Cijfers en Symbolen in Elektronica Ontcijferen

De uitdrukking van numerieke hoeveelheden is iets wat we voor opgegeven nemen. Dit is zowel een goed als een slecht ding in de studie van elektronica.

Het is goed, in die zin dat we gewend zijn aan het gebruik en de manipulatie van cijfers voor de vele berekeningen die gebruikt worden bij het analyseren van elektronische schakelingen.

Aan de andere kant is het specifieke notatiesysteem dat we vanaf de lagere school geleerd hebben niet het systeem dat intern in moderne elektronische rekenapparaten wordt gebruikt, en het leren van een ander notatiesysteem vereist een heroverweging van diepgewortelde aannames.

Cijfers

Eerst moeten we het verschil onderscheiden tussen cijfers en de symbolen die we gebruiken om cijfers weer te geven. Een cijfer is een wiskundige hoeveelheid, meestal gecorreleerd in elektronica met een fysieke hoeveelheid zoals spanning, stroom of weerstand. Er zijn veel verschillende typen cijfers. Hier zijn er enkele, bijvoorbeeld:

HELE CIFERS:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . .

GEHELE CIFERS:
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .

IRRATIONALE CIFERS:
π (benadering 3,1415927),
e (benadering 2,718281828),
vierkantswortel van elk priemgetal

REËLE CIFERS:
(Alle eendimensionale numerieke waarden, negatief en positief,
inclusief nul, gehele, gehele en irrationale cijfers)

COMPLEXE CIFERS:
3 - j4 , 34.5 ∠ 20°

Verschillende typen cijfers vinden verschillende toepassing in de fysieke wereld. Hele cijfers werken goed voor het tellen van discrete objecten, zoals het aantal weerstanden in een schakeling. Gehele cijfers zijn nodig wanneer negatieve equivalenten van hele cijfers vereist zijn.

Irrationale cijfers zijn cijfers die niet exact kunnen worden uitgedrukt als de verhouding van twee gehele cijfers, en de verhouding van de omtrek van een perfecte cirkel tot zijn diameter (π) is een goed fysiek voorbeeld hiervan. De niet-gehele hoeveelheden spanning, stroom en weerstand waarmee we gewend zijn in DC-schakelingen, kunnen worden uitgedrukt als reële cijfers, in breuk- of decimale vorm.

Voor AC-schakelinganalyse falen reële cijfers echter om de dubbele essentie van magnitude en fasehoek vast te leggen, en dus wenden we ons tot het gebruik van complexe cijfers in rechthoekige of poolvorm.

Symbolen

Als we cijfers willen gebruiken om processen in de fysieke wereld te begrijpen, wetenschappelijke voorspellingen te doen of onze rekeningen te balanceren, moeten we een manier hebben om ze symboolmatig aan te duiden.

Met andere woorden, we weten misschien hoeveel geld we op ons rekening-courant hebben, maar om daar rekening mee te houden moeten we een systeem hebben bedacht om die hoeveelheid op papier, of in een andere vorm voor registratie en bijhouden, te symboliseren.

Analog en Digitaal

Er zijn twee basismanieren om dit te doen: analog en digitaal. Bij analoge voorstelling wordt de hoeveelheid op een manier gesymboliseerd die oneindig deelbaar is. Bij digitale voorstelling wordt de hoeveelheid op een manier gesymboliseerd die discreet verpakt is.

Analoge Voorstelling

U bent waarschijnlijk al bekend met een analoge voorstelling van geld en realiseerde u zich dat niet. Heb u ooit een geldinzamelingsposter gezien met een afbeelding van een thermometer, waarbij de hoogte van de rode kolom het bedrag aan geld aangeeft dat voor het doel is ingezameld? Hoe meer geld ingezameld, hoe hoger de kolom rode inkt op de poster.

Dit is een voorbeeld van een analoge voorstelling van een cijfer. Er is geen echte limiet aan hoe fijn de hoogte van die kolom kan worden verdeeld om het bedrag aan geld op de rekening te symboliseren. Het veranderen van de hoogte van die kolom is iets wat kan worden gedaan zonder de essentiële aard van wat het is te veranderen.

Lengte is een fysieke hoeveelheid die zo klein als u wilt kan worden verdeeld, zonder praktische limiet. De rekenliniaal is een mechanisch apparaat dat exact dezelfde fysieke hoeveelheid – lengte – gebruikt om cijfers voor te stellen, en om rekenkundige bewerkingen met twee of meer cijfers tegelijk te helpen uitvoeren. Het is ook een analoog apparaat.

Digitale Voorstelling

Aan de andere kant ziet een digitale voorstelling van datzelfde geldbedrag, geschreven met standaardsymbolen (soms cijfers genoemd), er zo uit:

€35.955,38

In tegenstelling tot de 'thermometer'-poster met zijn rode kolom, kunnen die symbolische tekens niet fijn worden verdeeld: die specifieke combinatie van cijfers staat voor één hoeveelheid en slechts één hoeveelheid.

Als er meer geld op de rekening komt (+ €40,12), moeten andere symbolen worden gebruikt om het nieuwe saldo weer te geven (€35.995,50), of tenminste dezelfde symbolen in andere patronen gerangschikt. Dit is een voorbeeld van digitale voorstelling.

De tegenhanger van de rekenliniaal (analog) is ook een digitaal apparaat: de tellerframe, met kralen die heen en weer op stangen worden bewogen om numerieke hoeveelheden te symboliseren:

Contrast Tussen Analoge en Digitale Voorstelling

Laten we deze twee methoden van numerieke voorstelling contrasteren:

ANALOOG                              DIGITAAL
------------------------------------------------------------------
Intuïtief begrepen  ----------- Vereist training om te interpreteren
Oneindig deelbaar -------------- Discreet
Vatbaar voor precisiefouten ------ Absolute precisie

Interpretatie van numerieke symbolen is iets wat we voor opgegeven nemen omdat het ons al jaren wordt geleerd. Echter, als u probeerde een hoeveelheid van iets te communiceren aan een persoon die onkundig is van decimale cijfers, kan die persoon nog steeds de eenvoudige thermometergrafiek begrijpen!

De oneindig deelbare vs. discrete en precisievergelijkingen zijn eigenlijk twee kanten van dezelfde medaille. Het feit dat digitale voorstelling bestaat uit individuele, discrete symbolen (decimale cijfers en tellerframe-kralen) betekent noodzakelijk dat het hoeveelheden in precise stappen kan symboliseren.

Aan de andere kant is een analoge voorstelling (zoals de lengte van een rekenliniaal) niet samengesteld uit individuele stappen, maar eerder een continu bereik van beweging. De capaciteit van een rekenliniaal om een numerieke hoeveelheid tot oneindige resolutie te karakteriseren, is een afweging voor onnauwkeurigheid.

Als een rekenliniaal wordt getikt, wordt een fout geïntroduceerd in de voorstelling van het cijfer dat 'ingevoerd' was. Echter, een tellerframe moet veel harder getikt worden voordat de kralen volledig van hun plekken worden losgeschud (voldoende om een ander cijfer voor te stellen).

Begrijp dit verschil in precisie niet verkeerd door te denken dat digitale voorstelling noodzakelijk nauwkeuriger is dan analoge. Alleen omdat een klok digitaal is, betekent niet dat hij altijd de tijd nauwkeuriger zal weergeven dan een analoge klok, het betekent alleen dat de interpretatie van zijn weergave minder ambigue is.

Deelbaarheid van analoge versus digitale voorstelling kan verder worden verhelderd door te praten over de voorstelling van irrationale cijfers. Cijfers zoals π worden irrationaal genoemd, omdat ze niet exact kunnen worden uitgedrukt als de breuk van gehele cijfers.

Hoewel u misschien in het verleden geleerd heeft dat de breuk 22/7 voor π in berekeningen kan worden gebruikt, is dit slechts een benadering. Het daadwerkelijke cijfer 'pi' kan niet exact worden uitgedrukt door enig eindig, of beperkt, aantal decimalen. De cijfers van π gaan oneindig door:

3,1415926535897932384 . . . . .

Het is tenminste theoretisch mogelijk om een rekenliniaal (of zelfs een thermometerkolom) in te stellen om het cijfer π perfect weer te geven, omdat analoge symbolen geen minimumlimiet hebben voor de graad waarin ze kunnen worden verhoofd of verlaagd.

Als mijn rekenliniaal een cijfer van 3,141593 toont in plaats van 3,141592654, kan ik de schuif net iets meer (of minder) schuiven om er nog dichterbij te komen. Echter, met digitale voorstelling, zoals met een tellerframe, zou ik extra stangen (plaatshouders, of cijfers) nodig hebben om π tot verdere graad van precisie weer te geven.

Een tellerframe met 10 stangen kan simpelweg niet meer dan 10 cijfers van het cijfer π voorstellen, ongeacht hoe ik de kralen zet. Om π perfect weer te geven, zou een tellerframe oneindig veel kralen en stangen moeten hebben! De afweging is natuurlijk de praktische beperking tot het aanpassen en lezen van analoge symbolen.

Praktisch gesproken kan men de schaal van een rekenliniaal niet tot de 10e digit precisie aflezen, omdat de strepen op de schaal te grof zijn en het menselijk gezicht te beperkt. Een tellerframe kan daarentegen worden ingesteld en gelezen zonder interpretatiefouten.

Bovendien vereisen analoge symbolen een soort standaard waarmee ze voor nauwkeurige interpretatie vergeleken kunnen worden. Rekenlinialen hebben markeringen afgedrukt langs de lengte van de schuiven om lengte om te zetten in standaardhoeveelheden.

Zelfs de thermometergrafiek heeft cijfers geschreven langs zijn hoogte om te tonen hoeveel geld (in dollars) de rode kolom voorstelt voor een gegeven hoeveelheid hoogte. Stel je voor dat we allemaal probeerden eenvoudige cijfers aan elkaar te communiceren door onze handen op wisselende afstanden uit elkaar te houden.

Het cijfer 1 kan worden betekend door onze handen 1 inch uit elkaar te houden, het cijfer 2 met 2 inch, enzovoort. Als iemand zijn handen 17 inch uit elkaar houdt om het cijfer 17 weer te geven, zou iedereen om hen heen direct en nauwkeurig die afstand als 17 kunnen interpreteren? Waarschijnlijk niet.

Sommigen zouden kort gokken (15 of 16) en sommigen lang (18 of 19). Natuurlijk zijn vissers die opscheppen over hun vangst niet bang voor overschatting in hoeveelheid!

Misschien is dit de reden waarom mensen zich over het algemeen hebben gevestigd op digitale symbolen voor het voorstellen van cijfers, met name hele cijfers en gehele cijfers, die de meeste toepassing in het dagelijks leven vinden.

Met de vingers aan onze handen hebben we een kant-en-klaar middel om gehele cijfers van 0 tot 10 te symboliseren. We kunnen streepjes op papier, hout of steen maken om dezelfde hoeveelheden vrij eenvoudig weer te geven:

Voor grote cijfers is het 'streepje'-numeratiesysteem echter te inefficiënt.