Belangrijke Booleaanse Algebraïsche Identiteiten: Een Compleet Overzicht

In wiskunde is een identiteit een stelling die waar is voor alle mogelijke waarden van zijn variabele of variabelen.

De algebraïsche identiteit van x + 0 = x vertelt ons dat alles (x) opgeteld bij nul gelijk is aan het originele "alles," ongeacht welke waarde dat "alles" (x) mag zijn.

Als gewone algebra, heeft Booleaanse algebra zijn eigen unieke identiteiten gebaseerd op de bivalente toestanden van Booleaanse variabelen.

Additieve Identiteiten

Nul Optellen

De eerste Booleaanse identiteit is dat de som van alles en nul hetzelfde is als het originele "alles."

Deze identiteit verschilt niet van zijn reële-getal algebraïsche equivalent:

Ongeacht de waarde van A, zal de uitgang altijd hetzelfde zijn: wanneer A=1, is de uitgang ook 1; wanneer A=0, is de uitgang ook 0.

Eén Optellen

De volgende identiteit is ongetwijfeld anders dan alles gezien in normale algebra.

Hier ontdekken we dat de som van "alles" en één één is:

Ongeacht de waarde van A, zal de som van A en 1 altijd 1 zijn.

In een zin, de "1" signaal overschrijft het effect van A op de logica schakeling, wat de uitgang vastzet op een logica-niveau van 1.

Een Hoeveelheid Aan Zichzelf Optellen

Vervolgens onderzoeken we het effect van A en A samen te voegen, wat hetzelfde is als beide invoeren van een OR poort met elkaar te verbinden en ze met hetzelfde signaal te activeren:

In reële-getal algebra is de som van twee identieke variabelen tweemaal de oorspronkelijke variabele waarde (x + x = 2x), maar onthoud dat er geen concept van "2" is in de wereld van Booleaanse wiskunde, alleen 1 en 0, dus we kunnen niet zeggen dat A + A = 2A.

Dus, wanneer we een Booleaanse hoeveelheid aan zichzelf optellen, is de som gelijk aan de oorspronkelijke hoeveelheid: 0 + 0 = 0, en 1 + 1 = 1.

Een Hoeveelheid Aan Zijn Complement Optellen

De unieke Booleaanse concept van complementatie introduceren in een additieve identiteit, vinden we een interessant effect.

Omdat er één "1" waarde moet zijn tussen elke variabele en zijn complement, en de som van elke Booleaanse hoeveelheid en 1 is 1, moet de som van een variabele en zijn complement 1 zijn:

Multiplicatieve Identiteiten

Net als er vier Booleaanse additieve identiteiten zijn (A+0, A+1, A+A, en A+A'), zijn er ook vier multiplicatieve identiteiten: Ax0, Ax1, AxA, en AxA'. Van deze zijn de eerste twee niet anders dan hun equivalente expressies in gewone algebra:

Vermenigvuldigen met 0 of 1

Een Hoeveelheid Met Zichzelf Vermenigvuldigen

De derde multiplicatieve identiteit uitdrukt het resultaat van een Booleaanse hoeveelheid vermenigvuldigd met zichzelf.

In normale algebra is het product van een variabele met zichzelf het kwadraat van die variabele (3 x 3 = 3² = 9).

Echter, het concept van kwadraat impliceert een hoeveelheid van 2, wat geen betekenis heeft in Booleaanse algebra, dus we kunnen niet zeggen dat A x A = A².

In plaats daarvan vinden we dat het product van een Booleaanse hoeveelheid en zichzelf de oorspronkelijke hoeveelheid is, aangezien 0 x 0 = 0 en 1 x 1 = 1:

Een Hoeveelheid Met Zijn Complement Vermenigvuldigen

De vierde multiplicatieve identiteit heeft geen equivalent in gewone algebra omdat het het complement van een variabele gebruikt, een concept uniek voor Booleaanse wiskunde.

Omdat er één "0" waarde moet zijn tussen elke variabele en zijn complement, en het product van elke Booleaanse hoeveelheid en 0 is 0, moet het product van een variabele en zijn complement 0 zijn:

Samengevat, dan, hebben we vier basale Booleaanse identiteiten voor optelling en vier voor vermenigvuldiging:

Dubbele Complementatie

Een andere identiteit die te maken heeft met complementatie is die van de dubbele complementatie: een variabele twee keer geïnverteerd.

Een variabele twee keer complementeren (of elk even aantal keren) resulteert in de oorspronkelijke Booleaanse waarde.

Dit is analoog aan negatie (vermenigvuldigen met -1) in reële-getal algebra: een even aantal negaties annuleren om de oorspronkelijke waarde te laten:

GERELATEERDE WERKBLADEN:

• Booleaanse Algebra Werkblad