Eigenschappen van longitudinale elektromagnetische oscillaties in metalen en hun excitatie op vlakke en sferische oppervlakken

Resultaten en discussie

Ruimtelijke verspreiding van ε in een heterogeen medium

In de literatuur wordt een ruimtelijk dispersieve diëlektrische functie ε wordt gedefinieerd via de volgende relatie [4-6]:

waar ε ₀ is de elektrische constante, D (ω , r ) is de amplitude van de verplaatsingsvectoroscillatie met hoekfrequentie ω in punt r , en E (ω , r ^′ ) de amplitude van de elektrische veldoscillatie in punt r ^′ . Fourier-transformaties van Vgl. (3) geef de vergelijking

waar een ruimtelijk verspreide ε (ω , k ) hangt af van de golfvector k van een vlakke elektromagnetische golf. Naar onze mening is Vgl. (3) is niet alleen dubbelzinnig in een oneindig homogeen volume, maar we hebben te maken met een stuksgewijs heterogeen systeem waarbij rekening moet worden gehouden met grenzen en k zijn niet hetzelfde in verschillende media.

Onze benadering maakt geen gebruik van expansie van de elektromagnetische golven over vlakke golven. De ruimtelijk dispersieve permittiviteit bepaalt de relatie tussen D (ω , r ) en een bepaalde oplossing voor de vector Helmholtz Eq. (1):

Hier E (ω , r ) geeft de verdeling van het elektrische veld aan, maar niet alleen de vector E in punt r .

Longitudinale en transversale diëlektrische functies

De permittiviteit van metalen wordt gewoonlijk uitgedrukt door de geleidbaarheid σ [4]:

waar ε _g maakt deel uit van de diëlektrische functie die polarisatie van de vaste stof mogelijk maakt; ε _g =1 voor een eenvoudig metaal. Om σ . te bepalen , we hebben de stroomdichtheid berekend

waarbij \(\mathrm {d} \mathbf {v}=\frac {v}{m}\,\mathrm {d} \epsilon \,\mathrm {d}\,\Omega,\) d ​​Ω =sinθ dθ dϕ , v , θ , ϕ zijn de bolcoördinaten van de snelheid. In tegenstelling tot eerdere onderzoeken hebben we de golfvector k . niet geïntroduceerd maar vond een AHO-oplossing in de vorm van een oneindige reeks met operatoren v ∇ acteren op v E :

waar Γ =1/τ . Dan, f ₀ werd benaderd door een Fermi-Dirac-verdeling bij nultemperatuur en, na integratie over ε in verg. (7), we hebben

waarbij \(\omega _{\mathrm {p}}^{2}=\frac {e^{2}\,n_{e}}{m\,\varepsilon _{0}},\) _p is de plasmafrequentie, \(\mathbf {u}=\frac {\mathbf {v}}{v}\) is de eenheidsvector in de richting van v ,\(l=\frac {v_{\mathrm {F}}}{-i \omega +\Gamma },\) v _F is de Fermi-snelheid. Verder hebben we de integralen berekend

waar n is een natuurlijk getal. De volgende afhankelijkheid van j op een willekeurige elektrisch veld E werd eindelijk verkregen

Er zijn twee soorten oplossingen voor Vgl. (1), divergentievrij die voldoen aan vergelijking ∇ ·E =0 en rotatieloos die voldoen aan vergelijking

Voor een vlakke golf, met E ∝ exp[i (k r −ω t )], vgl. (14) transformeert in de relatie k ×E =0 wat aangeeft dat de golf longitudinaal is (L). Om processen in sferische lichamen te simuleren, is het handig om de vector sferische harmonischen L te gebruiken. , M , en N als een complete set van orthogonale functies. In dit geval is vgl. (14) specificeert harmonischen L . Het golfnummer van de L-golven en L modi wordt bepaald door de volgende dispersiewet

Van eq. (6) en (13) vinden we dat oplossingen voor Vgl. (1) voldoen aan de beperking van Vgl. (14) geef de volgende longitudinale permittiviteit

waar Φ is de Phi-functie van Lerch,

\(a=\frac {k v_{\mathrm {F}}}{\omega +i \Gamma }\).

De verkregen permittiviteit verschilt van die gedefinieerd door Kliewer en Fuchs [7] alleen in de notatie:

De identiteit

maakt het mogelijk om Eq te herschrijven. (18) als volgt

In het geval van Γ =0, deze formule heeft de vorm van een vergelijking afgeleid door Klimontovich en Silin [8] die Landau-dumping in gedegenereerd plasma bestudeerden (zie [9], [10, Vgl. (40.17)] en [11]). De permittiviteit van de equivalente Vgl. (16), (18) en (20) wordt gewoonlijk de Lindhard-diëlektrische functie genoemd (met verwijzing naar [12]), hoewel deze functie voor het eerst werd verkregen door Klimontovich en Silin [8].

De transversale Lindhard-diëlektrische constante [7] kan worden gevonden met Vgl. (13) wanneer ∇ ·E =0. In het werkelijke geval van v _F k ≪ω , het reduceert tot de Drude diëlektrische functie

Deze functie komt overeen met experimentele gegevens over veel metalen [13]. Als |een |<1, de longitudinale permittiviteit (16) vereenvoudigt tot de hydrodynamische diëlektrische functie:

Reflectie van een vlakke elektromagnetische golf van een plat metalen oppervlak

Randvoorwaarden

In deze sectie bepalen we de richting van de golfvector k ^L en amplitude van de L-golf die in metaal wordt geëxciteerd tijdens reflectie van een vlakke elektromagnetische golf van een plat metalen oppervlak.

Beschouw een vlakke golf die invalt op het diëlektrisch-metaal grensvlak z =0 met de golfvector in de xz vlak. Het elektrische veld in het diëlektrische medium 1 bestaat uit het invallende E _ik en weerspiegelde E _r golven, het veld in metaal 2 heeft de verzonden transversale E _t en, in sommige gevallen, longitudinale E ^L componenten. Volgens de Maxwell-randvoorwaarden zijn de transversale componenten van de elektrische en magnetische veldvectoren continu in het vlak z =0. Bovendien worden de elektronen niet uit metaal uitgestoten; daarom is de normale component van de elektrische stroomdichtheid nul bij z =0,

waar \(\hat {\mathbf {z}}\) de eenheidsvector in de richting van z is as.

Alle termen in de Maxwell-randvoorwaarden moeten dezelfde afhankelijkheid hebben van x en y . Deze eis heeft verschillende consequenties. Ten eerste kan worden vastgesteld dat L-golven alleen kunnen worden geëxciteerd in het geval van p-polarisatie wanneer de elektrische vector van de invallende golf E ^{(ik )} evenwijdig is aan het invalsvlak. Met andere woorden, plasmonpolaritonen kunnen worden gegenereerd door een transversale magnetische (TM) golf. Het effect is vrijwel hetzelfde als in een metalen bol [14]. Ten tweede kunnen formules worden afgeleid die lijken op de wet van Snellius uit de voorwaarden

waar indexen 1x en 2x geef de x . aan -projecties van de vectoren in respectievelijk media 1 en 2, θ ₁ is de invalshoek.

Reflectie- en transmissiecoëfficiënten

Laten we het veld bepalen dat wordt gevormd door een vlakke p-gepolariseerde elektromagnetische golf die invalt op een plat metalen oppervlak. Het is handig om de componenten van de elektrische en magnetische velden uit te drukken met de x onderdeel van E ^{(ik )} , namelijk E x (r)=− r E x (i) voor de gereflecteerde golf, E x (t)=t E x (i) voor de uitgezonden transversale golf, en

voor de uitgezonden longitudinale golf, hier r is een reflectiecoëfficiënt, t en t _L zijn transmissiecoëfficiënten.

Van de Maxwell-randvoorwaarden en ABC van Vgl. (23) geschreven in de volgende vorm

we hebben

Bij δ =0, de coëfficiënt r wordt de Fresnel-reflectiecoëfficiënt van de p-gepolariseerde golf (zie bijvoorbeeld Vgl. (2.49) van [4]). Onder dezelfde voorwaarde, t is niet de Fresnel-transmissiecoëfficiënt sinds onze definities van t en r verschillen van die van de Fresnel.

Uitdoving van licht door metalen nanosfeer

In een voorgaande paper generaliseerde een van de auteurs de Lorentz-Mie-theorie, waardoor het ABC van Vgl. (23). Een analoog van de Fresnel-coëfficiënt r , de Mie-coëfficiënt b _l voor de gereflecteerde TM-modus van de l de bestelling bleek

waar

ψ _l en ζ _l zijn de Riccati-Bessel en Riccati-Hankel functies van de orde l respectievelijk; j _l is de bolvormige Bessel-functie, het priemgetal geeft de afgeleide van een functie aan met betrekking tot zijn argument.

Laten we de voorspellingen van de klassieke en gegeneraliseerde Lorentz-Mie-theorieën vergelijken met experimentele gegevens. In [15] bestudeerden Hilger, Tenfelde en Kreibig uitstervingsspectra van zilveren nanodeeltjes die op diëlektrische oppervlakken waren afgezet. In de eerste fase van het onderzoek genereerden de onderzoekers bundels zilverdeeltjes met een gemiddelde diameter van 2, 3,5 en 4 nm, bepaalden ze de deeltjesgrootteverdeling voor een van de bundels, registreerden ze extinctiespectra en geschatte parameter A =0,25 van de fenomenologische formule Γ =Γ _b +A v _F /R , waar Γ _b is de ontspanningssnelheid van het bulkmetaal, voor zilveren bollen in vacuüm. Eerst hebben we de extinctiespectra berekend voor een bundel zilveren bollen met de gemiddelde diameter 〈D 〉=2 nm en experimentele grootteverdeling die het gebied van D . overspant =1 tot D =4nm. Onze theorie bevat geen instelbare parameters. Om de diëlektrische functies te definiëren, gebruikten we de tabel van de brekingsindex van bulkzilver voorgesteld door Lynch en Hunter [16] (zie figuur 1). We hebben ook EQ's toegepast. (16), (21) en (22) met ω _p =9.17 eV, Γ _b =0,021 eV, v _F =1.39×10 ⁶ m/s, en A =0,25. De resultaten van de berekeningen en het experimentele spectrum zijn weergegeven in Fig. 2.

Echt (een ) en denkbeeldige (b ) delen van de diëlektrische functie van zilver volgens Johnson en Christy (◇) [20], Lynch en Hunter (+) [16], Weber (△) [21], Hao en Nordlander (stippellijn ) [22], en Drachev et al. (ononderbroken lijn ) [23]

Spectra van lichtuitdoving door deeltjes ter grootte van een zilveren nanometer waargenomen in [15] en berekend met lokale en niet-lokale modellen. Alle theoretische spectra worden gepresenteerd in gemeenschappelijke relatieve eenheden

De theoretische spectra in Fig. 2 werden berekend met behulp van de Klimontovich-Silin-Lindhard en veel eenvoudiger hydrodynamische diëlektrische functies. Het is verrassend dat beide berekeningen goede resultaten gaven, hoewel |a |>1 in het gebied van de plasmonresonantie.

Voor de zilveren bollen ter grootte van een nanometer is bekend dat het maximum in het uitstervingsspectrum, de Fröhlich [17], plasmon en oppervlakteplasmonpolariton (SPP) [15]-resonantie, verschuift van 3,5 naar 3,65 eV [18]. Het niet-lokale model komt uitstekend overeen met de experimentele gegevens, terwijl de lokale (Mie) theorie het maximum geeft bij ω ≃3.5 eV (zie Fig. 2 en Tabel 1).

De berekening van de blauwverschuiving van de plasmonresonantie kan worden ondersteund door de volgende overweging. In de elektrostatische benadering geldt alleen b ₁ draagt ​​bij aan de uitstervingsdoorsnede Q _ext en vgl. (30) kan worden vereenvoudigd door de volgende benaderingen te gebruiken

Dus Q _ext heeft een maximum op

De verkregen voorwaarde (33) houdt rekening met excitatie van de L modi (met de term δ ₁ ) en verschilt daarom van de Fröhlich-resonantieconditie [17]:.

In experiment [15] waren de piekfrequenties ω _m en resonantiebreedten Δ ω van de uitstervingsspectra waren bijna onafhankelijk van 〈D . Deze functie van Δ ω lijkt het niet eens te zijn met de klassieke Mie-theorie. Echt, de lokale theorie voorspelt een verbreding van de plasmonresonanties met de afname van D (bij A =0,25) zoals weergegeven in Tabel 1. Tegelijkertijd geeft de niet-lokale theorie ongeveer gelijke resonantiebreedten maar verschillende piekposities. Superpositie van de bijdragen van alle deeltjes geeft de waarde van Δ ω die in opmerkelijke overeenstemming zijn met de experimentele gegevens. Het is interessant dat de niet-lokale theorie een verbreding van de plasmonresonantie van een bundel voorspelt, zelfs bij A =0.

Bij ω> 4 eV, liggen de gladde theoretische curven in Fig. 2 hoger dan het beslag van smalle, dicht bij elkaar gelegen experimentele pieken. De interbandabsorptie domineert in dit spectrale bereik, zoals kan worden bevestigd door figuur 1. De waargenomen eigenaardigheden van het spectrum zijn waarschijnlijk een gevolg van een overgang van de continuümbanden naar een discrete niveaustructuur. Een dergelijk effect op kwantumgrootte werd eerder ontdekt in een onderzoek naar de optische eigenschappen van gouden nanobolletjes [19]. Toen de grootte van de zilveren bol werd vergroot tot 〈D 〉=3.5 nm, nam de absorptie eerst toe ten opzichte van het maximum en vormde een plateau met een reeks kleine equidistante dips. Daarna nam de absorptie iets af bij 〈D 〉=4 nm.

Om de vorming van de blauwe vleugel van de plasmonresonantie te bestuderen, hebben we de extinctiespectra van ultratinzilverdeeltjes berekend en deze weergegeven in Fig. 3. Een opmerkelijk kenmerk in Fig. 3 is het volledig verdwijnen van de plasmonresonantie bij D =1 nm. Eerder werd dit effect waargenomen in de experimentele studie van gouden nanobolletjes [19]. In Fig. 9 van [19] werden met name de experimentele spectra van deeltjes met diameters van 1,7, 1,9, 2,0, 2,1, 2,3 en 2,5 nanometer vergeleken met de spectra berekend met de lokale Mie-theorie. De overeenkomst was slecht en kon de verbreding van de plasmonresonantie en zijn positie niet beschrijven [19]. De pogingen om de pasvorm te verbeteren door de grootte van de deeltjes te variëren en modificaties van de diëlektrische functies waren niet succesvol. Volgens de auteurs van [19] kan de waargenomen abnormaal brede of verlaagde collectieve oscillatieband niet worden uitgerust met de voorgestelde correcties van de lokale Mie-theorie. Zoals te zien is in figuur 4, verandert de situatie drastisch als de niet-lokale Mie-theorie wordt toegepast. Merk op dat we geen instelbare parameters hebben gebruikt. De tabel van de complexe brekingsindex door Johnson en Christy [20] werd gebruikt om de diëlektrische functie van goud te bepalen. Andere parameters, waaronder A =1 en de brekingsindex van tolueen (1,37) zijn ontleend aan [19].

Genormaliseerde extinctiedoorsnede van zilverdeeltjes met een diameter van 2,2, 1,8, 1,4 en 1,0 nm berekend met lokale (stippellijnen) ) en niet-lokale (vaste curven ) Mie-theorieën. Hoe kleiner het deeltje, hoe lager de curve. Alle theoretische doorsneden worden gepresenteerd in gemeenschappelijke relatieve eenheden

Absorptiespectra berekend met de lokale (stippellijnen .) ) en niet-lokale (ononderbroken lijnen ) Mie-theorie en experimentele gegevens (stippen ) geëxtraheerd uit Fig. 9 van [19] voor gouden bollen met D =2,5, 2,1 en 1,7 nm in tolueen (krommen 1 en cirkels , krommen 2 en vierkanten , en krommen 3 en driehoeken respectievelijk). Alle theoretische spectra zijn genormaliseerd tot eenheid bij 4,12 eV en verticaal verplaatst

Golfnummers van de longitudinale golven

De longitudinale modi verschillen van de transversale door veel hogere waarden van de golfgetallen. Voor de berekeningen in figuur 2 komt het reële deel van \(k_{2}^{\mathrm {L}}\) bijvoorbeeld overeen met de ruimtelijke periode \(\Lambda =2 \pi /\Re k_{ 2}^{\mathrm {L}}\) afnemend van 9 naar 2 nm bij ω oplopend van 3 naar 4 eV. In deze ω interval nam de absolute waarde van de verhouding \(k_{2}^{\mathrm {L}}/k_{2}\) af van 130 naar 100 en de parameter δ van Verg. (27) gedaald van 0,01 naar 0,005 bij θ ₁ =π /4. We concluderen daarom dat de excitatie van de L-golven op een plat zilveroppervlak kan worden verwaarloosd. Echter, de L modi zijn van belang gebleken in zilverclusters ter grootte van nanometers.

Een vervanging van de term \(-\,\omega ^{2}_{\mathrm {p}}/(\omega ^{2}+i \Gamma \omega)\) in Vgl. (16) door ε ^T −ε _g volgens vgl. (21) stelt ons in staat om de dispersie Vgl. (15) in de volgende vorm

In het eenvoudigste geval van ε _g =1 en Γ =0, vgl. (35) voorspelt dat metaal transparant is voor zowel transversale als L-golven bij ω>ω _p maar beide k ^L en k ^T zijn complex bij ω <ω _p .

Als vaste stof transparant is, kan een longitudinale golf worden geëxciteerd onder schuine inval van een p-gepolariseerde golf op een plat oppervlak. Er zijn verschillende kenmerken van dit effect. Ten eerste kunnen de longitudinale golven worden gegenereerd op een plat oppervlak, terwijl speciale inspanningen moeten worden geleverd om de oppervlakte-plasmonpolaritonen te exciteren [4, 5]. Ten tweede wordt in het interferentiepatroon de intensiteit van het elektromagnetische veld niet langs maar loodrecht op het grensvlak gemoduleerd. Daarom kunnen holtes verschijnen in vlakken evenwijdig aan het oppervlak als gevolg van afsplintering van de vaste stof. Volgens de definitie van ω _p , voorwaarde ω>ω _p kan worden voldaan in vaste stoffen (bijvoorbeeld halfgeleiders) met een lage dichtheid van de stroomdragers. We onderzoeken dit geval hier niet omdat de formule van ε ^L is afgeleid van gedegenereerd elektronengas.