Kleine-hoekverstrooiing onthult structuur van deterministische nanoschaal vet-fractalen

Samenvatting

Kleine-hoekverstrooiing (van neutronen, röntgen, of licht; SAS) wordt overwogen om de structurele kenmerken van deterministische nanoschaal vet-fractalen te beschrijven. We tonen aan dat in het geval van een polydispers fractaalstelsel, met gelijke kans voor elke oriëntatie, de fractale dimensies en schaalfactoren op elk structureel niveau verkregen worden. Dit is in overeenstemming met algemene resultaten afgeleid in de context van kleine-hoekverstrooiing analyse van een systeem van willekeurig georiënteerde, niet-interacterende, nano-/micro-fractalen. We passen onze resultaten toe op een tweedimensionaal vet Cantor-achtig fractaal, analytische uitdrukkingen berekenend voor de verstrooiingsintensiteiten en structuurfactoren. We leggen uit hoe de structurele eigenschappen berekend kunnen worden uit experimentele data en tonen hun correlatie met de variatie van de schaalfactor met het iteratienummer. Het model kan gebruikt worden om experimentele SAS-data te interpreteren in het kader van vet-fractalen en kan structurele eigenschappen van materialen onthullen gekenmerkt door een regelmatige wet van veranderende fractale dimensies. Het kan opeenvolgingen van machtswet-afnames beschrijven, willekeurig dalende waarden van de verstrooiingsexponenten, en afgewisseld door gebieden van constante intensiteit.

Inleiding

Veel hiërarchische structuren gegenereerd op nano- en microschaal hebben geometrische kenmerken die invariant zijn onder schaaldilataties, wat zelf-overeenkomst vertoont, en dus fractale eigenschappen bezitten [1, 2]. Hoewel recente vooruitgang in materialenwetenschap en nanotechnologie bereiding van diverse kunstmatige nano-/microschaal deterministische fractalen toestaat, met exacte zelf-overeenkomst [3–7], genereren de meeste natuurlijke processen willekeurige, statistisch zelf-overeenkomstige fractalen. Een goede benadering in de structurele studies van natuurlijke fractale formaties kan gedaan worden door terug te vallen op deterministische fractaalmodellen, met dezelfde fractale dimensie als de willekeurige. Deze benadering werd met succes gebruikt om aan te tonen dat de overdracht over willekeurige fractale oppervlakken zeer dicht bij de reactie van deterministische modelgeometrieën ligt [8]. Door polydispersiteit te introduceren in het constructie-algoritme van een deterministisch fractaal, kunnen vergelijkbare kleine-hoekverstrooiing (SAS) intensiteiten verkregen worden als die corresponderend met willekeurige fractalen [9]. Bovendien is een "deterministische" benadering computationeel efficiënter, wat analytische beschrijving van diverse eigenschappen toestaat, zoals fractale vorm, structuurfactoren, en de straal van gyratie.

Een van de meest betrouwbare methoden om de structurele eigenschappen van zowel deterministische als willekeurige fractalen te bepalen [10, 11] is het gebruik van golfdiffractie in de context van kleine-hoekverstrooiing op nano- of micro-gestructureerde materialen, met neutronen of elektromagnetische golven (röntgen, licht, etc.) [12]. Dit is waarom een van de fundamentele taken in theoretische beschrijvingen gekoppeld aan experimentele bepalingen in dit onderzoeksgebied is om de relatie tussen de structuur van fractalen en hun corresponderende diffractiespectrum of verstrooiingsintensiteitsverdeling vs. verstrooiingsgolffector te onthullen. Veel experimentele en theoretische studies werden in deze richting uitgevoerd [13–21].

Met behulp van standaard theoretische berekeningen en interpolatie, is de parameter die bepaald wordt uit dit soort experimentele metingen de massa-fractale dimensie D _m (zie Bijlage 1), met D _m<d, of oppervlakte-fractale dimensie D _s, met d−1<D _s<d. We duidden met d de Euclidische dimensie waarin het fractaal ingebed is. De massa-fractale dimensie beschrijft de manier waarop de massa M(r) varieert wanneer het ingebed is in een schijf van straal r. De verkregen massa-straal relatie $M(r) \propto r^{D_{\mathrm {m}}}$ leidt tot het gedrag van de verstrooiingsintensiteit $I(q) \propto q^{-D_{\mathrm {m}}}$. Evident kan D _m geïdentificeerd worden met de exponent van de machtswet-afhankelijkheid van de verstrooiingsintensiteit als functie van de verstrooiingsgolffector q [18, 22]. Hoe hoger de waarde van D _m, hoe compacter de structuur. Op dezelfde manier, in het geval van een oppervlakte-fractaal, gehoorzaamt de oppervlakteverdeling $S(r) \propto r^{2-D_{\mathrm {s}}}$, en dus, $\phantom {\dot {i}\!}I(q) \propto q^{-(2\mathrm {d}-D_{\mathrm {s}})}$ [19, 23]. Werkend in de driedimensionale Euclidische ruimte, benadert D _s het minimum van twee, wanneer het oppervlak bijna perfect glad is. Het neigt tot het maximum van drie, als het zo gevouwen is dat het de ruimte bijna volledig vult.

Veel experimentele diffractie-intensiteiten van diverse chemisch gesynthetiseerde en biologische systemen worden gekenmerkt, op een dubbele logaritmische schaal, door een opeenvolging van machtswet-afnames, afgewisseld door gebieden van constante intensiteit. Dit gedrag kan geïdentificeerd worden voor sommige polymere gelen [24], glycoside hydrolase voor cellobiose substraat [25], polyelektrolyt complex coacervaten [26], of nanoporeus koolstof [27]. Hoewel het klassieke Beaucage-model [28] basale structurele informatie over deze systemen kan leveren (d.w.z. massa- of oppervlakte-fractale dimensie en de algehele grootte van elk structureel niveau), is een meer complete karakterisatie nodig vanwege het grote aantal configuraties die overeenkomen met een vaste waarde van de fractale dimensie. Dit probleem werd onlangs deels aangepakt door Cherny et al. [29] in de context van kleine-hoekverstrooiing (SAS) modellen. Er werd getoond dat, voor deterministische massa-fractalen met een enkele schaal, additionele informatie verkregen kan worden, zoals het fractale iteratienummer, het aantal basale constituenteneenheden, en de schaalfactor. Deze benadering werd bovendien met succes gebruikt om nieuwe modellen voor vet-fractalen te ontwikkelen, als opeenvolgingen van machtswet-afnames aanwezig zijn in de verstrooiingsverdelingen. Het kan toegepast worden op structuren waar de algehele grootte van de basale componenteneenheden van dezelfde orde is als de afstanden tussen hen [30, 31].

Het theoretische model gepresenteerd in dit artikel combineert eerdere modellen om hun toepasbaarheid uit te breiden. Het beschrijft opeenvolgingen van machtswet-afnames, met willekeurig dalende waarden van de verstrooiingsexponenten, en afgewisseld door gebieden van constante intensiteit. Ons model kan ook meer gedetailleerde informatie over elk structureel niveau in de nano-/micro-fractaal verschaffen. Met dit doel overwegen we een vet-fractaal, voorgesteld door een tweedimensionaal deterministisch massa-fractaal met een schaalfactor die iteratienummer-afhankelijk is, maar met niet-verdwijnend oppervlak in de limiet van een groot aantal iteraties, dus met een positieve Lebesgue-maat. We leiden analytische uitdrukkingen af van de fractale vorm- en structuurfactoren, en tonen hoe de fractale dimensies en schaalfactoren op elk structureel niveau bepaald kunnen worden.

Theoretische achtergrond

Overwegend een array van op gelijke wijze georiënteerde, identieke diffractie-openingen, hier aangeduid door Σ, bevattende N transparante regio's, gelabeld door j, moet een sommatie over de amplituden verkregen uit elke opening in aanmerking genomen worden. Dus, de bekende frequentieverdeling van de diffractie-amplitude van een enkele opening (Verg. (37) in Bijlage 2) kan herschreven worden als [32]:

$$ A(p,s) = \sum\limits_{j=1}^{N} \iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi \left(p(x+x_{j}) + s(y+y_{j})\right)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (1)

De coördinaten van een punt in het lokale frame van de jde opening zijn (x _j,y _j), en T(x,y) vertegenwoordigt de individuele transmissiefunctie corresponderend met elke transparante regio. Men kan sommatie met integratie wisselen omdat, in ons geval, de openingen beschreven worden door dezelfde individuele verdelingsfunctie, zodat Verg. (1) herschreven kan worden als:

$$ A(p,s) = \iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi (px + sy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \times \sum\limits_{j=1}^{N}e^{ipx_{j}}e^{isy_{j}}. $$ (2)

$$ A(p,s)~=~\mathcal{F}\left\{T(x,y)\right\} \mathcal{F}\left\{A_{\delta}\right\}. $$ (3)

De intensiteitsverdeling van het gediffracteerde beeld in het Fourier-vlak wordt:

$$ I(p,s) \equiv \left| A(p,s) \right|^{2} = \left|\mathcal{F}\left\{T(x,y)\right\}\right|^{2} \big|\mathcal{F}\left\{A_{\delta}\right\}\big|^{2}. $$ (4)

Zoals verwacht, correspondeert de eerste factor in het product met de verstrooiingsintensiteit van een enkele opening, terwijl de tweede onthult hoe deze openingen verdeeld zijn binnen de diffractie-opening Σ. Deze hoeveelheden zijn ook bekend als de vormfactor F(p,q) en, respectievelijk, de structuurfactor S(p,q). Dit is waarom de resultaten verkregen door het hele artikel zullen worden uitgedrukt met de volgende vorm van verstrooiingsintensiteit:

$$ I(p,q) \equiv F(p,s) S(p,s). $$ (5)

Vet-fractaal model en methode

De gedetailleerde procedure voor het construeren van een dunne (reguliere) Cantor-fractaal is bekend [33]. Alleen de hoofdconstructieprocedure wordt hier samengevat. Een top-naar-benadering wordt gehanteerd. Startend met een initiële vierkant (of enige andere Euclidische vorm) van rand l ₀ (bij m = 0), wiens centrum samenvalt met de oorsprong van het Cartesiaans coördinatensysteem en randen parallel aan de coördinatenassen, voldoet elk punt in het vierkant aan de voorwaarden −l ₀/2≤x≤l ₀/2 en −l ₀/2≤y≤l ₀/2. Bij de eerste iteratie (m = 1), wordt het vierkant verdeeld in vier andere vierkanten, met randlengte $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}l_{0}$. We duidden met $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)} \equiv (1-\gamma _{1})/2$, met $0 < \beta _{\mathrm {s}}^{(1)} < 1/2$, de eerste iteratie schaalfactor, en met γ ₁ de fractie van de verwijderde lengte op dit punt, zoals te zien in Fig. 1 a, b) voor m = 1. Het getal geplaatst tussen (⋯), verschijnend als bovenste index, kwantificeert het iteratienummer. Het mag niet geïnterpreteerd worden als exponent van een machtfunctie. In termen van de schaalfactor, worden de posities van de vier vierkanten gegeven door de vectoren $\boldsymbol {a}_{j}~=~\left \{ \pm \beta _{\mathrm {t}}^{(1)}l_{0}, \pm \beta _{\mathrm {t}}^{(1)}l_{0}\right \}$ met alle mogelijke tekencombinaties, waar $\beta _{\mathrm {t}}^{(1)}~=~\left (1-\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\right)/2$ gebruikt wordt om formuleringen te vereenvoudigen. Het vierkant werd gekozen als initiële vorm, vanwege de eenvoud van numerieke berekeningen. Elke andere geometrische vorm, bijvoorbeeld een cirkel, kan overwogen worden. Het effect van het kiezen van een andere vorm wordt alleen waargenomen in het Porod-gebied van de vormfactor, wat buiten de scope van dit artikel valt.

Kleine-hoekverstrooiing onthult structuur van deterministische nanoschaal vet-fractalen

De eerste twee stappen hierboven beschreven worden ook toegepast in de constructie van de klassieke versie van een vet-fractaal, voor iteraties m = 0 en m = 1. Dit is waarom, tot nu toe, deze twee structuren samenvallen. Om het vet-fractaal te verkrijgen, moet een wijziging van het algoritme gebruikt bij iteratie m = 1 gedaan worden, door een andere schaalfactor te kiezen bij m = 2, $\beta _{\mathrm {s}}^{(2)} \equiv (1 - \gamma _{2})/2$. Toepassen van het hele algoritme in de limiet van hoog aantal iteraties [34, 35], herkrijgt men de klassieke versie van een vet-fractaal. Het is duidelijk uit de constructie dat de reguliere versie van het fractaal herkregen wordt wanneer de schaalfactoren, bij elke iteratie, gekozen worden om gelijk te zijn $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}~=~\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}~=~\cdots = \beta _{\mathrm {s}}^{(m)}$.

Om het constante plateau tussen twee machtswet-afnames in het gedrag van SAS-intensiteit te verkrijgen, moeten we in aanmerking nemen dat de afstanden tussen de verstrooiingseenheden veel groter zijn dan hun algehele grootte. Een dergelijke benadering werd eerst gebruikt in de context van oppervlakte-fractaalmodellen [36, 37]. Overwegend de verhouding f van de algehele afstand tussen de verstrooiingseenheden l _in en hun algehele grootte l ₀, heeft men:

$$ f~\equiv~ l_{\text{in}}/l_{0}. $$ (6)

Voor verstrooiingsexperimenten die plateaus van constante intensiteit tonen tussen twee fractale regio's, moeten waarden van f≫1 gekozen worden. In het geval van oppervlakte-fractalen, leidt het verhogen van de waarde van f tot een betere overeenstemming tussen de totale SAS-intensiteit, enerzijds, en de benadering van onafhankelijke verstrooiingseenheden, anderzijds [36, 37].

Met behulp van de bovenstaande overwegingen kan men de verschillen tussen reguliere en vet-fractalen beschrijven. De invloed van de factor f, geïntroduceerd hierboven, kan ook gevisualiseerd worden. Dit is waarom, in Fig. 1, we grafisch de vergelijking exemplificeren met een schijf van straal r ₀≡l ₀/2=l _in/(2f) als onze basale vorm. De resultaten van de eerste twee iteraties, getoond in elke rij van Fig. 1, vertegenwoordigen de structuren verkregen voor een regulier fractaal (gemarkeerd door rode schijven) en een vet-fractaal (voorgesteld als een zwarte schijf), die ook volledig over elkaar heen kunnen liggen (gemarkeerd als oranje schijven). In de rij gelabeld Fig. 1 a, wordt de factor f beschouwd als gelijk aan de eenheid zodat de klassieke constructies en fractale vormen verkregen worden. De tweede rij van de figuur, aangeduid Fig. 1 b, toont de invloed van de bovenstaande gepresenteerde factor. In deze berekeningen kozen we de willekeurige waarde van f = 2. Men observeert dat bij iteraties m = 0 en m = 1, in zowel a als b gevallen, de verkregen structuren van de reguliere en vet Cantor-verzamelingen identiek zijn en volledig overlappen. Dit is te verwachten door de gemeenschappelijke schaalfactor. Echter, zoals te zien in het laatste paar afbeeldingen van Fig. 1, beginnend met m = 2, zijn de stralen van schijven van het vet-fractaal groter omdat de schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}$ groter is, per definitie, dan die van de reguliere. In de laatste afbeelding van Fig. 2 b, is de grootte van de schijven veel kleiner dan in zijn tegenhanger van Fig. 2 a vanwege de niet-eenheidige waarde van de factor f.

Om de machtswetten zelf te verkrijgen, moet men het klassieke vet-fractaalmodel verder generaliseren. Dit wordt gedaan door te overwegen dat de schaalfactorveranderingen niet bij elke enkele iteratie gebeuren, maar elke tweede, derde, ⋯, of, algemeen gesproken, elke hde iteratie. De fractie van verwijderde lengtes bij de mde iteratie is:

$$ \gamma_{m}~=~c^{p_{m}}, $$ (7)

met 0<c<1. De functie p _m is gedefinieerd als:

$$ p_{m} \equiv \left\lfloor 1+\frac{m-1}{h} \right\rfloor, $$ (8)

voor elke positieve gehele waarde van m, met h = 1,⋯,m, waar de floor-functie ⌊⋯ ⌋ gebruikt werd. Dus, de schaalfactor corresponderend met de mde iteratie wordt gegeven door:

$$ \beta_{\mathrm{s}}^{(m)}~=~\frac{1-\gamma_{m}}{2}. $$ (9)

Het is nu duidelijk dat het doel van de functie p _m is om de schaalfactor constant te houden voor h iteraties (h<m).

De componenten van positievectoren van elk vierkant kunnen geschreven worden als:

$$ \beta_{\mathrm{t}}^{(m)} = \frac{\beta_{\mathrm{s}}^{(m)}}{2} + \frac{\gamma_{m}}{2}, $$ (10)

terwijl de randlengte van elk vierkant gegeven wordt door:

$$ l_{m}=\frac{l_{0}}{2^{m}}\prod_{i=1}^{m}(1-\gamma_{i}). $$ (11)

De factor f moet gebruikt worden in de formule van de lengte l ₀ om rekening te houden dat voor iteraties tussen de (h+1)de en mde, de grootte van vierkanten afneemt ten opzichte van de afstanden tussen hen:

$$ l_{0} = \left\{\begin{array}{ll} l_{\text{in}}, & \mathrm{voor~~iteraties~~} \leq h \\ l_{\text{in}}/f, & \mathrm{voor~~iteraties~~} > h, \end{array}\right. $$ (12)

waarbij h < m. Het aantal vierkanten bij elke iteratie is:

$$ N_{m}~=~4^{m}. $$ (13)

Dus, bij elke schaal, beschouwd als iteratie met constante schaalfactor, heeft men een verschillende fractale dimensie gegeven door [29, 38, 39]:

$$ D_{\mathrm{m}}~=~-\frac{2 \ln 2}{\ln \beta_{\mathrm{s}}^{(m)}}. $$ (14)

In de limiet van een groot aantal iteraties, zal de fractale dimensie van het geconstrueerde fractaalverzameling zijn [34]:

$$ D \equiv \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{\frac{\ln N_{m}}{\ln (l_{0}/l_{m})}} = 2, $$ (15)

wat de verwachte waarde is voor een tweedimensionaal vet-fractaal. Ten slotte, als a _i het relatieve oppervlak is verwijderd bij ide iteratie, dan $\prod _{i=1}^{m}(1-a_{i}) > 0$ als $\sum _{i=1}^{\infty } a_{i}< \infty $, en dus voldoet het model aan de definitie en kenmerken van vet-fractalen [35].

Resultaten en discussie

Volgens het Babinet-principe kunnen we concluderen dat bij mde iteratie, de openingen in het rooster de overgebleven vierkanten in het fractaal zijn, terwijl de verwijderde delen ondoorzichtig worden voor de straling.

Monodisperse verstrooiingsintensiteit en structuurfactor

Om de analytische uitdrukking van de verstrooiingsintensiteit voor het vet Cantor-fractaal af te leiden, beginnen we met het schrijven van de recurentierelatie van het rooster-doorschijnvermogen voor een willekeurige iteratie corresponderend met 1D geval. Bij m = 0, hebben we

$$ T_{0}(l_{0}, x) \equiv \text{rect}(l_{0}, x) =\left\{\begin{array}{ll} 1, & |x| < l_{0}/2 \\ 1/2, & |x| = l_{0}/2, \\ 0, & \text{overige}. \end{array}\right. $$ (16)

Rekening houdend met het constructie-algoritme van het fractaal, wordt het doorschijnvermogen na de eerste iteratie gegeven door:

$$ \begin{aligned} T_{1}(l_{1}, x,) = T_{0}(l_{1}, x) \ast \delta\left(\frac{x-l_{0}\beta_{\mathrm{t}}^{(1)}}{l_{1}}\right) + \\ T_{0}(l_{1}, x) \ast \delta\left(\frac{x+l_{0}\beta_{\mathrm{t}}^{(1)}}{l_{1}}\right),~~~~~~~~~~~~ \end{aligned} $$ (17)

waarbij δ(x−a) de eendimensionale Dirac-delta verdeling is bij x=a. Het symbool ∗ vertegenwoordigt de convolutie-operator. Dus, bij mde iteratie, kunnen we schrijven:

$$ \begin{aligned} T_{m}(l_{m}, x) = T_{m-1}(l_{m}, x) \ast \delta\left(\frac{x-u_{m}}{l_{m}} \right) + \\ T_{m-1}(l_{m}, x, y) \ast \delta\left(\frac{x+u_{m}}{l_{m}} \right),~~~~~~~~~~~~ \end{aligned} $$ (18)

waarbij $u_{m}~=~l_{0}\beta _{\mathrm {t}}^{(m)}\prod _{j=1}^{m-1}\beta _{\mathrm {s}}^{(j)}$. Het uitvoeren van een Fourier-transformatie op Verg. (18), vindt men dat de verstrooide amplitude bij mde iteratie is:

$$ A_{m}(p)=2^{m}\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i}). $$ (19)

Aangezien het 2D vet-fractaalmodel een direct product is van twee eendimensionale vet-fractalen, kan de Fourier-transformatie geschreven worden als een product van twee eendimensionale Fourier-transformaties. Dus, de tweedimensionale verstrooiingsamplitude kan geschreven worden als:

$$ A_{m}(p,s)\equiv A_{m}(p) A_{m}(s), $$ (20)

en dus,

$$ \begin{aligned} A_{m}(p, s) = N_{m}\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin(\pi s l_{m})}{\pi s l_{m}} \times \\ \prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i})\cos(2\pi s u_{i}), \end{aligned} $$ (21)

zodat de verstrooiingsintensiteit wordt:

$$ \begin{aligned} I_{m}(p, s) =\left(\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin(\pi s l_{m})}{\pi s l_{m}} \right)^{2} \times \\ N_{m}^{2} \left(\prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i})\cos(2\pi s u_{i}) \right)^{2}. \end{aligned} $$ (22)

De eerste factor in de vorige vergelijking, vertegenwoordigend de diffractie-intensiteit door de vormfactor, zoals gesteld in Verg. (5):

$$ F_{m}(p, s) = \left(\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin(\pi s l_{m})}{\pi s l_{m}} \right)^{2}, $$ (23)

correspondeert met de verstrooiingsintensiteit verkregen van een enkel vierkant van rand l _m. De tweede factor, vertegenwoordigend de diffractie-intensiteit door de structuurfactor, zoals gesteld in Verg. (5):

$$ S_{m}(p, s) = N_{m}^{2}\left(\prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i})\cos(2\pi s u_{i}) \right)^{2}, $$ (24)

beschrijft de manier waarop vierkanten verdeeld zijn. De totale verstrooide stralingsintensiteit is het product van F _m(p,s) en S _m(p,s).

De machtswet-afname van de intensiteit, geformuleerd in Verg. (22), wordt verkregen na het uitvoeren van het gemiddelde over alle oriëntaties [29]. Overwegend gelijke kans voor elke oriëntatie, kan het gemiddelde berekend worden in het geval van tweedimensionale fractalen door te integreren over alle richtingen van de verstrooiingsvector q = (p,s):

$$ \langle f(p, s) \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}f(q,\phi)\mathrm{d}\phi, $$ (25)

waarbij p = q cosϕ en s = q sinϕ. Dus, de verstrooiingsintensiteit I(q) wordt verkregen als functie van de modulus van impulsoverdracht q≡|q|.

Omdat, uit de definitie van structuurfactor, men heeft $S_{m}(0)~=~N_{m}^{2}$, waar N _m het aantal vierkanten is, zoals gedefinieerd in Verg. (13), kan de standaard normalisatieprocedure S _m(0) = 1 worden gehanteerd, zoals beschreven in [11, 29].

De berekende resultaten voor de monodisperse verstrooiingsintensiteit I _m(q) en structuurfactor S _m(q), met m = 6, worden getoond in Fig. 2 voor het klassieke vet-fractaal (f = 1 in Fig. 2 a) en, voor het uitgebreide vet-fractaalmodel ontwikkeld in dit werk (f = 10 in Fig. 2 b). Om Fig. 2 b te verkrijgen, overwogen we h = 3 zodat de schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}$ van de eerste drie iteraties constant gehouden werd, toen had het een andere constante waarde $\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}$ voor de volgende drie iteraties. Zoals verwacht, in beide gevallen (voor f = 1 en f = 10), kunnen de verschillen tussen verstrooiingsintensiteit enerzijds, en de structuurfactor anderzijds, waargenomen worden wanneer $q \gtrsim 1/l_{m}$. In deze regio heeft de verstrooiingsintensiteit een machtswet-afname I(q)∝q ⁻³. De structuurfactor heeft een asymptotische waarde die neigt tot 1/N _m, vertegenwoordigd door de horizontale lijn in Fig. 2 a of de lagere horizontale lijn in Fig. 2 b [29, 33].

Een opeenvolging van twee gegeneraliseerde machtswet-afnames, identificeerbaar als een superpositie van maxima en minima, over een eenvoudige machtswet-afname, kan gezien worden in Fig. 2 a. Maar in Fig. 2 b, kan een gebied van ongeveer constante intensiteit, in het domein 20≲ql ₀≲100, duidelijk onderscheiden worden, omringd door de twee opeenvolgende gegeneraliseerde machtswet-afnames. Dit is te wijten aan de afname in de grootte van de vierkanten met een orde van grootte (f = 10) vergeleken met de afstanden tussen hen. Deze regio, observeerbaar rond de bovenste horizontale lijn in Fig. 2 b heeft de asymptoot 1/N ₃, dezelfde als die van het klassieke vet-fractaal's structuurfactor, wat een gedrag vertont vergelijkbaar met het geval van het overwegen van alleen de eerste drie iteraties.

Daarnaast kan gezien worden in Fig. 2 dat het aantal minima bij elke schaal coincideert met het aantal constante schaalfactor iteraties. Deze minima treden op wanneer de straling door verschillende vierkanten binnen het fractaal interfereert en in fase-oppotitie zijn, en dus, de meest frequente afstanden tussen het centrum van vierkanten (2u _m) gelijk zijn aan π/q. Dit is waarom de benaderde posities van de minima verkregen worden uit de relatie:

$$ q_{i} \simeq \frac{\pi}{2 u_{i}},~~~~i=1, \cdots, m $$ (26)

aangeduid in Fig. 2 door verticale lijnen. Voor de eerste zes iteraties observeert men een redelijk goede overeenstemming tussen de posities berekend met Verg. (26), en die gevonden in de verstrooiingsintensiteit, of structuurfactor. Deze benadering zou minder nauwkeurig kunnen zijn voor hogere iteraties, eenmaal het iteratienummer stijgt boven een bepaalde waarde omdat in deze gevallen meer en meer afstanden vergelijkbaar zijn met de meest frequente. Toch zal deze benadering in de praktijk redelijk goed werken, waar men nauwelijks kan verwachten meer dan vier of vijf dergelijke minima te onderscheiden.

Voor elk individueel schaal, in een gegeven bereik 1/(2u _i)≲q≲1/(2u _i+1), wordt het diffractiepatroon geproduceerd door de interferentie van alleen de ide fractaaliteratie. Dit kan gebruikt worden om aan te tonen dat, binnen dit interval, de functies I _m(q)q ^D en S _m(q)q ^D log-periodiek zijn [29], waar D de fractale dimensie is corresponderend met een gegeven schaal. In het bijzonder, voor de resultaten getoond in Figs. 2 en 3, zijn de functies I _m(q)q ^−1.1 en S _m(q)q ^−1.1 log-periodiek met de periode $1/\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}$ voor de eerste drie iteraties, terwijl I _m(q)q ^−1.51 en S _m(q)q ^−1.51 log-periodiek zijn met $1/\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}$ voor de tweede groep van drie iteraties.

Op een vergelijkbare manier als deterministische massa-fractalen, kan Verg. (26) gebruikt worden om diverse structurele parameters te verkrijgen die vet-fractalen karakteriseren. Ten eerste, coincideert het totale aantal minima met het totale aantal fractaaliteraties. Figuur 2 toont dat het fractaal bestaat uit drie iteraties met schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}$ en drie iteraties met schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}$. Ten tweede, uit de perioditeit van deze minima (of uit de perioditeit van I _m(q)q ^D en S _m(q)q ^D), kunnen de schaalfactoren hersteld worden. In Fig. 2 b, kan de schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}$ verkregen worden uit de perioditeit van minima bij ql ₀≃7,25, en 90, terwijl de schaalfactor $\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}$ verkregen kan worden uit de perioditeit van minima bij ql ₀≃400,1000 en 2500. Bovendien kan de lengte van het intermediaire plateau tussen fractale regio's gebruikt worden als indicatie van de verhouding (f) van afstanden tussen verstrooiingseenheden, en hun algehele grootte. In Fig. 2 b, correspondeert dit bereik met 13≲ql ₀≲130.

Polydisperse verstrooiingsintensiteit en structuurfactor

In dit deel van ons werk kunnen we nu overwegen dat de roostergrootten een verdelingsfunctie D _N(l ₀) gehoorzamen, gedefinieerd op een zodanige manier dat D _N(l ₀)dl ₀ de kans geeft dat de grootte van het fractaalrooster in het interval (l ₀,l ₀+dl ₀) ligt. Deze stap introduceert polydispersiteit in ons vet-fractaalmodel. We illustreren dit door een log-normale verdeling te kiezen:

$$ D_{\mathrm{N}}(l_{0}) = \frac{1}{\sigma l_{0} (2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{\left(\log(l_{0}/\mu)+\sigma^{2}/2\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}, $$ (27)

met relatieve variantie $\sigma _{\mathrm {r}} = \left (\left \langle l_{0}^{2} \right \rangle _{D} - \mu ^{2}\right)^{1/2}/\mu $, gemiddelde waarde μ=〈l ₀〉_D, en variantie $\sigma = \left (\log \left (1+\sigma _{\mathrm {r}}^{2}\right)\right)^{1/2}$. Met behulp van Verg. (21) en (27) verkrijgt men de polydisperse intensiteit gemiddeld over de verdelingsfunctie:

$Kleine-hoekverstrooiing onthult structuur van deterministische nanoschaal vet-fractalen$

waarbij $Kleine-hoekverstrooiing onthult structuur van deterministische nanoschaal vet-fractalen$ het corresponderende oppervlak is bij mde iteratie. De structuurfactor wordt op een vergelijkbare manier berekend, maar zonder de term $Kleine-hoekverstrooiing onthult structuur van deterministische nanoschaal vet-fractalen$ [29].

De berekende resultaten in het geval van polydisperse (rode curven) en monodisperse (zwarte curven) verstrooiingsintensiteiten (gelabeld met a) en structuurfactoren (gelabeld met b) zijn te zien in Figs. 3 en 4. Het verschil tussen hen wordt gegeven door de waarde van de f factor. In Fig. 3 werd de klassieke constructie van een vet-fractaal gebruikt zodat f = 1, terwijl rekening houdend met de kleinere groottes van de basale eenheden leidt tot de keuze van f = 10 in Fig. 4. Polydispersiteit is berekend voor een relatieve variantie van σ _r = 0,4. Het kan gezien worden dat de oscillaties vervaagd zijn, de algehele amplitude daalt, zodat de verstrooiingscurves gladder worden [29, 40]. Echter, voor deze specifieke waarde van σ _r, zijn de posities van hoofd-minima en maxima nog observeerbaar.

Algemeener, voor kleine waarden van σ _r (d.w.z. klein genoeg dat de oscillaties observeerbaar zijn), kan de schatting gegeven door Verg. (26) nog steeds gebruikt worden. Dus, het aantal fractaaliteraties, de schaalfactor op elk structureel niveau, de verhouding van de afstanden tussen verstrooiingseenheden, en hun algehele grootte kunnen hersteld worden. Wanneer σ _r verhoogd wordt tot voldoende hoge waarden zodat oscillaties volledig vervaagd zijn, worden de verstrooiingscurves eenvoudige machtswet-afnames. Aangezien we een smalle belvormige verdeling gebruikten, wordt de verstrooiingsexponent bewaard. Bovendien geeft het, voor elke machtswet-afname, de fractale dimensie van dat specifieke structurele niveau. Dit is in goede overeenstemming met de theoretische schatting van Verg. (14). Dit is ook in overeenstemming met experimentele opstellingen, waar bijna elke verstrooiingscurve een zekere graad van polydispersiteit heeft. Dus, ons ontwikkelde vet-fractaalmodel, met een afgewisseld gebied van constante intensiteit, herstelt de fractale dimensie op elk structureel niveau uit polydisperse experimentele data.

Conclusies

In dit artikel stellen we een theoretisch model voor dat het standaardmodel voor nanoschaal vet-fractalen generaliseert. Het wordt gekenmerkt door het feit dat de initiële randovergrootte van de elementaire eenheidsvorm genomen wordt als veel kleiner dan die van de algehele grootte van het fractaal, en dus veel kleiner dan de afstanden tussen de elementaire eenheden binnen het fractaal. Figuur 1 b illustreert het basale model, wanneer een quotiënt van 1/2 in tussen deze hoeveelheden respectievelijk overwogen wordt.

Gebaseerd op dit model, wordt een analytische formule berekend en gepresenteerd, in Verg. (22) voor de verstrooiingsintensiteit en in Verg. (24) voor de structuurfactor. Gemiddeld over alle mogelijke oriëntaties wordt gedaan volgens Verg. (25). Deze gemiddelde hoeveelheden worden gekenmerkt, op een dubbele logaritmische schaal, door de aanwezigheid van twee structurele niveaus, en dus door twee machtswet-afnames afgewisseld door een gebied van constante intensiteit, vertegenwoordigd door een plateau, zoals gezien in Figs. 2 b en 4. Dit plateau coincideert met het asymptotische gebied van de structuurfactor van het vet-fractaal, alsof we alleen de bijdrage van het eerste structurele niveau zouden hebben overwogen, toen de schaalfactor constant gehouden werd. De asymptotische waarden van de plateaus kunnen gebruikt worden om het aantal verstrooiingseenheden voor elk structureel niveau te verkrijgen. De lengte van het plateau wordt gecontroleerd door de waarde van f. De machtswet-afnames die het plateau omringen, worden verkregen door de schaalfactoren constant te houden voor een eindig aantal iteraties, in ons geval, als voorbeeld, voor drie van in totaal zes. De helling van de tweede machtswet-afname is hoger omdat de waarden van schaalfactoren, per definitie, toenemen bij elk structureel niveau, en dit wordt bevestigd door onze numerieke berekeningen, zoals te zien in Figs. 2, 3, en 4.

We hebben ook het polydisperse geval van het vet-fractaalmodel beschreven. Hier gehoorzamen de groottes van de samenstellende eenheden, als voorbeeld, een log-normale verdelingsfunctie. We verkregen gegladde curven voor de verstrooiingsintensiteiten en structuurfactoren. De monodisperse verstrooiingscurves evenals de polydisperse, met kleine genoeg waarden van de relatieve variantie, stellen in staat de schaalfactoren op elk structureel niveau te verkrijgen, terwijl de verstrooiingsexponenten in de polydisperse curve de fractale dimensies op elk structureel niveau geven. De gekozen waarde van 0,4 voor de relatieve variantie is bedoeld om het geval te illustreren waarin men nog enkele minima in de verstrooiingskenmerken kan observeren, en de curves nog een vorm behouden dicht bij machtswet-afnames.

De resultaten verkregen in het kader van het voorgestelde model kunnen gebruikt worden om structurele eigenschappen van fractale materialen onthullen gekenmerkt door een regelmatige wet van veranderende fractale dimensies. Het voorgestelde model is ook een zeer veelzijdig model omdat het uitgebreid kan worden om andere kenmerken te omvatten zoals verschillende vormen van de elementaire eenheid, meer dan twee structurele niveaus, of het kan aangepast worden om in andere Euclidische dimensies te werken. Deze resultaten zijn nuttig voor een gedetailleerde beschrijving van experimentele diffractiedata in de context van kleine-hoekverstrooiing verkregen van diverse complexe nano- en micro-geschaalde hiërarchische structuren.

Bijlage

Fractale dimensie

Massa- en, respectievelijk, oppervlakte-fractale dimensies zijn waarschijnlijk de belangrijkste hoeveelheden die een fractaal karakteriseren. Eigenlijk zullen we alleen omgaan met deterministische massa-fractalen, en we zullen verwijzen naar massa-fractale dimensie, simpelweg als de fractale dimensie (D _m).

In algemene termen, kan de massa-straal relatie herschreven worden als [2]:

$$ M(r) = A(r) r^{D_{\mathrm{m}}}, $$ (29)

waarbij de schaalwet-correctie A(r) neigt tot een constante waarde als r→∞.

Als het van tevoren bekend is dat de structuur een fractaal is in de hoge-aantal limiet, kan de fractale dimensie rechtstreeks uit de eerste iteratie gevonden worden. Om deze procedure te illustreren, laten we een fractaal van grootte l ₀ overwegen, samengesteld uit k elementaire eenheden bij de eerste iteratie, elk van grootte β _s l ₀, waar β _s een schaalfactor is. Aangezien de massa-straal relatie, gegeven door Verg. (29), equivalent is met de schaal-invariantie relatie [2]:

$$ M(\beta_{\mathrm{s}}l_{0}) = \beta_{\mathrm{s}}^{D_{\mathrm{m}}}M(l_{0}), $$ (30)

kan men schrijven M(l ₀)=kM(β _s l ₀). Met Verg. (29), verkrijgt men een directe methode om de fractale dimensie te berekenen, via:

$$ k \beta_{\mathrm{s}}^{D_{\mathrm{m}}} = 1. $$ (31)

Fraunhofer diffractie en de array-theorem

Laten we een tweedimensionale diffractie-opening Σ overwegen, gelegen in het (x,y) vlak, belicht in de positieve z richting. In een waarnemingsvlak (u,v), parallel aan Σ, kan de complexe-gewarde amplitude van het verkregen diffractiebeeld, berekend met het framework van de scalaire theorie van diffractie, volgens het Huygens-Fresnel-principe, geschreven worden als [41]:

$$ A(u,v) = \frac{z}{i\lambda} \iint\limits_{\Sigma} A(x,y)\frac{e^{ikr}}{r^{2}} \mathrm{d} x\,\mathrm{d} y. $$ (32)

In de vorige formule, $r = \sqrt {z^{2}+(u-x)^{2}+(v-y)^{2}}$ is de afstand tussen twee willekeurige punten genomen, respectievelijk, vanuit het vlak bevattend Σ en vanuit het waarnemingsvlak. Voor het Fraunhofer-diffractiemodel toepasbaar te zijn, moet deze afstand voldoen aan de voorwaarde veel groter te zijn dan de golflengte λ.

Het uitvoeren van een binomiale uitbreiding van de wortel in Verg. (32) en het behouden van alleen de eerste twee termen, verkrijgt men [41]:

$$ r \approx z\left(1 + \frac{(u-x)^{2}}{2z^{2}} + \frac{(v-y)^{2}}{2z^{2}}\right). $$ (33)

Deze benadering leidt tot het Fresnel-diffractie-integraal:

$$ \frac{A(u,v)}{P(u,v)} = \iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} \left\{A(x,y) e^{i\frac{k}{2z}(x^{2} + y^{2})}\right\} e^{-i \frac{2\pi}{\lambda z}(ux + vy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y, $$ (34)

waarbij de prefactor P(u,v) gegeven is door

$$ P(u,v) = \frac{e^{ikz}e^{i\frac{k}{2z}(u^{2}+v^{2})}}{i\lambda z}, $$ (35)

en k=2π/λ. Overwegend, in toevoeging, dat de voorwaarde z≫k Max(x ²+y ²)/2 voldaan is, heeft men $\text {Exp}{\left (\frac {k}{2z}(x^{2}+y^{2})\right)} \simeq 1$. Herscrijven van Verg. (34), de Fraunhofer-benadering wordt:

$$ A(u,v) = P(u,v)\iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} A(x,y) e^{-i \frac{2\pi}{\lambda z}(ux + vy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (36)

De ruimtelijke frequenties aanduidend met p=u/(λ z) en s=v/(λ z) en de multiplicatieve fasefactor P(u,v) voorafgaand aan het integraal in Verg. (36) negerend, wordt de amplitude simpelweg de Fourier-transformatie van de verdeling van de Σ opening. Overwegend dat de belichting gemaakt wordt met een monochromatische, eenheids-amplitude vlakke golf, bij normale incidentie, en dat de veldverdeling over de opening gelijk is aan zijn transmissiefunctie T(x,y), verkrijgt men de frequentieverdeling van de diffractie-amplitude in de faseruimte:

$$ A(p,s) = \iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi (px + sy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (37)

Optimalisatie van dip-coating parameters voor hoogpresterende drie-toestands electrochrome apparaten Lage-kost batch-fabricatie van breedband metaal planar microlenzen via nanofeer-lithografie en fotolithografie

Nanomaterialen

Metaal

Hars

vezel

Samengesteld materiaal