Theorema van Millman herzien

Je hebt je misschien afgevraagd waar we die vreemde vergelijking vandaan hebben voor de bepaling van "Millman-spanning" over parallelle takken van een circuit waarbij elke tak een serieweerstand en spanningsbron bevat:

Delen van deze vergelijking lijken bekend bij vergelijkingen die we eerder hebben gezien. De noemer van de grote breuk lijkt bijvoorbeeld opvallend veel op de noemer van onze parallelle weerstandsvergelijking. En natuurlijk moeten de E/R-termen in de teller van de grote breuk cijfers geven voor stroom, waarbij de wet van Ohm is wat hij is (I=E/R).

Nu we de bronequivalenties van Thevenin en Norton hebben behandeld, hebben we de tools die nodig zijn om de vergelijking van Millman te begrijpen. Wat de vergelijking van Millman in feite doet, is elke tak (met zijn seriespanningsbron en weerstand) behandelen als een Thevenin-equivalent circuit en vervolgens elke tak omzetten in equivalente Norton-circuits.

Thevenin-equivalent circuit

Dus in het bovenstaande circuit worden batterij B1 en weerstand R1 gezien als een Thevenin-bron die moet worden omgezet in een Norton-bron van 7 ampère (28 volt / 4 Ω) parallel met een weerstand van 4 . De meest rechtse tak zal worden omgezet in een 7 ampère stroombron (7 volt / 1 ) en 1 Ω weerstand parallel. De middentak, die helemaal geen spanningsbron bevat, wordt omgezet in een Norton-bron van 0 ampère parallel met een weerstand van 2 Ω:

Norton-equivalent circuit

Aangezien stroombronnen hun respectievelijke stromen direct parallel optellen, zal de totale circuitstroom 7 + 0 + 7 of 14 ampère zijn. Deze toevoeging van Norton-bronstromen wordt weergegeven in de teller van de Millman-vergelijking:

Millman-vergelijking

Alle weerstanden van Norton staan ​​parallel aan elkaar en ook in het equivalente circuit, zodat ze afnemen om een ​​totale weerstand te creëren. Deze vermindering van bronweerstanden wordt weergegeven in de noemer van de Millman-vergelijking:

In dit geval zal het weerstandstotaal gelijk zijn aan 571,43 milliohms (571,43 mΩ). We kunnen ons equivalente circuit nu opnieuw tekenen als een circuit met een enkele Norton-stroombron en Norton-weerstand:

De wet van Ohm kan ons nu de spanning over deze twee componenten vertellen (E=IR):

Laten we samenvatten wat we tot nu toe over het circuit weten. We weten dat de totale stroom in dit circuit wordt gegeven door de som van alle vertakkingsspanningen gedeeld door hun respectieve weerstanden. We weten ook dat de totale weerstand wordt gevonden door het omgekeerde te nemen van alle reciproke takweerstanden. Verder moeten we ons goed bewust zijn van het feit dat de totale spanning over alle takken kan worden gevonden door de totale stroom te vermenigvuldigen met de totale weerstand (E =IR). Het enige dat we hoeven te doen, is de twee vergelijkingen die we eerder hadden voor de totale circuitstroom en totale weerstand, samen te stellen, en deze te vermenigvuldigen om de totale spanning te vinden:

De Millman-vergelijking is niets meer dan een Thevenin-naar-Norton-conversie, gecombineerd met de formule voor parallelle weerstand om de totale spanning over alle takken van het circuit te vinden. Dus hopelijk is een deel van het mysterie nu verdwenen!

GERELATEERD WERKBLAD:

• Werkblad Stelling van Millman