Booleaanse Rekenkunde: Optellen, Vermenigvuldigen en Complementeren in Digitale Logica

Laten we onze verkenning van Booleaanse algebra beginnen met getallen optellen:

De eerste drie sommen maken perfecte zin voor iedereen bekend met elementaire optelling. De laatste som is echter vaak de bron van verwarring in digitale elektronica omdat het de gewone rekenkundige regels tegenspreekt.

Het tegenspreekt de regels voor reële-getal optelling, maar niet voor Booleaanse waarden. In Booleaanse algebra kan elke hoeveelheid alleen 0 of 1 zijn; er is geen "2". Dus, wanneer we 1 + 1 evalueren, kan het resultaat niet 0 zijn, dus moet het 1 zijn.

Of we nu twee termen of veel optellen, het patroon blijft hetzelfde:

OR Poort

Let op dat de twee-term sommen in de eerste set vergelijkingen overeenkomen met de waarheidstabel voor een OR poort. Booleaanse optelling correspondeert dus met de logische OR operatie, wat ook vertegenwoordigd wordt door parallelle schakelaarcontacten:

Er is geen aftrekking in Booleaanse wiskunde omdat aftrekking negatieve getallen vereist, die niet bestaan in dit domein. Evenzo is deling uitgesloten omdat het essentieel samengestelde aftrekking is.

AND Poort

Booleaanse vermenigvuldiging volgt dezelfde regels als reële-getal vermenigvuldiging: elke waarde vermenigvuldigd met 0 is 0, en elke waarde vermenigvuldigd met 1 blijft ongewijzigd:

Deze set vergelijkingen spiegelt de waarheidstabel voor een AND poort. Daarom beeldt Booleaanse vermenigvuldiging direct af op de logische AND operatie, wat ook geïllustreerd wordt door serie schakelaarcontacten:

Als conventionele algebra, gebruikt Booleaanse algebra letters om variabelen voor te stellen, maar ze zijn altijd hoofdletters. Omdat een Booleaanse variabele alleen 0 of 1 kan zijn, heeft het een complement – de tegenovergestelde waarde. Bijvoorbeeld, als A = 0, dan is het complement van A 1.

Complementatie wordt aangeduid door een balk boven de variabele, zoals hieronder getoond:

NOT Poort

In notatie wordt het complement van A geschreven als Aʹ of A̅. Het balk-symbool is gebruikelijker dan het prime-symbool, wat ook in calculus voorkomt.

Complementatie wordt in schakelingen vertegenwoordigd door een NOT poort of een normaal-gesloten relaiscontact:

Deze definities vestigen de basale regels van Booleaanse rekenkunde: optelling is OR, vermenigvuldiging is AND, en complementatie is NOT. Aftrekking en deling zijn niet gedefinieerd.

We zullen nu Booleaanse identiteiten in de volgende sectie verkennen.

SAMENVATTING:

• Booleaanse optelling ⇔ OR logica, parallelle schakelaarcontacten.
• Booleaanse vermenigvuldiging ⇔ AND logica, serie schakelaarcontacten.
• Booleaanse complementatie ⇔ NOT logica, normaal-gesloten relaiscontacten.

GERELATEERDE WERKBLADEN:

• Booleaanse Algebra Werkblad