Doelstellingen

Na het voltooien van deze module bent u in staat om:

• Het Cartesiaanse coördinatensysteem te begrijpen.
• De Cartesiaanse coördinaten van het vlak (2D) te begrijpen.
• De Cartesiaanse coördinaten van de driedimensionale ruimte (3D) te begrijpen.
• De vier kwadranten te begrijpen.
• Het verschil tussen polaire en rechthoekige coördinaten uit te leggen.
• De programmeerbare assen op een CNC-machine te identificeren.

HET CARTESIAANSE COÖRDINATENSYSTEEM

Cartesiaanse coördinaten maken het mogelijk om de locatie van een punt in het vlak of in driedimensionale ruimte te specificeren. De Cartesiaanse coördinaten of rechthoekige coördinaten van een punt zijn een paar getallen (in twee dimensies) of een drietal getallen (in drie dimensies) die gesigneerde afstanden van de coördinatenassen specificeren. Eerst moeten we een coördinatensysteem begrijpen om onze richtingen en relatieve positie te definiëren. Een systeem dat punten in de ruimte definieert door richtingen (assen) en een referentiepositie (oorsprong) vast te leggen. Een coördinatensysteem kan rechthoekig of polair zijn.

Net als punten op een lijn in een-een-relatie kunnen worden gebracht met de reële getallenlijn, kunnen punten in een vlak in een-een-relatie worden gebracht met paren van reële getallen door gebruik te maken van twee coördinatenlijnen. Hiervoor construeren we twee loodrechte coördinatenlijnen die elkaar in hun oorsprong snijden; voor het gemak. We wijzen een reeks gelijkmatig verdeelde afstekeningen toe aan de x- en y-as, startend bij de oorsprong en in beide richtingen gaande: links en rechts (x-as) en omhoog en omlaag (y-as). Punten langs elke as kunnen zo worden vastgelegd. We maken één getallenlijn verticaal met de positieve richting omhoog en negatief omlaag. De andere getallenlijn is horizontaal met de positieve richting naar rechts en negatief naar links. De twee getallenlijnen heten coördinatenassen; de horizontale lijn is de x-as, de verticale lijn is de y-as, en de coördinatenassen samen vormen het Cartesiaanse coördinatensysteem of een rechthoekig coördinatensysteem. Het snijpunt van de coördinatenassen wordt aangeduid met O en is de oorsprong van het coördinatensysteem. Zie Afbeelding 1.

Afbeelding 1

Het is eigenlijk twee reële getallenlijnen samengebracht, een gaande links-rechts, de ander omhoog-omlaag. De horizontale lijn heet x-as, de verticale lijn heet y-as.

De Oorsprong (The Origin)

Het punt (0,0) krijgt de speciale naam "De Oorsprong" en krijgt soms de letter "O".

Reële Getallenlijn (Real Number Line)

De basis van dit systeem is de reële getallenlijn gemarkeerd op gelijke intervallen. De as wordt gelabeld (X, Y of Z). Één punt op de lijn wordt aangewezen als de Oorsprong. Getallen aan één kant van de lijn worden als positief gemarkeerd, die aan de andere kant als negatief. Zie Afbeelding 2.

Afbeelding 2. X-as getallenlijn

Cartesiaanse Coördinaten van het Vlak

Een vlak waarin een rechthoekig coördinatensysteem is ingevoerd, heet een coördinatenvlak of x-y-vlak. We tonen nu hoe een een-op-een correspondentie tot stand te brengen tussen punten in een coördinatenvlak en paren van reële getallen. Als A een punt is in een coördinatenvlak, trekken we twee lijnen door A: één loodrecht op de x-as en één loodrecht op de y-as. Als de eerste lijn de x-as snijdt in het punt met coördinaat x en de tweede lijn de y-as snijdt in het punt met coördinaat y, dan associëren we het paar (x,y) met A (Zie Afbeelding 2). Het getal x is de x-coördinaat of abscis van P en het getal y is de y-coördinaat of ordinaat van P; we zeggen dat A het punt is met coördinaten (x,y) en duiden het punt aan als A(x,y). Het punt (0,0) krijgt de speciale naam "De Oorsprong" en soms de letter "O".

Abscis en Ordinaat (Abscissa and Ordinate)

De woorden "Abscis" en "Ordinaat" … ze zijn gewoon de x- en y-waarden:

• Abscis: de horizontale ("x") waarde in een paar coördinaten: hoe ver het punt langs ligt.
• Ordinaat: de verticale ("y") waarde in een paar coördinaten: hoe ver het punt omhoog of omlaag ligt.

Afbeelding 3

Negatieve Waarden van X en Y

Op de reële getallenlijn kunt u ook negatieve waarden hebben.

Negatief: start bij nul en ga in de tegenovergestelde richting; Zie Afbeelding 4.

Afbeelding 4

Dus voor een negatief getal:

• ga links voor x
• ga naar beneden voor y

Bijvoorbeeld (-3,5) betekent: ga links langs de x-as 3, ga dan 5 omhoog in de y-as. (Kwadrant II: x negatief, y positief). En (-3,-5) betekent: ga links langs de x-as 3, ga dan 5 naar beneden in de y-as. (Kwadrant III: x negatief, y negatief). Met Cartesiaanse coördinaten markeert u een punt op een grafiek door hoe ver langs en hoe ver omhoog het is; Zie afbeelding 5. Het punt (12,5) is 12 eenheden langs de x-as, en 5 eenheden omhoog op de y-as.

Afbeelding 5

X- en Y-as

De horizontale lijn heet x-as en de verticale lijn heet y-as; beide lijnen lopen door nul (Oorsprong, (0,0)).

De horizontale lijn heet x-as en de verticale lijn heet y-as; beide lijnen lopen door nul (Oorsprong, (0,0)). Samen op een grafiek … Zie afbeelding 6.

Afbeelding 6

Het is eigenlijk een set van twee reële getallenlijnen.

As: De referentielijn van waaruit afstanden gemeten worden.

Voorbeeld

Punt (6,4) is: ga in de x-richting 6 eenheden, ga dan 4 eenheden omhoog in de y-richting, en "plot de punt".

En u kunt onthouden welke as welke is door:

De coördinaten worden altijd in een bepaalde volgorde geschreven:

• eerst de horizontale afstand,
• dan de verticale afstand.

Geordend Paar (Ordered Pair)

De getallen worden gescheiden door een komma, en haakjes worden om het hele ding gezet als volgt: (7,4)

Voorbeeld: (7,4) betekent 7 eenheden naar rechts (x-as), en 4 eenheden omhoog (y-as).

Cartesiaanse Coördinaten van Driedimensionale Ruimte

In driedimensionale ruimte (xyz-ruimte), geloodrecht op het xy-vlak georiënteerd. De z-as gaat door de oorsprong van het xy-vlak. Coördinaten worden bepaald volgens oost-west voor x-as, noord-zuid voor y-as, en omhoog-omlaag voor de z-as verplaatsingen vanaf de oorsprong. Het Cartesiaanse coördinatensysteem is gebaseerd op drie onderling loodrechte coördinatenassen: de x-as, de y-as, en de z-as, zie Afbeelding 6 hieronder. De drie assen snijden elkaar in het punt dat de oorsprong wordt genoemd. U kunt de oorsprong voorstellen als het punt waar de muren in de hoek van een kamer de vloer ontmoeten. De x-as is de horizontale lijn waar de muur aan uw linkerzijde en de vloer elkaar snijden. De y-as is de horizontale lijn waar de muur aan uw rechterzijde en de vloer elkaar snijden. De z-as is de verticale lijn waar de muren elkaar snijden. De delen van de lijnen die u ziet terwijl u in de kamer staat, zijn de positieve delen van elk van de assen. De negatieve delen van deze assen zouden de vervolgingen van de lijnen buiten de kamer zijn.

Afbeelding 7. 3D Cartesiaans Coördinatensysteem

Driedimensionale Cartesiaanse coördinatenassen. Een weergave van de drie assen van het driedimensionale Cartesiaanse coördinatensysteem. De positieve x-as, positieve y-as, en positieve z-as zijn de zijden gelabeld met x, y en z. De oorsprong is het snijpunt van alle assen. De tak van elke as aan de tegenovergestelde kant van de oorsprong (de ongelabelde kant) is het negatieve deel.

Bij 3-dimensionale beweging is het instellen van een geschikt coördinatensysteem. De meest voor de hand liggende is een Cartesiaans systeem. Een Cartesiaans coördinatensysteem bestaat uit drie onderling loodrechte assen: de X-, Y- en Z-assen. Conventioneel is de oriëntatie zo dat wanneer de wijvinger, middelvinger en duim van de rechterhand zo geconfigureerd zijn dat ze onderling loodrecht zijn, de wijvinger, middelvinger en duim kunnen worden uitgelijnd langs de X-, Y- en Z-assen, respectievelijk. Zo'n coördinatensysteem heet rechtshandig (right-handed). Zie Afbeelding 8. Het snijpunt van de drie coördinatenassen wordt de oorsprong van het coördinatensysteem genoemd.

Afbeelding 8. Het Rechtshandig Cartesiaanse Systeem

De Cartesiaanse coördinaten van een punt in drie dimensies zijn een drietal getallen (x,y,z). De drie getallen, of coördinaten, specificeren de gesigneerde afstand van de oorsprong langs de x-, y- en z-assen, respectievelijk. Ze kunnen gevisualiseerd worden door de doos te vormen met randen parallel aan de coördinatenassen en tegenovergestelde hoekpunten in de oorsprong en het gegeven punt.

Punten mogen nu gedefinieerd worden in een driedimensionale volume van ruimte. Dit stelt in staat om punten in drie dimensies vanaf de oorsprong te definiëren. De Cartesiaanse coördinaten (x,y,z) van een punt in drie dimensies specificeren de gesigneerde afstand van de oorsprong langs de x-, y- en z-assen, respectievelijk. Z-as punten worden de derde invoer bij het definiëren van coördinatelocaties.

Gegeven de bovenstaande hoek-van-kamer analogie, kunnen we de Cartesiaanse coördinaten van het punt aan de top van uw hoofd als volgt vormen. Stel dat u vijf meter lang bent langs de z-as, en dat u twee meter vanaf de oorsprong loopt langs de x-as, dan linksaf slaat en parallel aan de y-as vier meter in de kamer loopt. De Cartesiaanse coördinaten van het punt aan de top van uw hoofd zouden (2,4,5) zijn.

Bijvoorbeeld, een notatie van (2,4,5) correspondeert met de waarde X2, Y4, en Z5. Zie Afbeelding 8.

3 Dimensies

Cartesiaanse coördinaten kunnen gebruikt worden voor het lokaliseren van punten in 3 dimensies als in dit voorbeeld:

Afbeelding 9. Het punt (2, 4, 5) getoond in driedimensionale Cartesiaanse coördinaten.

Kwadranten (Quadrants)

De coördinatenassen delen het vlak in vier delen, genaamd kwadranten (Zie Afbeelding 9). De kwadranten worden tegen de klok in genummerd, startend bij rechtsboven, gelabeld I, II, III en IV met as-aanduidingen zoals getoond in de illustratie.

Afbeelding 10

Vier Kwadranten

Wanneer we negatieve waarden includeren, verdelen de x- en y-as de ruimte in 4 stukken:

Kwadranten I, II, III en IV (genummerd in tegenwijzerzin).

• In Kwadrant I: zowel x als y zijn positief
• In Kwadrant II: x is negatief (y is nog steeds positief)
• In Kwadrant III: zowel x als y zijn negatief
• In Kwadrant IV: x is weer positief, terwijl y negatief is

Kwadrant	X (Horizontaal)	Y (Verticaal)	Voorbeeld
I	Positief	Positief	(3,2)
II	Negatief	Positief	(-5, 2)
III	Negatief	Negatief	(-2, -1)
IV	Positief	Negatief	(2, -5)

Voorbeeld: Punt "A" (3,2) is 3 eenheden langs de x-as, en 2 eenheden omhoog de y-as. Zowel x als y zijn positief, dus dat punt is in "Kwadrant I".

Voorbeeld: Punt "C" (-2,-1) is 2 eenheden langs de x-as in de negatieve richting, en 1 eenheid naar beneden de y-as in de negatieve richting. Zowel x als y zijn negatief, dus dat punt is in "Kwadrant III".

Dimensies: 1, 2, 3 en meer …

1. De Reële Getallenlijn kan alleen gaan: links-rechts → elke positie heeft slechts één getal nodig.
2. Cartesiaanse coördinaten kunnen gaan: links-rechts, en omhoog-omlaag → elke positie heeft twee getallen nodig.
3. 3 dimensies: links-rechts, omhoog-omlaag, en vooruit-achteruit.

Eenheidstoets

1. Wat is CNC?
2. Beschrijf het Cartesiaanse coördinatensysteem.
3. Wat is De Oorsprong?
4. De horizontale lijn heet wat?
5. De verticale lijn heet wat?
6. Beschrijf de reële getallenlijn.
7. Leg Abscis en Ordinaat uit.
8. Wat is de weergave van de drie assen van het driedimensionale Cartesiaanse coördinatensysteem?
9. De coördinatenassen verdelen het vlak in vier delen, heet wat?
10. In Kwadrant IV, de X-as en de Y-as zijn wat?