Ultra-breedband terahertz polarisatiecontrole via anisotrope dielektrische metasurfaces

Samenvatting

We demonstreren terahertz dielektrische metasurfaces met anisotrope multipolen binnen het kader van het gegeneraliseerde Huygens-principe, waarbij de interferentie tussen deze multipolen een reuzematige faseverschuiving met verbreedde bandbreedte en hoge transmissiecoëfficiënten realiseert. Belangrijker nog, dankzij het anisotrope ontwerp worden verschillende fasevertragingen tussen π/2 en 3π/2 verkregen, die de invalsend lineair gepolariseerde terahertz-golf omzetten in rechts-/linkshandig circulair gepolariseerd licht, elliptisch gepolariseerd licht en kruispolarisatie licht. Zowel simulatie- als experimentele resultaten verifiëren complete terahertz polarisatiecontrole met ellipticiteit varierend van 1 tot −1, wat de weg baant voor polarisatie-gerelateerde toepassingen van terahertz meta-apparaten.

Inleiding

Polarisatie is een van de sleutelparameters die de toestand van een elektromagnetische golf kwantificeert [1]. In het bijzonder heeft polarisatiecontrole in het terahertz-gebied grote onderzoeksbelangstelling getrokken vanwege potentiële toepassingen in terahertz-technologie [2, 3]. Echter, terahertz-golven gegenereerd door de meeste terahertz-bronnen zijn lineair gepolariseerd [4], wat niet voldoet aan de eisen in complexe polarimetrische terahertz-systemen. Conventionele benaderingen om de polarisatie van terahertz-golven te manipuleren omvatten birefringente materialen, die inherent lijden aan veel nadelen, waaronder grote afmetingen en smalbandoperatie. Dergelijke tekortkomingen hinderen de integratie van deze apparaten in moderne compacte en breedband terahertz-fotonische systemen.

In de afgelopen jaren bieden metasurfaces – kunstmatig ontworpen antenneregels – een efficiënte benadering om de polarisatie van terahertz-golven te vormgeven [5, 6]. Verschillende metaal-gebaseerde metasurfaces zijn voorgesteld om polarisatiecontrole te realiseren. De voorgestelde ontwerpen zijn normaal gebaseerd op anisotrope metasurfaces [7], chirale metasurfaces [8] en meervoudige metasurfaces [9, 10]. Actieve media, zoals faseveranderende materialen [11], halfgeleiders [8], tweedimensionale materialen [12, 13], vloeistofkristallen [14] en supraleiders [15], zijn geïntegreerd in metasurfaces om de functionaliteiten uit te breiden. Meervoudige en actieve metaal-metasurfaces kunnen de prestaties van polarisatiecontrole verder verbeteren, ten koste van hoge verliezen en complexe fabricageprocessen. Recent bieden dielektrische metasurfaces, samengesteld uit dielektrische antennes, een nieuwe benadering om elektromagnetische golven te controleren [16]. Gesteund door de interferentie tussen elektrische en magnetische Mie-resonanties, zijn dielektrische metasurfaces in staat om 2π-fasecontrole met hoge efficiëntie te realiseren [17]. Grote inspanningen zijn gewijd aan het verbeteren van de prestaties van dielektrische metasurfaces voor terahertz-polarisatiecontrole [18, 19]. Echter, de meeste eerdere gerapporteerde werken zijn gebaseerd op elektrische en magnetische dipolresonanties, wat beperkte prestaties realiseerde, zoals beperkte fasevertragingscontrolebereiken en in principe enkelvoudige-frequentie-operatie [17], en dus de complete manipulatie van de polarisatie van terahertz-golven met hoge prestaties belemmerde.

Hier voelen we dielektrische metasurfaces met multipolen voor, die de fase-dispersie sterk oplichten met een faseverschuiving tot 4π en een reuzematige fasevertraging, verbreedde bandbreedte en hoge efficiëntie realiseren, wat complete terahertz-polarisatiecontrole mogelijk maakt. Samengesteld uit elliptische silicium-pilaraarrays, zijn de voorgestelde metasurfaces in staat om verschillende elektrische en magnetische multipolen te ondersteunen. Door deze multipolen te overlappen, kan nabij-perfecte transmissie in verbreedde bandbreedte en tot 4π faseverschuiving bereikt worden met behulp van het gegeneraliseerde Huygens-principe [20, 21]. Vanwege de anisotropie van de silicium-pilaren kan de superpositie van multipolen onafhankelijk worden gewijzigd langs de korte en lange assen van de elliptische pilaren. Daarmee is een reuzematige fasevertraging in een breedband bereikbaar in dergelijke dielektrische metasurfaces, wat superieure prestaties toont vergeleken met andere metaal- en dielektrische ontwerpen (zie Bijlage 1: Fig. S1). Aangezien onze voorgestelde ontwerpen complete polarisatiecontrole realiseren binnen een eenvoudig ontwerpkader, kunnen de meta-atomen kunstmatig gerangschikt worden om de polarisatiegraad ruimtelijk te variëren en complexe terahertz-bundels te genereren, zoals ellipticiteits-variabele vectorvelden [22].

Ontwerp en Simulatie

De door een dielektrische antenne verstrooide elektromagnetische golf kan worden ontbonden in multipolen met verschillende symmetrieën [23]. Wanneer de dielektrische antenne in arrays in metasurfaces wordt gerangschikt, kan het verstrooide veld \(\overline{E}\) worden uitgedrukt als de som van een symmetrische component \(\overline{E}_{s}\) en een anti-symmetrische component \(\overline{E}_{as}\). De transmissie en reflectie van de metasurfaces langs de golfvoortplantingsrichting \(\hat{z}\) kunnen algemeen worden afgeleid als [21, 24, 25]:

$$T = \left| {1 + \overline{E}_{s} (\hat{z}) + \overline{E}_{as} (\hat{z})} \right|^{2} ,$$ (1) $$R = \left| {\overline{E}_{s} ( - \hat{z}) + \overline{E}_{as} ( - \hat{z})} \right|^{2} ,$$ (2)

waarbij de amplitude van de invalsgolf gedefinieerd is als 1. Om hoge transmissie en verwaarloosbare reflectie te realiseren, moeten \(\overline{E}_{s} ( - \hat{z})\) en \(\overline{E}_{as} ( - \hat{z})\) in de achterwaartse richting dezelfde amplitudes hebben maar tegengestelde fasen. In het bijzonder, wanneer de dielektrische antenne twee multipolen ondersteunt, zoals een symmetrische resonantie (bijv. elektrische dipol) en een anti-symmetrische resonantie (bijv. magnetische dipol), kan hun superpositie aan de eis van destructieve interferentie voldoen. De destructieve interferentie leidt tot nul reflectie wanneer deze twee dipolmodes dezelfde resonantiefrequentie bezitten met dezelfde amplitude en kwaliteitsfactor, wat voorgesteld is in Huygens-metasurfaces [17]. Echter, dergelijke destructieve interferentie treedt alleen op in een smal band, wat fundamenteel beperkingen oplegt aan de realisatie van breedbandapparaten. Om de werkende bandbreedte te verbreden, moeten de verstrooide velden \(\overline{E}_{s}\) en \(\overline{E}_{as}\) bijdragen van andere hogere-orde multipolen omvatten, waarbij de resulterende transmissie een balans is van multipolaire interferentie tussen deze multipolen. Dit scenario lijkt op het concept van de gegeneraliseerde Kerker-voorwaarde met multipolaire interferentie [26-28].

Om alle polarisatietoestanden volledig te dekken, inclusief rechts-/linkshandige circulair polarisatie, elliptische polarisatie en lineaire polarisatie, moet de fasevertraging van 90° tot 270° dekken, wat overeenkomt met ellipticiteit varierend van 1 tot −1. We voeren daarom anisotrope dielektrische metasurfaces voor samengesteld uit elliptische silicium-pilaraarrays, zoals getoond in Fig. 1a. In het terahertz-gebied wordt intrinsiek silicium gebruikt om absorptieverliezen te elimineren. Zoals aangegeven in Fig. 1a, kan de lineair gepolariseerde invalslicht worden omgezet in circulair gepolariseerd licht, elliptisch gepolariseerd licht en kruispolarisatie licht, wanneer multipolaire interferentie verschillende combinaties handhaaft ten opzichte van verschillende geometrische afmetingen. Figuur 1b toont de parameters van de eenheidscel. De lengtes van de korte en lange assen van de elliptische pilaar zijn a en b, respectievelijk. De hoogte van de pilaar is h. De periodiciteiten van de eenheidscel langs de korte en lange assen zijn P_x en P_y, respectievelijk. Figuur 1c toont de scanning elektronenmicroscopie (SEM) afbeelding van typische silicium-pilaraarrays, wat besproken zal worden in de methodesectie.

a Schematisch van de dielektrische metasurfaces, die volledige polarisatiecontrole realiseren. b Eenheidscel van de dielektrische metasurfaces. c SEM-afbeelding van typische silicium-pilaraarrays in een scheef aanzicht met een ingezoomde afbeelding

Om complete terahertz-polarisatiecontrole in de voorgestelde dielektrische metasurfaces te realiseren, wordt numerieke simulatie uitgevoerd om de afmetingen van de dielektrische metasurfaces te optimaliseren, die tegelijkertijd voldoen aan de eis van 90° tot 270° fasevertragingsvariatie met hoge transmissie en verbreedde bandbreedte. Tussen 90° en 270° wordt een stapgrootte van 45° gekozen om verschillende polarisatiecontroleschema's te demonstreren. Hier noemen we verschillende ontwerpen met betrekking tot hun fasevertragingen, gedefinieerd als P90, P135, P180, P225 en P270, respectievelijk. We voerden de numerieke simulatie uit in de commerciële simulatiesoftware CST Microwave Studio. In de simulatie wordt silicium behandeld als een verliesvrije dielektrische stof met ε_Si = 11,7 in het terahertz-gebied. Het substraat wordt gemodelleerd als een verliesvrije dielektrische stof met ε_sub = 4,5. Periodieke randvoorwaarden worden toegepast langs zowel x- als y-assen. Terahertz-golf wordt bestraald op de pilaren in de z-richting met open add space randvoorwaarde. Aan de achterkant van het substraat wordt een open randvoorwaarde gebruikt om een semi-oneindig substraat te simuleren. Figuur 2a toont de gesimuleerde transmissie en fasevertragingen van vijf verschillende metasurfaces. De gedetailleerde parameters van alle metasurfaces worden gepresenteerd in Bijlage 1: Tabel S1. Het wordt waargenomen dat alle metasurfaces hoge transmissiecoëfficiënten vertonen voor zowel x- als y-gepolariseerde inval van 1,2 tot 1,3 THz, terwijl de fasevertragingen varieren van 90°, 135°, 180°, 225° tot 270°, respectievelijk. De gelijke transmissiecoëfficiënten met een fasevertraging van 90° duiden erop dat het invalslicht kan worden omgezet in linkshandig circulair gepolariseerd (LCP) licht. Op dezelfde manier worden de fasevertragingen van 135°, 180°, 225° en 270° verkregen met de polarisatie van het uitgaande licht die elliptische, kruis- en rechtshandige circulair polarisatie bedekt. Zo wordt complete polarisatiecontrole van terahertz-golf bereikt in de voorgestelde dielektrische metasurfaces, wat superieure prestaties toont vergeleken met meta-apparaten met beperkte bandbreedtes, lage efficiënties en beperkte dekking van fasevertragingen [18, 29].

a Gesimuleerde en b experimenteel gemeten transmissiecoëfficiënten en fasevertragingen van de dielektrische metasurfaces voor de ontwerpen P90, P135, P180, P225 en P270, respectievelijk

Resultaten en Discussie

Om de prestaties van polarisatieconversie te valideren, werden de silicium-pilaraarrays gefabriceerd en gekarakteriseerd in een terahertz-tijddomein-spectroscopie (THz-TDS). Het fabricageproces is te vinden in de Methodesectie. Een dun borosilicaatglas (BF33, dikte 300 μm) is gekozen als substraat. De SEM-afbeelding van een typisch monster voor het ontwerp met 270° fasevertraging wordt gepresenteerd in Fig. 1c in een scheef aanzicht met een ingezoomde afbeelding als inset. Om de prestaties van de metasurfaces te karakteriseren, werden de elektrische velden van de getransmitteerde terahertz-golf langs de korte en lange assen van de silicium-pilaren aangeduid als \(\overline{E}_{x}\) en \(\overline{E}_{y}\). Een kaal glas substraat werd gemeten als referentie met de bijbehorende getransmitteerde elektrische velden van \(\overline{E}_{x({\rm ref})}\) en \(\overline{E}_{y({\rm ref})}\). De transmissiecoëfficiënten werden uitgedrukt als \(\overline{t}_{x} = \overline{E}_{x} /\overline{E}_{x({\rm ref})}\) en \(\overline{t}_{y} = \overline{E}_{y} /\overline{E}_{y({\rm ref})}\). De fasevertraging tussen twee orthogonale polarisaties werd berekend en aangeduid als \(\varphi = \varphi_{y} - \varphi_{x} = \arg (\overline{t}_{y} ) - \arg (\overline{t}_{x} )\). De details van het meetsysteem zijn te vinden in de Methodesectie.

De gemeten transmissiecoëfficiënten en fasevertragingen van de dielektrische metasurfaces worden getoond in Fig. 2b. Zoals te zien is, worden hoge transmissiecoëfficiënten binnen de ontworpen frequentiebereiken verkregen voor de gevallen P90, P135, P180, P225 en P270, met de bijbehorende fasevertragingen dicht bij 90°, 135°, 180°, 225° en 270°, respectievelijk. Een kleine discrepantie tussen de gesimuleerde en gemeten resultaten kan worden waargenomen, wat kan oorspronkelijk zijn van de formaatfluctuaties tijdens het fabricageproces. Oppervlakterauwheid van de metasurfaces kan een ander probleem zijn dat extra verlies oplevert en de transmissiecoëfficiënten verlaagt [30]. Daarnaast is het de moeite waard om op te merken dat de substraateffecten, inclusief verliezen en reflecties, in detail worden besproken in de Bijlage (zie Bijlage 1: Fig. S2).zelfs zo, valideren de gelijke variatietrends tussen de gemeten en gesimuleerde resultaten de prestaties van de dielektrische metasurfaces voor polarisatiecontrole.

Om de prestaties van polarisatieconversie in de metasurfaces volledig te onderzoeken, werd de ellipticiteit van de getransmitteerde golf berekend, gedefinieerd als:

$$\chi = S_{3} /S_{0} ,$$ (3)

waarbij S₀ en S₃ de Stokes-parameters zijn die direct berekend kunnen worden op basis van de transmissiecoëfficiënten en fasevertragingen [29]. Zoals getoond in Fig. 3, tonen de simulateresultaten een volledige dekking van de ellipticiteit van 1 tot −1. Over het algemeen toont de prestatie van polarisatieconversie dicht bij 1,2–1,3 THz gelijke variatietrends voor zowel de simulatie- als experimentele resultaten. Enige discrepanties treden op rond 1,4 THz, wat kan oorspronkelijk zijn van twee aspecten. Erstens, in de simulatie wordt het substraat behandeld als een verliesvrij materiaal met oneindige dikte, terwijl in experimenten het substraat duidelijke verliezen bezit met een dikte van 300 μm. Deze verliezen zouden de hoge-Q resonanties (MD bij 1,4 THz bijvoorbeeld) dempen en de transmissiespectra vervlakken. Tweedens zijn de geometrische parameters van de resonatoren in experimenten gevarieerd vergeleken met die gedefinieerd in de simulatie. Een typisch voorbeeld is de breedte van de pilaar die geleidelijk varieert op verschillende hoogtes, wat toe te schrijven is aan het diepe reactieve ionenetsproces in de fabricage. Deze geometrische parameter-variaties zouden de multipolen verbreden en hun overlappende verhogen, en dus de individuele hoge-Q resonanties verslechteren door de superpositie en interferentie. Kortom, het substraateffect en de geometrische parameter-variatie in experimenten resulteren gezamenlijk in de discrepanties vergeleken met die in de simulatie rond 1,4 THz. Dergelijke discrepanties kunnen verder geminimaliseerd worden door het kiezen van laag-verlies substraten (bijv. kwarts, polyimide, SU8) met kleine dikte en het optimaliseren van het fabricageproces ten opzichte van de gesimuleerde parameters. Het is ook op te merken dat de werkende frequenties doorgaans zijn ontworpen om off-resonantie frequenties te zijn, zwak beïnvloed door de verslechtering van hoge-Q resonantie.

a Gesimuleerde en b experimenteel gemeten ellipticiteit van verschillende dielektrische metasurfaces

Om multipolaire interferentie in de dielektrische metasurfaces te illustreren, worden de verstrooiingsdwarssneden (SCSs) van verschillende multipolen berekend door sferische multipool-decompositie ten opzichte van twee orthogonale polarisatierichtingen [19, 24]. De details van multipool-decompositie zijn te vinden in de Methodesectie. Figuur 4 toont de berekende SCSs van verschillende dielektrische metasurfaces onder x- en y-gepolariseerde inval. Eerst voor P90, draagt de magnetische dipol (MD) resonantie bij aan de totale SCS bij 1,4 THz onder x-gepolariseerde inval, terwijl onder y-gepolariseerd licht het voornamelijk optreedt bij 1,18 THz. Bij hogere frequentiegebieden rond 1,42 THz tonen de elektrische dipol (ED), elektrische quadrupel (EQ) en magnetische quadrupel (MQ) componenten duidelijke bijdragen aan de SCSs onder y-gepolariseerd licht. Bij het vergelijken van de SCSs onder x- en y-gepolariseerde inval, in hun overlappende gebied tussen 1,2 en 1,3 THz, waarborgen de off-resonantie voorwaarden hoge transmissiecoëfficiënten, terwijl de interferentie tussen verschillende multipolen verschillende fase-dispersiecurves voor twee orthogonale polarisatierichtingen oplijft. Met een goede balans tussen verschillende multipolen kan een bepaalde fasevertraging met hoge transmissiecoëfficiënten en verbreedde bandbreedtes bereikt worden, wat in ons geval correspondeert met de fasevertraging van 90°. Voor de gevallen P135, P180 en P225 tonen de bijdragen van ED, MD, EQ en MQ gelijke variatietrends als het geval P90 met subtiele verandering van de resonantiefrequenties en mode-overlapping, wat duidelijk de functionaliteit van multipolaire interferentie voor polarisatiecontrole demonstreert. In tegenstelling, voor het geval P270 vereist de fasevertraging van 270° een reuzematige fase-dispersie met hoge transmissie in een breed band, wat moeilijk te realiseren is via de off-resonantie voorwaarde. Om dit probleem op te lossen, ontwerpen we de in-resonantie voorwaarde voor het P270 geval. Onder x-gepolariseerde inval tonen de resonantiemodes van ED, MD en MQ duidelijke bijdragen aan de SCSs tussen 1,2 en 1,3 THz. Onder y-gepolariseerde inval domineert de MD-resonantie bij 1,39 THz. Dus, de multipolaire interferentie-effecten leiden tot hoge transmissie in een breed band met 270° fasevertraging.

Multipool-decompositie van de SCSs voor de ED, MD, EQ en MQ resonanties onder a x- en b y-gepolariseerde inval

Vergeleken met andere bestaande ontwerpen, stelt ons voorgestelde ontwerp een enkellaagsplatform in staat voor complete terahertz-polarisatiecontrole. Belangrijker nog, de fasevertraging van ons ontwerp kan worden gewijzigd van 90° tot 270°, wat verschillende polarisatietoestanden dekt, inclusief circulair polarisatie, elliptische polarisatie en kruis-lineaire polarisatie, wat uitdagend is om in andere bestaande ontwerpen te bereiken (Tabel 1). Tegelijkertijd kunnen de bandbreedte en efficiëntie van ons ontwerp andere bestaande enkellaagsontwerpen overtreffen. Het moet worden opgemerkt dat hoewel meervoudige ontwerpen betere prestaties vertonen vergeleken met ons ontwerp, deze meervoudige meta-structuren complexe ontwerp- en fabricageprocessen vereisen, wat hun toepassingen in compacte terahertz-optische systemen beperkt. Bovendien realiseren onze ontwerpen verschillende polarisatieconversies, terwijl de meeste meervoudige ontwerpen beperkte fasevertragingen bereiken met een enkele polarisatieconversiefunctie.

Conclusies

Samengevat, hebben we complete terahertz-polarisatiecontrole met verbreedde bandbreedte en hoge efficiëntie voorgesteld en experimenteel gedemonstreerd via all-dielektrische metasurfaces. Samengesteld uit elliptische silicium-pilaraarrays, realiseren de voorgestelde metasurfaces gelijke en hoge transmissiecoëfficiënten langs de x- en y-assen, terwijl hun fasevertraging continu afgestemd kan worden van 90° tot 270° met een stapgrootte van 45°. De bijbehorende ellipticiteit verandert van 1 tot −1, wat een volledige dekking van verschillende gepolariseerde licht aangeeft, inclusief LCP-licht, elliptisch gepolariseerd licht, kruispolariseerd licht en RCP-licht. Bovendien verifiëren multipool-decompositieresultaten verschillende bijdragen van multipolen voor de polarisatiecontrole. Dergelijke multipolaire-interferentie-geassisteerde dielektrische metasurfaces beloven een exotische strategie voor het implementeren van hoog-presterende terahertz-functionele polarisatiecontrole-apparaten.

Methodes

De fabricage van de dielektrische metasurfaces omvat standaard fotolithografie en diep reactieve ionenetsen. Ten eerste werd een intrinsieke siliciumwafer met een dikte van 500 μm aan een glaswafer (BF33, dikte 300 μm) gebonden door anodische binding. De resistiviteit van de siliciumwafer is boven 5.000 Ω·cm om absorptieverlies in silicium in het terahertz-gebied te elimineren. De siliciumwafer werd uitgezaagd tot een dikte van 180 μm. Vervolgens werd de wafer gereinigd door aceton en gedioniseerd wafer voor 30 min. Vervolgens werd fotolack AZ4620 op de wafer gespind, gevolgd door zacht-bakken bij 100 °C voor 10 min. Na spinnen werden de elliptische arrays gepatroneerd op het fotolack door fotolithografie (MA6) met een belichtingstijd van 40 s, gevolgd door fotolackontwikkeling in de ontwikkelaar voor 3 min. Daarna werd een hard-bakproces uitgevoerd bij 110 °C voor 5 min. De volgende stap was siliciumetsen door diep reactieve ionenetsen voor 56 min. Ten slotte werd het overgebleven fotolack gereinigd door aceton, isopropanol en gedioniseerd water.

De dielektrische metasurfaces werden gekarakteriseerd in de THz-TDS. In dit systeem werd terahertz-golf gegenereerd vanuit een zelfgemaakte spintronische terahertz-emitter, die gepompt werd door een 100 fs pulslaser bij 800 nm met een herhalingssnelheid van 80 MHz. Vervolgens werd de uitgezonden terahertz-golf gecollimeerd en gefocust door vier off-axis parabolische spiegels. Het gemeten monster werd gepositioneerd op het punt waar de terahertz-golf gefocust was met een bundeldiameter van ongeveer 3 mm. Om de polarisatietoestand van de terahertz-golf volledig te karakteriseren, werden twee terahertz-polarisatoren voor en na het monster geplaatst om de polarisatie te controleren. Ten slotte werd de terahertz-golf gedetecteerd door de elektro-optische sampling-techniek, waarbij een 1 mm dikke ZnTe (110) elektro-optische kristal werd gebruikt voor detectie. De probelasers is afkomstig van hetzelfde lasersysteem voor terahertz-generatie met een probevermogen van 20 mW. De karakterisatie werd uitgevoerd bij kamertemperatuur met een stikstofgasomgeving om waterabsorptie in het terahertz-gebied te verwijderen.

De multipool-decompositie werd uitgevoerd via de intern ontwikkelde Matlab-code. Ten eerste werd de elektrische veldverdeling \(\overline{\user2{E}}_{{{\mathbf{inter}}}} \left( {\hat{\user2{r}}} \right)\) binnen de elliptische silicium-pilaar geëxtraheerd uit de numerieke gesimuleerde resultaten. Vervolgens werd de stroomdichtheid \(\overline{\user2{J}}\left( {\hat{\user2{r}}} \right)\) in de silicium-pilaar afgeleid als \(\overline{\user2{J}}\left( {\hat{\user2{r}}} \right) = - i\omega \left[ {\overline{\varepsilon }\left( {\hat{\user2{r}}} \right) - \varepsilon_{0} } \right]\overline{\user2{E}}_{{{\mathbf{inter}}}} \left( {\hat{\user2{r}}} \right)\), waar ω de hoekfrequentie is, ε₀ de vacuümpermittiviteit. Vervolgens kunnen verschillende stroom-multipool-momenten worden ontbonden als:

$$\overline{\user2{M}}^{\left( l \right)} = \frac{{\text{i}}}{{\left( {l - 1} \right)!\omega }}\smallint \overline{\user2{J}}\left( {\hat{\user2{r}}} \right)\underbrace {{{\varvec{rr}} \ldots {\varvec{r}}}}_{{l - 1{\text{terms}}}}{\text{d}}^{3} {\varvec{r}},$$ (4)

waarbij l de orde van de verschillende momenten is en \(\overline{\user2{M}}^{\left( l \right)}\) een tensor van rang l is [19, 24]. We berekenden de eerste- en tweede-orde stroom-multipool-momenten, wat overeenkomt met dipol- en quadrupelmomenten. Andere hogere-orde momenten worden niet in aanmerking genomen omdat ze doorgaans heel zwak zijn en verwaarloosbare bijdragen leveren aan de totale verstrooide velden. Op basis van de eerste- en tweede-orde stroom-multipool-momenten kunnen multipool-coëfficiënten \(a_{E} \left( l \right)\) en \(a_{M} \left( l \right)\) direct worden verkregen. Dus, de verstrooiingsdwarssneden van multipolaire modi kunnen worden berekend met de volgende vergelijkingen,

$$C_{s} = \frac{\pi }{{k^{2} }}\mathop \sum \limits_{l = 1}^{\infty } \left( {2l + 1} \right)\left[ {\left| {a_{E} \left( l \right)} \right|^{2} + \left| {a_{M} \left( l \right)} \right|^{2} } \right],$$ (5)

waarbij k het golffrequentienummer is.

Beschikbaarheid van gegevens en materialen

De datasets die gebruikt en/of geanalyseerd zijn tijdens de huidige studie, zijn beschikbaar bij de corresponderende auteur op redelijk verzoek.

Afkortingen

SEM:

Scanning elektronenmicroscopie

LCP:

Linkshandig circulair gepolariseerd

RCP:

Rechtshandig circulair gepolariseerd

SCS:

Verstrooiingsdwarssnede

MD:

Magnetische dipol

ED:

Elektrische dipol

EQ:

Elektrische quadrupel

MQ:

Magnetische quadrupel

THz-TDS:

Terahertz-tijddomein-spectroscopie