Serie-Parallelle RC en RL Stromingen Analyseren met Complexe Impedantie

Nu we gezien hebben hoe serie en parallelle AC-stroomanalyse niet fundamenteel verschilt van DC-stroomanalyse, zou het geen verrassing mogen zijn dat serie-parallelle analyse hetzelfde is, alleen met complexe getallen in plaats van scalairen om spanning, stroom, en impedantie voor te stellen. Neem deze serie-parallelle stroom als voorbeeld:

Voorbeeld serie-parallelle R, L, en C stroom.

De eerste stap, zoals gebruikelijk, is om impedantiewaarden (Z) voor alle componenten te bepalen op basis van de frequentie van de AC-voedingsbron. Hiervoor moeten we eerst reactantiewaarden (X) bepalen voor alle spoelen en condensatoren, en vervolgens reactantie (X) en weerstand (R) cijfers omzetten in de juiste impedantie (Z) vorm:

Nu kunnen we de initiële waarden in onze tabel zetten:

Omdat het een serie-parallelle combinatie stroom is, moeten we het reduceren tot een totale impedantie in meer dan één stap. De eerste stap is om L en C₂ te combineren als een seriecombinatie van impedanties, door hun impedanties op te tellen.

Daarna zal die impedantie in parallel gecombineerd worden met de impedantie van de weerstand, om aan een andere combinatie van impedanties te komen. Tot slot zal die hoeveelheid worden opgeteld bij de impedantie van C₁ om de totale impedantie te bereiken.

Om onze tabel al deze stappen te laten volgen, is het nodig om extra kolommen toe te voegen zodat elke stap vertegenwoordigd kan worden.

Het horizontaal toevoegen van meer kolommen aan de bovenstaande tabel zou onpraktisch zijn voor opmaakredenen, dus ik plaats een nieuwe rij kolommen eronder, elke kolom aangeduid door de respectieve componentcombinatie:

Het berekenen van deze nieuwe (combinatie) impedanties vereist complexe optelling voor seriecombinaties en de "omgekeerde" formule voor complexe impedanties in parallel. Deze keer is er geen ontwijking van de omgekeerde formule: de benodigde cijfers kunnen op geen andere manier verkregen worden!

Aangezien onze tweede tabel een kolom voor "Totaal" bevat, kunnen we die kolom veilig verwijderen uit de eerste tabel. Dit geeft ons één tabel met vier kolommen en een andere tabel met drie kolommen.

Nu we de totale impedantie (818,34 Ω ∠ -58,371°) en de totale spanning (120 volt ∠ 0°) kennen, kunnen we Ohm's Wet (I=E/Z) verticaal in de "Totaal" kolom toepassen om een cijfer voor de totale stroom te verkrijgen:

Op dit punt vragen we ons: zijn er componenten of componentcombinaties die de totale spanning of de totale stroom delen? In dit geval delen zowel C₁ als de parallelle combinatie R//(L—C₂) dezelfde (totale) stroom, aangezien de totale impedantie samengesteld is uit de twee sets impedanties in serie.

Daarom kunnen we het cijfer voor de totale stroom in beide kolommen overbrengen:

Nu kunnen we spanningsvallen over C₁ en de serie-parallelle combinatie van R//(L—C₂) berekenen met Ohm's Wet (E=IZ) verticaal in die tabelkolommen:

Een snelle dubbele check op dit punt zou zijn om te zien of de spanningsvallen over C₁ en de serie-parallelle combinatie van R//(L—C₂) inderdaad optellen tot de totaal. Volgens Kirchhoff's Spanningwet zouden ze dat moeten!

Die laatste stap was slechts een voorzorgsmaatregel. In een probleem met zoveel stappen als deze, is er veel kans op fouten. Incidentele kruiscontroles als deze kunnen een persoon veel werk en onnodige frustratie besparen door problemen vóór de finale stap te identificeren.

Nu we de spanningsvallen over C₁ en de combinatie R//(L—C₂) opgelost hebben, vragen we ons weer: welke andere componenten delen dezelfde spanning of stroom?

In dit geval delen de weerstand (R) en de combinatie van de spoel en de tweede condensator (L—C₂) dezelfde spanning, omdat die sets impedanties in parallel met elkaar zijn. Daarom kunnen we het zojuist opgeloste spanningscijfer overbrengen naar de kolommen voor R en L—C₂:

Nu zijn we klaar voor het berekenen van de stroom door de weerstand en door de seriecombinatie L—C₂. Alles wat we hoeven te doen is Ohm's Wet (I=E/Z) verticaal in beide kolommen toe te passen:

Een nogmaals snelle controle: tellen de stroomcijfers voor L—C₂ en R op tot de totale stroom? Volgens Kirchhoff's Stroomwet zouden ze dat moeten:

Aangezien L en C₂ in serie verbonden zijn, en we de stroom door hun seriecombinatie impedantie kennen, kunnen we dat stroomcijfer distribueren naar de L en C₂ kolommen volgens de regel van seriestromingen waarbij seriecomponenten dezelfde stroom delen:

Met één laatste stap (eigenlijk twee berekeningen) kunnen we onze analysetabel voor deze stroom voltooien. Met impedantie- en stroomcijfers op de juiste plaats voor L en C₂, hoeven we alleen Ohm's Wet (E=IZ) verticaal in die twee kolommen toe te passen om spanningsvallen te berekenen.

Nu laten we naar SPICE kijken voor een computervalidatie van ons werk:

Voorbeeld serie-parallelle R, L, C SPICE stroom.

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01

freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02

freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02

freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

Elke regel van de SPICE uitvoerlijst geeft de spanning, spanningfasehoek, stroom, en stroomfasehoek voor C₁, L, C₂, en R, in die volgorde. Zoals u ziet, stemmen deze cijfers overeen met onze handmatig berekende cijfers in de stroomanalysetabel.

Hoewel serie-parallelle AC-stroomanalyse een ontzagwekkende taak kan lijken, moet benadrukt worden dat er eigenlijk niets nieuws gebeurt behalve het gebruik van complexe getallen. Ohm's Wet (in zijn nieuwe vorm E=IZ) geldt nog steeds, evenals de spanning- en stroomwetten van Kirchhoff.

Hoewel er meer potentieel is voor menselijke fouten bij het uitvoeren van de nodige complexe getal berekeningen, zijn de basisprincipes en technieken van serie-parallelle stroomreductie precies hetzelfde.

HERZIENING:

• Analyse van serie-parallelle AC-stromingen is veel dezelfde als serie-parallelle DC-stromingen. Het enige substantiële verschil is dat alle cijfers en berekeningen in complexe (niet scalaire) vorm zijn.
• Het is belangrijk om te onthouden dat vóór serie-parallelle reductie (vereenvoudiging) kan beginnen, u de impedantie (Z) van elke weerstand, spoel, en condensator moet bepalen. Op die manier zullen alle componentwaarden uitgedrukt zijn in gemeenschappelijke termen (Z) in plaats van een incompatibele mix van weerstand (R), inductie (L), en capaciteit (C).

GERELATEERD WERKBLAD:

• Serie-Parallelle Combinatie AC Stromingen Werkblad