]. De metalen gates bovenop de FM-isolatoren controleren het Ferminiveau lokaal. Onder: schematisch overzicht van het energiespectrum in silicene met en zonder externe velden.

Δ_ησ=Δ_z−ησλ_SO beschrijft de bandgape voor verschillende spin- en valleindices, die kan worden gecontroleerd door de gestaggerde potentiaal Δ_z en de SOI λ_SO. U_σ=U−σh is het effectieve potentiaal voor verschillende spinindices. η=±1 duidt de K en K^′ valleien aan. σ=±1 duidt spin-omhoog en spin-omlaag toestanden aan. v_F is de Fermisnelheid. In silicene zijn de intrinsieke en extrinsieke Rashba-effecten zeer klein en kunnen worden genegeerd [15].

Vanwege de translatie-invariantie in de y-richting wordt de transversale golffactor k_y geconserveerd. De golf-functie voor valleie η en spin σ in elke regio heeft de vorm Ψ(x,y)=ψ(x)e^iky_y met

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \psi(x) = A \left(\begin{array}{cc} 1 \\ \frac{\hbar v_{F} k_{-}}{\epsilon_{\eta \sigma}} \end{array}\right) e^{i q_{\eta \sigma} x} + B \left(\begin{array}{cc} 1 \\ \frac{- \hbar v_{F} k_{+}}{\epsilon_{\eta \sigma}} \end{array}\right) e^{-i q_{\eta \sigma} x}. \end{array} $$ (2)

In de barrièreregio's is ε_ησ=ε_b=(E−U_σ)+Δ_ησ en de x-component van de golffactor \( q_{\eta \sigma } = q_{b} = \sqrt {(E - U_{\sigma })^{2} - \Delta ^{2}_{\eta \sigma } - (\hbar v_{F} k_{y})^{2}} / \hbar v_{F} \). In de putregio's is ε_ησ=ε_w=E−ησλ_SO en \( q_{\eta \sigma } = q_{w} = \sqrt {E^{2} - \lambda _{SO}^{2} - (\hbar v_{F} k_{y})^{2}} / \hbar v_{F} \). k_±=q_ησ±iηk_y. De transmissiekans T_ησ kan worden berekend met de transfermatrixtechniek. De genormaliseerde geleiding voor een bepaalde spin in een bepaalde valleie bij nul Kelvin wordt gegeven door

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} G_{\eta \sigma} (E) = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} T_{\eta \sigma} (E,E\sin \theta) \cos \theta d \theta, \end{array} $$ (3)

waarbij θ de invalshoek is ten opzichte van de x-richting. De spin- en valleiegeselecteerde geleidingen worden gedefinieerd als \(G_{\uparrow (\downarrow)} = \left (G_{K \uparrow (\downarrow)} + G_{K^{\prime } \uparrow (\downarrow)} \right) / 2 \) en \(G_{K (K^{\prime })} = \left (G_{K (K^{\prime }) \uparrow } + G_{K (K^{\prime }) \downarrow } \right) / 2\), respectievelijk. Vervolgens introduceren we de spinpolarisatie P_s en valleipolarisatie P_v:

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} P_{s} = (G_{\uparrow} - G_{\downarrow}) / (G_{\uparrow} + G_{\downarrow}), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} P_{v} = (G_{K} - G_{K^{\prime}}) / (G_{K} + G_{K^{\prime}}). \end{array} $$ (5)

Op basis van de stelling van Bloch en de continuïteitsvoorwaarde van golf-functies kan de dispersierelatie E(k_x) voor spin-omhoog en spin-omlaag elektronen in de buurt van de K en K^′ valleien worden berekend,

$$ \begin{aligned} \cos(k_{x} d) &= \cos(q_{w} d_{w}) \cos(q_{b} d_{b}) \\&\quad- \frac{(\epsilon_{b} q_{w})^{2} + (\epsilon_{w} q_{b})^{2} + (\epsilon_{b} \!- \!\epsilon_{w})^{2} k^{2}_{y}}{2 \epsilon_{w} \epsilon_{b} q_{w} q_{b}} \sin(q_{w} d_{w}) \sin(q_{b} d_{b}), \end{aligned} $$ (6)

en k_x is het Bloch-golffactor. Om de berekening te vereenvoudigen, worden dimensieloze eenheden geïntroduceerd: \(E \rightarrow E d / \hbar v_{F}\), \(U \rightarrow U d / \hbar v_{F}\), \(\lambda _{SO} \rightarrow \lambda _{SO} d / \hbar v_{F}\), \(\Delta _{z} \rightarrow \Delta _{z} d / \hbar v_{F}\), \(h \rightarrow h d / \hbar v_{F}\), k_y→k_yd, k_x→k_xd, d_w→d_w/d, en d_b→d_b/d. Let op dat bij Δ_z=λ_SO=h=0, Vergelijking (6) teruggaat op de gevonden voor gatloos grafeen in een periodiek potentiaal, waar zowel spin als valleie gedegeneerd zijn [44–47]. Uit Vergelijking (6) zien we dat het uitwisselingsveld h alleen de spin kan splitsen, terwijl de valleie gedegeneerd blijft. De valleidegeneratie kan echter worden opgeheven door het elektrisch veld E_z met behulp van de SOI λ_SO. Dus een combinatie van het uitwisselingsveld en het elektrisch veld kan de spin- en valleidegeneratie opheffen [16, 31–33], zoals getoond in Fig. 1. In het voorgestelde systeem zouden elektronen met verschillende spins in de buurt van verschillende valleien verschillende bandstructuren en transportkenmerken vertonen.

Resultaten en discussie

In deze sectie gebruiken we de bovenstaande vergelijkingen om de bandstructuren en transporteigenschappen te berekenen voor verschillende spin- en valleindices in silicene-superroosters. De breedtes van barrières en putten worden aangenomen gelijk in wat volgt. De resultaten voor het geval met ongelijke put- en barrièrereedtes (d_b≠d_w) zijn vergelijkbaar met die in gatloos grafeen [47]. Sommige parameters worden ingesteld als d_b=d_w=50 nm en λ_SO=3,9 meV in silicene, tenzij anders vermeld. We concentreren ons op de eerste twee minibanden (de laagste valentie- en geleidingsminibanden) in de buurt van het Ferminiveau.

Spin- en Valleiafhankelijke Bandstructuur

Eerst wordt het effect van potentiaal U op minibanden afgebeeld in Fig. 2. Om het gegapte geval en het gatloze geval van energiebanden simultaan te bespreken, stellen we Δ_z=7,8 meV=2λ_SO in. Bij afwezigheid van potentiaal (U=0) zijn de spin-omhoog elektronen in de buurt van de K valleie (K↑ elektronen) en spin-omlaag elektronen in de buurt van de K^′ valleie (K^′↓ elektronen) gatloos (zie Fig. 2 (a1, a4)), terwijl de spin-omlaag elektronen in de buurt van de K valleie (K↓ elektronen) en spin-omhoog elektronen in de buurt van de K^′ valleie (K^′↑ elektronen) een grote gaten hebben (zie Fig. 2 (a2, a3)). De minibanden van spin-omhoog (of spin-omlaag) elektronen verschuiven naar het negatieve (of positieve) energiebereik vanaf E=0 door h, vanwege het effectieve potentiaal U_σ=U−σh. De bandstructuren van K↑ (of K↓) elektronen en K^′↓ (of K^′↑) elektronen vertonen spiegelsymmetrie ten opzichte van E=0, consistent met Vergelijking (6). Deze spiegelsymmetrie wordt echter verstoord in de aanwezigheid van U. Waarneembaar is dat, naarmate U toeneemt, extra Diracpunten verschijnen, waarvan het aantal tegelijkertijd toeneemt. De extra Diracpunten kunnen worden aangetoond door de chiraliteit van de golf-functies in hun nabijheid [46]. De kenmerken van Diracpunten in het silicene-systeem hangen sterk af van de spin- en valleigraden van vrijheid, zoals getoond in Fig. 2. Bijvoorbeeld, bij U=135 meV in Fig. 2 (d1–d4) voor K↑, K↓, K^′↑ en K^′↓ elektronen, zijn de aantallen Diracpunten 5, 6, 4 en 7, respectievelijk. Voor specifieke waarden van U, zoals U=40,66 meV voor K↓ elektronen (zie Fig. 2 (b2)) en U=100,63 meV voor K^′↑ elektronen (zie Fig. 2 (c3)), kan een nieuw Diracpunt worden gegenereerd bij k_y=0, en het zal splitsen in een paar dat in tegengestelde richtingen weggaat van het k_y=0 punt maar altijd k_x=0 houdt, naarmate U verder toeneemt. Als gevolg worden de bandgaten voor K↓ en K^′↑ elektronen gesloten (zie Fig. 2 (b2, c3)), en het gegapte systeem wordt gatloos. Om de kritische waarde van U te vinden, stellen we d_b=d_w en k_x=0 in. Analog aan de regel in gatloos grafeen [47], rekening houdend met de impliciete functiestelling, kan men concluderen dat de longitudinale golffactoren bij de nieuwe Diracpunten voldoen aan q_b=q_w wanneer

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} E_{0} = \frac{(U - \sigma h)^{2} - \Delta_{z}^{2} + 2 \eta \sigma \Delta_{z} \lambda_{SO}}{2(U - \sigma h)}. \end{array} $$ (7)

Energiespectrum versus k_y voor verschillende waarden van potentiaal U. (a1–a4) U=0; (b1–b4) U=40,66 meV; (c1–c4) U=100,63 meV; (d1–d4) U=135,0 meV. De parameterwaarden zijn h=8,0 meV, Δ_z=7,8 meV, en k_x=0.

Voor K↑ en K^′↓ elektronen met ησ=1, wanneer Δ_z=2λ_SO, kan Vergelijking (7) reduceren tot

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} E_{0} = \frac{U - \sigma h}{2}. \end{array} $$ (8)

Correspondend gaat Vergelijking (6) over in

$$ {}\cos^{2}(q_{w} d_{w}) - \frac{\left(\epsilon_{b}^{2} + \epsilon_{w}^{2}\right) q_{w}^{2} + (\epsilon_{b} - \epsilon_{w})^{2} k^{2}_{y}}{2 \epsilon_{w} \epsilon_{b} q_{w}^{2}} \sin^{2}(q_{w} d_{w}) = 1, $$ (9)

wat vervuld is wanneer \(\left (\epsilon _{b}^{2} + \epsilon _{w}^{2}\right) q_{w}^{2} + (\epsilon _{b} - \epsilon _{w})^{2} k^{2}_{y} = -2 \epsilon _{w} \epsilon _{b} q_{w}^{2}\) of q_wd=2nπ (n is een positief geheel getal). Op basis van Vergelijking (8) hebben we ε_b=−ε_w, en dus is de eerste gelijkheid alleen vervuld als k_y0=0 voor K↑ en K^′↓ elektronen bij Δ_z=2λ_SO, corresponderend met het oorspronkelijke Diracpunt. De oplossingen van q_wd=2nπ hebben de vorm

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} k_{y0} = \pm \frac{1}{d} \sqrt{\frac{\left(E_{0}^{2}-\lambda_{SO}^{2}\right)d^{2}}{(\hbar v_{F})^{2}} - (2n\pi)^{2}}. \end{array} $$ (10)

Wanneer \(\sqrt {E_{0}^{2}-\lambda _{SO}^{2}}d / 2\pi \hbar v_{F} \geq n\), is k_y0 reëel, en zullen de nieuwe Diracpunten ontstaan die precies gelegen zijn bij (E₀,k_y0). Bij lage waarden van U is k_y0 imaginair, en er is geen oplossing voor n, wat betekent dat er geen extra Diracpunten zijn. De Diracpunten verschijnen pas na een kritische waarde van U, zoals U=40,66 meV voor K↓ elektronen in Fig. 2 (b2), corresponderend met n=1. Volgens Vergelijking (10) kan het aantal Diracpunten N_D worden verkregen. Wanneer Δ_z=2λ_SO,

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} N_{D} = 2 \left[ \frac{\sqrt{E_{0}^{2}-\lambda_{SO}^{2}}d}{2\pi\hbar v_{F}} \right] + 1 \end{array} $$ (11)

voor K↑ en K^′↓ elektronen, terwijl

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} N_{D} = 2 \left[ \frac{\sqrt{E_{0}^{2}-\lambda_{SO}^{2}}d}{2\pi\hbar v_{F}} \right] \end{array} $$ (12)

voor K↓ en K^′↑ elektronen, waar [...] een geheel deel aanduidt. Let op dat bij de kritische waarde van U, zoals U=40,66 meV en 100,63 meV, het aantal Diracpunten N_D=2n−1 is voor K↓ en K^′↑ elektronen (zie Fig. 2 (b2, c3)).

Vergelijkingen (7) en (10) tonen aan dat de posities en het aantal Diracpunten kunnen worden aangepast door het elektrisch veld E_z en het uitwisselingsveld h. Figuur 3 toont het aantal Diracpunten N_D als functie van U voor verschillende waarden van E_z en h. Wanneer Δ_z=7,8 meV in Fig. 3a, met toenemend U, neemt N_D voor K↑ en K^′↓ elektronen toe in de vorm van oneven getallen, consistent met Vergelijking (11). N_D voor K↓ en K^′↑ elektronen neemt toe in de vorm van even getallen, consistent met Vergelijking (12), uitgezonderd N_D bij de kritische waarde. Vergelijking tussen Fig. 3a en b wijst erop dat naarmate h toeneemt, de kritische waarde voor spin-omlaag (of spin-omhoog) elektronen geleidelijk afneemt (of toeneemt). Wanneer Δ_z=15 meV≠2λ_SO in Fig. 3c, neemt N_D voor alle elektronen toe in de vorm van even getallen, uitgezonderd N_D bij de kritische waarde. Duidelijk is dat de kritische waarden van U verschillend zijn voor elektronen met verschillende spins en valleien. De Diracpunten kunnen worden gecontroleerd door een gezamenlijke modulatie van de parameters U, E_z, en h.

Aantal Diracpunten N_D versus potentiaal U. (a) h=8,0 meV en Δ_z = 7,8 meV; (b) h = 20,0 meV en Δ_z = 7,8 meV; (c) h = 8,0 meV en Δ_z=15,0 meV.

Het potentiaal U en de barrièrereedte d_b kunnen worden gebruikt om de bandgape te regelen, geïllustreerd in Fig. 4. De gaten voor K↑ en K^′↓ elektronen zijn klein, terwijl de gaten voor K↓ en K^′↑ elektronen groot zijn vanwege Δ_ησ=Δ_z−ησλ_SO. Naarmate U toeneemt, bewegen alle minibanden geleidelijk naar het hoge-energieregio (zie Fig. 4a), en tonen alle bandgaten gedempte oscillaties met U (zie Fig. 4b). Wanneer U=σh, is het effectieve potentiaal nul, en bereikt de gaten de maximumwaarde. De gaten sluit bij de kritische waarde van U, terzijde van de opkomst van nieuwe Diracpunten. Figuur 4c, d toont de afhankelijkheid van minibanden en bandgaten van de barrièrereedte d_b bij U=0. Bij afwezigheid van extern veld (d_b=0) blijven de minibanden gedegeneerd, en is de gaten bij het Ferminiveau 2λ_SO. Met het verschijnen van d_b wordt de miniband gesplitst, waar valleie en spin niet-gedegeneerd worden. De minibanden van K↑ (of K↓) en K^′↓ (of K^′↑) elektronen behouden spiegelsymmetrie over E=0 (zie Fig. 4c). Naarmate d_b toeneemt, verbreken de gaten van K↓ en K^′↑ elektronen geleidelijk. De gaten van K↑ en K^′↓ elektronen dalen naar nul wanneer d_b voldoet aan d_b/d_w=λ_SO/Δ_z, en nemen daarna toe met d_b (zie Fig. 4d). De gatenbreedtes benaderen verzadiging met verdere toename van d_b. Verder wordt de breedte van de miniband kleiner naarmate d_b toeneemt (niet getoond in de figuur), vanwege de minder koppeling van eigenstoestanden. Het effect van het elektrisch veld op de bandgape is analoog aan dat in eerdere studies [50].

(a) Minibanden in de buurt van het Ferminiveau en (b) hun bandgaten bij het oorspronkelijke Diracpunt versus potentiaal U, bij d_b=d_w=50 nm. (c) Minibanden in de buurt van het Ferminiveau en (d) hun bandgaten bij het oorspronkelijke Diracpunt versus d_b, bij U=0 en d_w=50 nm. De waarden van de andere parameters zijn h=8,0 meV, Δ_z=15,0 meV, en k_x=k_y=0.

De groepssnelheid hangt sterk af van de spin- en valleindices, zoals getoond in Fig. 5. De componenten (v_x,v_y) van de snelheid kunnen worden gedefinieerd als

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} v_{x} / v_{F} = \partial E / \partial k_{x}, \quad v_{y} / v_{F} = \partial E / \partial k_{y}. \end{array} $$ (13)

(a–d) Snelheid versus potentiaal U, en de parameters zijn ingesteld als h=20,0 meV en Δ_z=7,8 meV. De zwarte, rode, blauwe en groene doorgetrokken lijnen zijn de snelheden v_0x, v_1x, v_2x, en v_3x, respectievelijk. De zwarte, rode, blauwe en groene streepjes lijnen zijn de snelheden v_0y, v_1y, v_2y, en v_3y, respectievelijk.

Figuur 5 toont de snelheidscomponenten v_mx en v_my in eenheden van v_F bij het oorspronkelijke Diracpunt (m=0) en nieuwe Diracpunten (m=1,2,3). Men ziet dat naarmate U toeneemt, v_0y oscilleert op een gedempte manier en v_0x≈v_F bijna onveranderd blijft (zie Fig. 5a, d). Bij de kritische waarde van U waar de nieuwe Diracpunten ontstaan, is v_mx≈v_F maar v_0y=v_my=0, wat een collimatiedrag aangeeft langs de k_x richting voor specifieke spins en valleien. Wanneer U de kritische waarde overschrijdt en verder toeneemt, stijgen v_my naar v_F maar dalen v_mx geleidelijk naar nul. Het effect van het periodieke potentiaal is sterk anisotroop, als gevolg van de chirale aard. De kenmerken van anisotrope snelheid zijn verschillend voor verschillende spins en valleien vanwege de gaten Δ_ησ en het potentiaal U_σ, die kunnen worden beheerst door U in te zetten. Neem U=20 meV als voorbeeld, v_0y=v_F voor K↑ elektronen is veel groter dan v_0y=0,16v_F voor K^′↓ elektronen, en geen v_0y voor K↓ en K^′↑ elektronen vanwege de bandgape. v_mx (of v_my) voor spin-omhoog elektronen is altijd groter (of kleiner) dan die voor spin-omlaag elektronen in dezelfde valleie. Opvallend is dat Fig. 5 ook impliceert dat voor kleine waarden van U, v_0x, v_0y, en v_mx kleiner zijn dan v_F vanwege Δ_z en h, in tegenstelling tot het gatloze systeem [44]. Bijvoorbeeld, v_1x=0,98v_F, 0,89v_F, 0,89v_F, en 0,98v_F voor K↑, K↓, K^′↑ en K^′↓ elektronen, respectievelijk, wanneer het Diracpunt verschijnt. Om de invloed van Δ_z en h op de groepssnelheid te verduidelijken, toont Fig. 6 de snelheden (v_0x,v_0y) als functie van (a) Δ_z en (b) h voor K↑ elektronen. Uit Fig. 6a zien we duidelijk dat v_0x monotonicaal afneemt met Δ_z terwijl v_0y ongevoelig is voor de verandering van Δ_z. Integenstelling, v_0x is ongevoelig voor h, terwijl v_0y stijgt naar de maximumwaarde v_0y=v_F bij h=σU en daarna afneemt met h. De resultaten wijzen erop dat de groepssnelheid kan worden onderdrukt door Δ_z en h in silicene.

Snelheden v_0x en v_0y versus (a) Δ_z en (b) h, voor K↑ elektronen. (a) h=20,0 meV en λ_SO=Δ_z/2. (b) Δ_z=7,8 meV.

Spin- en Valleigepolariseerd Transport

De spin- en valleiafhankelijke bandstructuur weerspiegelt zich in de transporteigenschap en biedt een leidraad voor het controleren van het transport. In deze sectie bespreken we de eigenschappen van spin- en valleigepolariseerd transport door een eindig silicene-superrooster. Figuur 7 toont de transmissiekans T_ησ voor (a, c) K↑ en (b, d) K↓ elektronen, en het periodenaantal n=10. De rode streepjes lijnen zijn de minibanden, die ook de grenzen zijn voor verschillende elektronische toestanden die de transmissie bepalen. We zien dat de transmissie beperkt is tot het minibandgebied en geen transmissie in het bandgaatgebied (zie Fig. 7a, b). De verdeling van transmissie is symmetrisch rond k_y=0 vanwege de symmetrische minibanden. De resonantie-eigenschap van transmissie ontstaat door de resonante toestanden. Het moet worden opgemerkt dat de transmissie nog steeds bestaat in het gatengebied in de buurt van k_y=0 vanwege het tunnelingeffect van eigenstoestanden. T_ησ op het Ferminiveau voor K↑ en K↓ elektronen worden getoond in Fig. 7c, d), respectievelijk. Men ziet duidelijk dat veel dunne resonante pieken met T_ησ=1 precies optreden op de posities van de Diracpunten, wat een toepassing van het systeem als een spin- en valleiefilter suggereert.

Contourplot van de transmissie T_ησ(E,k_y) voor (a), (c) K↑ elektronen en (b), (d) K↓ elektronen. De parameterwaarden zijn dezelfde als in Fig. 2 (d1–d4), en n=10.

De sterke afhankelijkheid van de bandstructuur van de spin- en valleindices is gunstig voor de realisatie van hoge spin- en valleipolarisaties. Figuur 8 toont de minibanden, geleidingen G_ησ, spinpolarisatie P_s, en valleipolarisatie P_v als functie van potentiaal U. Het kan worden vastgesteld dat de verdeling van geleiding volledig in overeenstemming is met de bandstructuur, dat wil zeggen, de geleiding (of geleidingsgaat) correspondeert met de miniband (of bandgaat). De minibanden voor spin-omhoog en spin-omlaag elektronen kunnen alternerende verdeling vertonen door h correct aan te passen. Gevolgelijk vertonen \(G_{K(K^{\prime })\uparrow }\) en \(G_{K(K^{\prime })\downarrow }\) ook alternerende verdeling, d.w.z., \(G_{K(K^{\prime })\uparrow }\) is bijna nul in die gebieden waar \(G_{K(K^{\prime })\downarrow }\) in resonantie is en vice versa. Dit resultaat leidt direct tot een opmerkelijke spinpolarisatie, wat een schakelingseffect van spinpolarisatie voorstelt (zie Fig. 8a). Door Δ_z te veranderen, kunnen de minibanden en geleidingen voor elektronen in de buurt van K en K^′ valleien worden gecontroleerd, wat leidt tot een volledig valleigepolariseerde stroom (zie Fig. 8b). Vergeleken met spinpolarisatie is de valleipolarisatie niet perfect genoeg. Dit nadeel kan echter worden gecorrigeerd via de onordestructuur van het systeem, zoals besproken in het volgende.

Minibanden, geleidingen G_ησ, spinpolarisatie P_s, en valleipolarisatie P_v versus potentiaal U. (a) Δ_z=4,0 meV. (b) Δ_z=12,0 meV. Andere parameters zijn ingesteld als h=7,0 meV, E=6,0 meV, d_b=d_w=120 nm, en n=10.

Figuur 9 toont de (a) spinpolarisatie P_s en (b) valleipolarisatie P_v in de (U,h) ruimte. Interessant is dat zowel P_s als P_v periodieke veranderingen vertonen in het overwogen gebied, wat niet wordt waargenomen in de ferromagnetische silicenejunctie [33]. Beide verdelingen van P_s en P_v zijn antisymmetrisch ten opzichte van h→−h. Het is mogelijk om onafhankelijk een volledige spin- en valleipolarisatie te bereiken door een correcte afstelling van de velden U en h. Bijvoorbeeld, wanneer h=6 meV en U=42 meV, is P_s≈1 en P_v≈1, wat betekent dat de stroom voornamelijk wordt bijgedragen door K↑ elektronen. Wanneer h=6 meV en U=44 meV, is P_s≈1 en P_v≈−1, terwijl P_s≈−1 en P_v≈−1 bij h=6 meV en U=46 meV. De resultaten tonen aan dat een spin- en valleipolarisatie effectief kan worden geschakeld.

Contourplot van (a) spinpolarisatie P_s(U,h) en (b) valleipolarisatie P_v(U,h), bij Δ_z=10,0 meV. De waarden van de andere parameters zijn dezelfde als in Fig. 8.

In experimenten is de structurele onvolmaaktheid van het model onvermijdelijk vanwege de beperkingen van de experimentele technieken. Daarom is het nodig om het effect van de onorde op de transmissie te bespreken. Wanneer het elektrisch veld of het uitwisselingsveld onorde vertoont, worden de geleiding, spinpolarisatie, en valleipolarisatie getoond in Fig. 10 en 11. We stellen onordesituaties in waarbij Δ_z en h fluctueren rond hun gemiddelde waarden, gegeven door 〈Δ_z〉=Δ_z0 en 〈h〉=h₀, respectievelijk. De fluctuaties worden gegeven door

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \Delta_{z} |_{i} = \Delta_{z0} (1 + \delta \zeta_{i}), \quad h |_{i} = h_{0} (1 + \delta \zeta_{i}), \end{array} $$ (14)

Geleidingen (a) G_↑ en (b) G_↓ versus potentiaal U, wanneer het elektrisch veld onorde vertoont, bij n=50 en Δ_z0=20,0 meV. De doorgetrokken, streepjes, gestippelde, en streep-gestippelde lijnen corresponderen met de onordesterkte δ=0,0, 0,1, 0,3, en 0,6, respectievelijk. De waarden van de andere parameters zijn dezelfde als in Fig. 8.

Polarisaties P_s en P_v versus potentiaal U wanneer a het elektrisch veld of b het uitwisselingsveld onorde vertoont. Δ_z0=20,0 meV en h=7,0 meV in (a). Δ_z=20,0 meV en h₀=7,0 meV in (b). De waarden van de andere parameters zijn dezelfde als in Fig. 10.

waar {ζ_i} een set van ongecorreleerde willekeurige variabelen of witruis is, −1<ζ_i<1, δ is de onordesterkte, en i is de positie-index. Let op dat de onorde alleen plaatsvindt in de x-richting, en het systeem is altijd homogeen in de y-richting. Dus k_y blijft geconserveerd. Figuur 10 toont het effect van de onorde van het elektrisch veld op de geleidingen (a) G_↑ en (b) G_↓. Met de aanwezigheid en toename van de onordesterkte δ, worden zowel G_↑ als G_↓ geleidelijk onderdrukt, en splitselt elk resonante piek in veel kleine pieken. Men kan vaststellen dat het geleidingsbereik vernauwt terwijl het geleidingsgaatbereik verbreedt. Daarom vallen de toelaatbare (of verboden) bereiken van G_↑ volledig in de verboden (of toelaatbare) bereiken van G_↓, wat leidt tot een uitstekende spinpolarisatie (zie Fig. 11). Verder zijn de posities van geleidingen en geleidingsgaten bijna onveranderlijk als δ verandert, wat suggereert dat de miniband en bandgaat ongevoelig zijn voor de onorde. Let op dat het onorde-effect van het elektrisch veld op G_K en G_K^′ vergelijkbaar is met dat waargenomen in Fig. 10. Figuur 11 toont de onorde-effecten van (a) het elektrisch veld en (b) het uitwisselingsveld op polarisaties P_s en P_v. Duidelijk is dat met de toename van δ, P_s en P_v sterk toenemen, en het polarisatieplatform verbreedt. Dus wordt een volledige spin- en valleipolarisatie gerealiseerd. Vergelijking tussen Fig. 11a en b wijst erop dat het onorde-effect van het uitwisselingsveld uitgesprokener is. De resultaten tonen aan dat de onorde de spin- en valleipolarisaties kan versterken vergeleken met het geordende geval, wat een voordeel is in realistische toepassingen.

Conclusies

Samengevat hebben we gedetailleerd aangetoond dat de bandstructuur en transporteigenschappen van silicene onder een periodiek veld sterk afhangen van de spin- en valleigraden van vrijheid. De numerieke resultaten wijzen erop dat elektronen met verschillende spins en valleien verschillende kenmerken vertonen in Diracpunt, bandgaat, en groepssnelheid. In het bijzonder, vanwege het elektrisch veld en het uitwisselingsveld, wordt de anisotrope snelheid beperkt, wat een collimatiedrag vertoont voor specifieke spins en valleien. Daarom vertoont de transmissie een sterke spin- en valleiafhankelijke eigenschap, consistent met de bandstructuur, wat resulteert in een significante spin- en valleipolarisatie. Bovendien kan de onorde de spin- en valleipolarisaties sterk versterken. Ten slotte hopen we dat deze resultaten bijdragen kunnen aan de potentiële toepassingen van de spin- en valleindices.

Afkortingen

2D:

Tweedimensionaal

FM:

Ferromagnetisch

SOI:

Spin-baaninteractie