Vierkante golfsignalen

Er is gevonden dat elke herhalende, niet-sinusvormige golfvorm kan worden gelijkgesteld aan een combinatie van gelijkspanning, sinusgolven en/of cosinusgolven (sinusgolven met een faseverschuiving van 90 graden) met verschillende amplituden en frequenties.

Dit is waar, hoe vreemd of ingewikkeld de golfvorm in kwestie ook is. Zolang het zichzelf in de loop van de tijd regelmatig herhaalt, is het te herleiden tot deze reeks sinusoïdale golven.

In het bijzonder is gevonden dat blokgolven wiskundig equivalent zijn aan de som van een sinusgolf met dezelfde frequentie, plus een oneindige reeks sinusgolven met oneven frequenties met afnemende amplitude:

Deze waarheid over golfvormen lijkt in eerste instantie misschien te vreemd om te geloven. Als een blokgolf echter in feite een oneindige reeks sinusgolfharmonischen bij elkaar opgeteld is, ligt het voor de hand dat we dit zouden moeten kunnen bewijzen door verschillende sinusgolfharmonischen bij elkaar op te tellen om een ​​nauwkeurige benadering van een blokgolf te produceren.

Deze redenering is niet alleen goed, maar ook eenvoudig te demonstreren met SPICE.

Het circuit dat we gaan simuleren is niets meer dan verschillende sinusgolf wisselspanningsbronnen met de juiste amplitudes en frequenties die in serie met elkaar zijn verbonden. We zullen SPICE gebruiken om de spanningsgolfvormen over opeenvolgende toevoegingen van spanningsbronnen te plotten, zoals deze:

Een blokgolf wordt benaderd door de som van harmonischen.

In deze specifieke SPICE-simulatie heb ik de 1e, 3e, 5e, 7e en 9e harmonische spanningsbronnen in serie opgeteld voor een totaal van vijf wisselspanningsbronnen. De grondfrequentie is 50 Hz en elke harmonische is natuurlijk een geheel veelvoud van die frequentie.

De amplitude (voltage) cijfers zijn geen willekeurige getallen; ze zijn eerder tot stand gekomen door middel van de vergelijkingen die worden getoond in de frequentiereeks (de breuk 4/π vermenigvuldigd met 1, 1/3, 1/5, 1/7, enz. voor elk van de toenemende oneven harmonischen).

een blokgolf bouwen v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1e harmonische (50 Hz) v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3e harmonische v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5e harmonische v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7e harmonische v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9e harmonische r1 5 0 10k .tran 1m 20m .plot tran v(1,0) Plot 1e harmonische .plot tran v(2,0) Plot 1e + 3e harmonischen .plot tran v(3,0) Plot 1e + 3e + 5e harmonischen .plot tran v(4,0) Plot 1e + 3e + 5e + 7e harmonischen .plot tran v(5,0) Perceel 1e + . . . + 9e harmonischen .einde 

Ik zal de analyse vanaf hier stap voor stap vertellen en uitleggen waar we naar kijken. In deze eerste grafiek zien we alleen de sinusgolf met de grondfrequentie van 50 Hz. Het is niets anders dan een zuivere sinusvorm, zonder extra harmonische inhoud. Dit is het soort golfvorm dat wordt geproduceerd door een ideale wisselstroombron:

Pure sinusgolf van 50 Hz.

Vervolgens zien we wat er gebeurt als deze zuivere en eenvoudige golfvorm wordt gecombineerd met de derde harmonische (driemaal 50 Hz of 150 Hz). Plots lijkt het niet meer op een zuivere sinusgolf:

De som van de 1e (50 Hz) en 3e (150 Hz) harmonischen benadert een blokgolf van 50 Hz.

De stijg- en daaltijden tussen positieve en negatieve cycli zijn nu veel steiler en de toppen van de golf zijn dichter bij het vlak worden als een blokgolf. Kijk wat er gebeurt als we de volgende oneven harmonische frequentie toevoegen:

De som van de 1e, 3e en 5e harmonischen benadert de blokgolf.

De meest opvallende verandering hier is hoe de toppen van de golf nog meer zijn afgeplat. Er zijn meer verschillende dalen en toppen aan elk uiteinde van de golf, maar die dalen en toppen zijn kleiner in amplitude dan voorheen. Kijk opnieuw terwijl we de volgende oneven harmonische golfvorm aan de mix toevoegen:

De som van de 1e, 3e, 5e en 7e harmonischen benadert de blokgolf.

Hier zien we de golf op elke piek vlakker worden. Als we ten slotte de 9e harmonische toevoegen, de vijfde sinusgolfspanningsbron in ons circuit, krijgen we dit resultaat:

De som van de 1e, 3e, 5e, 7e en 9e harmonischen benadert de blokgolf.

Het eindresultaat van het bij elkaar optellen van de eerste vijf oneven harmonische golfvormen (uiteraard allemaal met de juiste amplitudes) is een goede benadering van een blokgolf. Het gaat erom te illustreren hoe we een blokgolf kunnen opbouwen uit meerdere sinusgolven met verschillende frequenties, om te bewijzen dat een zuivere blokgolf eigenlijk gelijk is aan een reeks van sinusgolven.

Wanneer een blokgolfwisselspanning wordt toegepast op een circuit met reactieve componenten (condensatoren en inductoren), reageren die componenten alsof ze worden blootgesteld aan verschillende sinusgolfspanningen met verschillende frequenties, wat in feite het geval is.

Het feit dat herhalende, niet-sinusvormige golven gelijk zijn aan een bepaalde reeks additieve gelijkspanning, sinusgolven en/of cosinusgolven is een gevolg van hoe golven werken:een fundamentele eigenschap van alle golfgerelateerde verschijnselen, elektrisch of anderszins.

Het wiskundige proces van het reduceren van een niet-sinusvormige golf tot deze samenstellende frequenties wordt Fourier-analyse genoemd. , waarvan de details het bestek van deze tekst ver te buiten gaan. Er zijn echter computeralgoritmen ontwikkeld om deze analyse met hoge snelheden op echte golfvormen uit te voeren, en de toepassing ervan in AC-stroomkwaliteit en signaalanalyse is wijdverbreid.

SPICE heeft de mogelijkheid om een ​​golfvorm te samplen en deze te reduceren tot zijn samenstellende sinusgolfharmonischen door middel van een Fourier-transformatie algoritme, waarbij de frequentieanalyse wordt uitgevoerd als een tabel met getallen. Laten we dit proberen op een blokgolf, waarvan we al weten dat deze is samengesteld uit oneven-harmonische sinusgolven:

blokgolf analyse netlijst v1 1 0 puls (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .tran 1m 40m .plot tran v(1,0) .vier 50 v(1,0) .einde 

De puls optie in de netlijstregel die spanningsbron beschrijft v1 geeft SPICE de opdracht om een ​​vierkante "puls" -golfvorm te simuleren, in dit geval een die symmetrisch is (gelijke tijd voor elke halve cyclus) en een piekamplitude van 1 volt heeft. Eerst plotten we de te analyseren blokgolf:

Squarewave voor SPICE Fourier-analyse

Vervolgens zullen we de Fourier-analyse afdrukken die door SPICE is gegenereerd voor deze blokgolf:

fourier componenten van voorbijgaande respons v(1) gelijkstroomcomponent =-2.439E-02 harmonische frequentie fourier genormaliseerd fase genormaliseerd geen (hz) component component (deg) fase (deg) 1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000 2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195 3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390 4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585 5 2.500E+02 2.562E-01 0.2179 -10.976 -8.780 6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976 7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171 8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366 9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561 totale harmonische vervorming =43.805747 procent 

Perceel van Fourier-analyseresultaten.

Hier (figuur hierboven) heeft SPICE de golfvorm afgebroken tot een spectrum van sinusvormige frequenties tot de negende harmonische, plus een kleine gelijkspanning met het label DC-component .

Ik moest SPICE informeren over de grondfrequentie (voor een blokgolf met een periode van 20 milliseconden is deze frequentie 50 Hz), dus het wist hoe de harmonischen moesten worden geclassificeerd. Merk op hoe klein de cijfers zijn voor alle even harmonischen (2e, 4e, 6e, 8e), en hoe de amplituden van de oneven harmonischen afnemen (1e is het grootst, 9e is het kleinst).

Dezelfde techniek van "Fourier-transformatie" wordt vaak gebruikt in geautomatiseerde vermogensinstrumentatie, waarbij de AC-golfvorm(en) worden gesampled en de harmonische inhoud daarvan wordt bepaald. Een veelgebruikt computeralgoritme (volgorde van programmastappen om een ​​taak uit te voeren) hiervoor is de Fast Fourier Transform of FFT functie.

U hoeft zich niet druk te maken over hoe deze computerroutines precies werken, maar wees u bewust van het bestaan ​​en de toepassing ervan.

Dezelfde wiskundige techniek die in SPICE wordt gebruikt om de harmonische inhoud van golven te analyseren, kan worden toegepast op de technische analyse van muziek:het opsplitsen van een bepaald geluid in de samenstellende sinusgolffrequenties.

In feite heb je misschien al een apparaat gezien dat is ontworpen om precies dat te doen zonder te beseffen wat het was! Een grafische equalizer is een stuk high-fidelity stereo-apparatuur die de aard van de harmonische inhoud van muziek regelt (en soms weergeeft).

Uitgerust met verschillende knoppen of schuifhendels, is de equalizer in staat om selectief de amplitude van bepaalde frequenties die in muziek aanwezig zijn te dempen (verminderen), om het geluid te "aanpassen" in het voordeel van de luisteraar. Meestal is er een "staafdiagram" naast elke bedieningshendel, die de amplitude van elke specifieke frequentie weergeeft.

Hi-Fi audio grafische equalizer.

Een apparaat dat uitsluitend is gebouwd om de amplitudes van elk frequentiebereik voor een signaal met een gemengde frequentie weer te geven, niet om te controleren, wordt doorgaans een spectrumanalysator genoemd. .

Het ontwerp van spectrumanalysatoren kan zo eenvoudig zijn als een set "filter"-circuits (zie het volgende hoofdstuk voor details) die zijn ontworpen om de verschillende frequenties van elkaar te scheiden, of zo complex als een speciale digitale computer met een FFT-algoritme om splits het signaal wiskundig in zijn harmonische componenten.

Spectrumanalyzers zijn vaak ontworpen om extreem hoogfrequente signalen te analyseren, zoals die worden geproduceerd door radiozenders en computernetwerkhardware. In die vorm zien ze er vaak uit als een oscilloscoop:

Spectrumanalysator geeft amplitude weer als een functie van frequentie.

Net als een oscilloscoop gebruikt de spectrumanalysator een CRT (of een computerscherm dat een CRT nabootst) om een ​​plot van het signaal weer te geven.

In tegenstelling tot een oscilloscoop is deze grafiek amplitude over frequentie in plaats van amplitude over tijd . In wezen geeft een frequentieanalysator de operator een Bode-plot van het signaal:iets wat een ingenieur een frequentiedomein zou kunnen noemen in plaats van een tijddomein analyse.

De term 'domein' is wiskundig:een verfijnd woord om de horizontale as van een grafiek te beschrijven. Zo is de plot van amplitude (verticaal) in de tijd (horizontaal) van een oscilloscoop een "tijddomein" -analyse, terwijl de plot van amplitude (verticaal) over frequentie (horizontaal) van een spectrumanalysator een "frequentiedomein" -analyse is.

Wanneer we SPICE gebruiken om de signaalamplitude (spannings- of stroomamplitude) over een reeks frequenties uit te zetten, voeren we frequentiedomein uit analyse.

Houd er rekening mee dat de Fourier-analyse van de laatste SPICE-simulatie niet "perfect" is. Idealiter zouden de amplitudes van alle even harmonischen absoluut nul moeten zijn, en dat geldt ook voor de gelijkstroomcomponent. Nogmaals, dit is niet zozeer een eigenaardigheid van SPICE, maar een eigenschap van golfvormen in het algemeen.

Een golfvorm van oneindige duur (oneindig aantal cycli) kan met absolute precisie worden geanalyseerd, maar hoe minder cycli beschikbaar zijn voor de computer voor analyse, hoe minder nauwkeurig de analyse. Alleen wanneer we een vergelijking hebben die een golfvorm in zijn geheel beschrijft, kan Fourier-analyse deze reduceren tot een welomlijnde reeks sinusoïdale golfvormen.

Hoe minder keer een golf cycli, hoe minder zeker de frequentie is. Om dit concept tot zijn logische uiterste door te voeren:een korte puls - een golfvorm die niet eens een cyclus voltooit - heeft in feite geen frequentie , maar fungeert eerder als een oneindig aantal frequenties. Dit principe geldt voor alle op golven gebaseerde fenomenen, niet alleen wisselspanningen en -stromen.

Het volstaat te zeggen dat het aantal cycli en de zekerheid van de frequentiecomponent(en) van een golfvorm direct gerelateerd zijn.

We zouden de precisie van onze analyse hier kunnen verbeteren door de golf vele cycli heen en weer te laten oscilleren, en het resultaat zou een spectrumanalyse zijn die meer in overeenstemming is met het ideaal. In de volgende analyse heb ik de golfvormplot weggelaten omwille van de beknoptheid - het is gewoon een heel lange blokgolf:

blokgolf v1 1 0 puls (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .optie limpt =1001 .tran 1m 1 .plot tran v(1,0) .vier 50 v(1,0) .einde fouriercomponenten van voorbijgaande respons v (1) gelijkstroomcomponent =9.999E-03 harmonische frequentie fourier genormaliseerd fase genormaliseerd geen (hz) component component (deg) fase (deg) 1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000 2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182 3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600 4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564 5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200 6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946 7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800 8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329 9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399 

Verbeterde fourieranalyse.

Merk op hoe deze analyse (Figuur hierboven) minder van een DC-componentspanning en lagere amplitudes laat zien voor elk van de sinusgolven met even harmonische frequentie, allemaal omdat we de computer meer cycli van de golf hebben laten samplen. Nogmaals, de onnauwkeurigheid van de eerste analyse is niet zozeer een fout in SPICE, maar een fundamentele eigenschap van golven en signaalanalyse.

BEOORDELING:

• Vierkante golven zijn gelijk aan een sinusgolf met dezelfde (fundamentele) frequentie toegevoegd aan een oneindige reeks van oneven-veelvoud sinusgolfharmonischen met afnemende amplitudes.
• Er bestaan ​​computeralgoritmen die golfvormen kunnen bemonsteren en hun samenstellende sinusoïdale componenten kunnen bepalen. De Fourier-transformatie algoritme (met name de Fast Fourier Transform , of FFT ) wordt vaak gebruikt in computercircuitsimulatieprogramma's zoals SPICE en in elektronische meetapparatuur voor het bepalen van de stroomkwaliteit.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad vierkante golfsignalen