MATLAB - Calculus

MATLAB biedt verschillende manieren om problemen met differentiaal- en integraalrekening op te lossen, differentiaalvergelijkingen van elke graad op te lossen en limieten te berekenen. Het beste van alles is dat u eenvoudig de grafieken van complexe functies kunt plotten en maxima, minima en andere stationaire punten in een grafiek kunt controleren door de oorspronkelijke functie en de afgeleide ervan op te lossen.

In dit hoofdstuk worden rekenproblemen behandeld. In dit hoofdstuk bespreken we pre-calculusconcepten, d.w.z. het berekenen van limieten van functies en het verifiëren van de eigenschappen van limieten.

In het volgende hoofdstuk Differentieel , zullen we de afgeleide van een uitdrukking berekenen en de lokale maxima en minima in een grafiek vinden. We zullen ook het oplossen van differentiaalvergelijkingen bespreken.

Tot slot, in de Integratie hoofdstuk zullen we integraalrekening bespreken.

Grenzen berekenen

MATLAB biedt de limiet functie voor het berekenen van limieten. In zijn meest eenvoudige vorm, de limiet functie neemt uitdrukking als argument en vindt de limiet van de uitdrukking als de onafhankelijke variabele naar nul gaat.

Laten we bijvoorbeeld de limiet van een functie berekenen f(x) =(x ³ + 5)/(x ⁴ + 7), aangezien x naar nul neigt.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB zal de bovenstaande instructie uitvoeren en het volgende resultaat retourneren −

ans =
   5/7

De limietfunctie valt op het gebied van symbolisch computergebruik; je moet de syms . gebruiken functie om MATLAB te vertellen welke symbolische variabelen u gebruikt. U kunt ook de limiet van een functie berekenen, omdat de variabele neigt naar een ander getal dan nul. Om lim _x->a . te berekenen (f(x)), gebruiken we het limit commando met argumenten. De eerste is de uitdrukking en de tweede is het getal, dat x nadert, hier is het a .

Laten we bijvoorbeeld de limiet berekenen van een functie f(x) =(x-3)/(x-1), aangezien x neigt naar 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB zal de bovenstaande instructie uitvoeren en het volgende resultaat retourneren −

ans =
   NaN

Laten we nog een voorbeeld nemen,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB zal de bovenstaande instructie uitvoeren en het volgende resultaat retourneren −

ans =
   14

Grenzen berekenen met Octave

Hieronder volgt de Octave-versie van het bovenstaande voorbeeld met symbolisch pakket, probeer het resultaat uit te voeren en te vergelijken −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave zal de bovenstaande instructie uitvoeren en het volgende resultaat retourneren −

ans =
   0.7142857142857142857

Verificatie van basiseigenschappen van limieten

De algebraïsche limietstelling biedt enkele basiseigenschappen van limieten. Deze zijn als volgt −

Laten we twee functies bekijken −

• f(x) =(3x + 5)/(x - 3)
• g(x) =x ² + 1.

Laten we de limieten van de functies berekenen zoals x neigt naar 5, van beide functies en de basiseigenschappen van limieten verifiëren met behulp van deze twee functies en MATLAB.

Voorbeeld

Maak een scriptbestand en typ de volgende code erin −

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Wanneer u het bestand uitvoert, wordt −

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verificatie van basiseigenschappen van limieten met Octave

Hieronder volgt de Octave-versie van het bovenstaande voorbeeld met symbolisch pakket, probeer het resultaat uit te voeren en te vergelijken −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave zal de bovenstaande instructie uitvoeren en het volgende resultaat retourneren −

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Links- en rechtszijdige limieten

Wanneer een functie een discontinuïteit heeft voor een bepaalde waarde van de variabele, bestaat de limiet op dat punt niet. Met andere woorden, limieten van een functie f(x) hebben discontinuïteit bij x =a, wanneer de waarde van limiet, als x vanaf de linkerkant x nadert, niet gelijk is aan de waarde van de limiet als x vanaf de rechterkant nadert.

Dit leidt tot het concept van linkshandige en rechtshandige limieten. Een linkshandige limiet wordt gedefinieerd als de limiet als x -> a, van links, d.w.z. x nadert a, voor waarden van x a, van rechts, d.w.z. x nadert a, voor waarden van x> a. Als de linkshandige limiet en de rechtshandige limiet niet gelijk zijn, bestaat de limiet niet.

Laten we een functie beschouwen −

f(x) =(x - 3)/|x - 3|

We laten zien dat lim_x->3 f(x) bestaat niet. MATLAB helpt ons dit feit op twee manieren vast te stellen −

• Door de grafiek van de functie te plotten en de discontinuïteit te tonen.
• Door de limieten te berekenen en te laten zien dat beide verschillend zijn.

De linkshandige en rechtshandige limieten worden berekend door de tekenreeksen 'links' en 'rechts' door te geven aan het limietcommando als het laatste argument.

Voorbeeld

Maak een scriptbestand en typ de volgende code erin −

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Wanneer u het bestand uitvoert, tekent MATLAB de volgende plot

Hierna wordt de volgende output weergegeven −

l =
   -1
  
r =
   1