Polaire vorm en rechthoekige vormnotatie voor complexe getallen

Om met complexe getallen te werken zonder vectoren te tekenen, hebben we eerst een soort standaard wiskundige notatie nodig. Er zijn twee basisvormen van complexe getalnotatie:polair en rechthoekig .

Polaire vorm van een complex getal

De polaire vorm is waar een complex getal wordt aangegeven met de lengte (ook wel bekend als de magnitude , absolute waarde , of modulus ) en de hoek van zijn vector (meestal aangegeven door een hoeksymbool dat er als volgt uitziet:∠).

Om de kaartanalogie te gebruiken, zou de polaire notatie voor de vector van New York City naar San Diego zoiets zijn als "2400 mijl, zuidwesten." Hier zijn twee voorbeelden van vectoren en hun polaire notaties:

Vectoren met polaire notaties.

Standaardoriëntatie voor vectorhoeken in AC-circuitberekeningen definieert 0° als naar rechts (horizontaal), waardoor 90° recht omhoog, 180° naar links en 270° recht naar beneden. Houd er rekening mee dat vectoren met een "neerwaartse" hoek hoeken kunnen hebben die in polaire vorm worden weergegeven als positieve getallen groter dan 180, of negatieve getallen kleiner dan 180.

Van een vector met een hoek van ∠ 270° (recht naar beneden) kan bijvoorbeeld ook worden gezegd dat deze een hoek van -90° heeft. (Figuur hieronder) De bovenstaande vector aan de rechterkant (7,81 ∠ 230,19°) kan ook worden aangeduid als 7,81 ∠ -129,81°.

Het vectorkompas.

Rechthoekige vorm van een complex getal

Rechthoekige vorm daarentegen is waar een complex getal wordt aangegeven door zijn respectieve horizontale en verticale componenten. In wezen wordt de hoekvector beschouwd als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, beschreven door de lengtes van de aangrenzende en tegenoverliggende zijden.

In plaats van de lengte en richting van een vector te beschrijven door de grootte en hoek aan te geven, wordt deze beschreven in termen van "hoe ver links/rechts" en "hoe ver omhoog/omlaag".

Deze tweedimensionale figuren (horizontaal en verticaal) worden gesymboliseerd door twee numerieke figuren. Om de horizontale en verticale afmetingen van elkaar te onderscheiden, wordt de verticale voorafgegaan door een kleine letter "i" (in pure wiskunde) of "j" (in elektronica).

Deze kleine letters vertegenwoordigen geen fysieke variabele (zoals momentane stroom, ook gesymboliseerd door een kleine letter "i"), maar zijn eerder wiskundige operators gebruikt om de verticale component van de vector te onderscheiden van de horizontale component. Als een compleet complex getal worden de horizontale en verticale grootheden als een som geschreven:(figuur hieronder)

In "rechthoekige" vorm worden de lengte en richting van de vector aangegeven in termen van zijn horizontale en verticale overspanning, waarbij het eerste getal de horizontale ("reële") vertegenwoordigt en de tweede getal (met het voorvoegsel "j") dat de verticale ("denkbeeldige") afmetingen vertegenwoordigt.

De horizontale component wordt de echte . genoemd component, aangezien die dimensie compatibel is met normale, scalaire (“reële”) getallen. De verticale component wordt de imaginaire . genoemd component aangezien die dimensie in een andere richting ligt, totaal vreemd aan de schaal van de reële getallen. (Figuur hieronder)

Vectorkompas met echte en denkbeeldige assen.

De "echte" as van de grafiek komt overeen met de bekende getallenlijn die we eerder zagen:die met zowel positieve als negatieve waarden erop. De "denkbeeldige" as van de grafiek komt overeen met een andere getallenlijn die zich op 90° van de "echte" lijn bevindt.

Omdat vectoren tweedimensionale dingen zijn, moeten we een tweedimensionale "kaart" hebben waarop we ze kunnen uitdrukken, dus de twee getallenlijnen die loodrecht op elkaar staan:(figuur hieronder)

Vectorkompas met echte en denkbeeldige (“j”) getallenlijnen.

Converteren van polaire vorm naar rechthoekige vorm

Beide notatiemethoden zijn geldig voor complexe getallen. De belangrijkste reden voor het gebruik van twee notatiemethoden is het gemak van lange handberekening, rechthoekige vorm die zich leent voor optellen en aftrekken, en polaire vorm die zich leent voor vermenigvuldigen en delen.

Conversie tussen de twee notatievormen omvat eenvoudige trigonometrie. Om van polair naar rechthoekig te converteren, zoek je de reële component door de polaire grootte te vermenigvuldigen met de cosinus van de hoek, en de denkbeeldige component door de polaire grootte te vermenigvuldigen met de sinus van de hoek.

Dit kan gemakkelijker worden begrepen door de grootheden te tekenen als zijden van een rechthoekige driehoek, waarbij de hypotenusa van de driehoek de vector zelf voorstelt (de lengte en hoek ten opzichte van de horizontaal die de polaire vorm vormt), de horizontale en verticale zijden die de " echte" en "denkbeeldige" rechthoekige componenten, respectievelijk:(figuur hieronder)

Magnitude vector in termen van reële (4) en imaginaire (j3) componenten.

Converteren van rechthoekige vorm naar polaire vorm

Om van rechthoekig naar polair te converteren, zoekt u de polaire grootte met behulp van de stelling van Pythagoras (de polaire grootte is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, en de reële en imaginaire componenten zijn respectievelijk de aangrenzende en tegenoverliggende zijden), en de hoek door waarbij de arctangens van de imaginaire component wordt gedeeld door de reële component:

BEOORDELING:

• Polar notatie geeft een complex getal aan in termen van de lengte en hoekrichting van de vector vanaf het startpunt. Voorbeeld:vlieg 45 mijl ∠ 203° (west bij zuidwest).
• Rechthoekig notatie geeft een complex getal aan in termen van horizontale en verticale afmetingen. Voorbeeld:rijd 41 mijl naar het westen, sla dan af en rijd 18 mijl naar het zuiden.
• In rechthoekige notatie is de eerste grootheid de "echte" component (horizontale afmeting van de vector) en de tweede grootheid is de "denkbeeldige" component (verticale afmeting van de vector). De denkbeeldige component wordt voorafgegaan door een kleine letter 'j', ook wel de j-operator genoemd .
• Zowel polaire als rechthoekige notatievormen voor een complex getal kunnen grafisch worden gerelateerd in de vorm van een rechthoekige driehoek, waarbij de hypotenusa de vector zelf voorstelt (polaire vorm:hypotenusa lengte =grootte; hoek ten opzichte van horizontale zijde =hoek ), waarbij de horizontale zijde de rechthoekige "echte" component vertegenwoordigt en de verticale zijde de rechthoekige "imaginaire" component.

GERELATEERD WERKBLAD:

• Werkblad AC-fase