Serie-parallel R, L en C

Nu we hebben gezien hoe serie- en parallelle AC-circuitanalyse niet fundamenteel anders is dan DC-circuitanalyse, zou het geen verrassing moeten zijn dat serie-parallelle analyse ook hetzelfde zou zijn, alleen complexe getallen gebruiken in plaats van een scalair om weer te geven spanning, stroom en impedantie. Neem bijvoorbeeld deze serie-parallelle schakeling:

Voorbeeld serie-parallel R-, L- en C-circuit.

De eerste taak is, zoals gebruikelijk, het bepalen van de impedantiewaarden (Z) voor alle componenten op basis van de frequentie van de wisselstroombron. Om dit te doen, moeten we eerst de waarden van reactantie (X) voor alle inductoren en condensatoren bepalen, en vervolgens reactantie (X) en weerstand (R) omzetten in de juiste impedantie (Z)-vorm:

Nu kunnen we de beginwaarden in onze tabel instellen:

Een serie-parallelle combinatie zijn circuit, moeten we het in meer dan één stap terugbrengen tot een totale impedantie. De eerste stap is om L en C₂ . te combineren als een reekscombinatie van impedanties, door hun impedanties bij elkaar op te tellen.

Vervolgens wordt die impedantie parallel gecombineerd met de impedantie van de weerstand, om tot een andere combinatie van impedanties te komen. Ten slotte wordt die hoeveelheid toegevoegd aan de impedantie van C₁ om tot de totale impedantie te komen.

Om ervoor te zorgen dat onze tabel al deze stappen kan volgen, moeten er extra kolommen aan worden toegevoegd zodat elke stap kan worden weergegeven.

Het zou om opmaakredenen onpraktisch zijn om meer kolommen horizontaal aan de bovenstaande tabel toe te voegen, dus ik zal er een nieuwe rij kolommen onder plaatsen, waarbij elke kolom wordt aangeduid door zijn respectievelijke componentencombinatie:

Het berekenen van deze nieuwe (combinatie)impedanties vereist complexe optelling voor seriecombinaties en de "reciproke" formule voor complexe impedanties parallel. Deze keer is er geen ontkomen aan van de wederkerige formule:de benodigde cijfers kunnen op geen enkele andere manier komen!

Aangezien onze tweede tabel een kolom voor "Totaal" bevat, kunnen we die kolom veilig uit de eerste tabel verwijderen. Dit geeft ons een tabel met vier kolommen en een andere tabel met drie kolommen.

Nu we de totale impedantie (818,34 Ω -5 -58,371°) en de totale spanning (120 volt ∠ 0°) kennen, kunnen we de wet van Ohm (I=E/Z) verticaal toepassen in de kolom “Totaal” om tot een cijfer voor totale stroom:

Op dit punt stellen we onszelf de vraag:zijn er componenten of componentcombinaties die de totale spanning of de totale stroom delen? In dit geval zijn beide C₁ en de parallelle combinatie R//(L—C₂ ) delen dezelfde (totale) stroom, aangezien de totale impedantie is samengesteld uit de twee sets impedanties in serie.

We kunnen het getal voor de totale stroom dus naar beide kolommen overbrengen:

Nu kunnen we spanningsdalingen over C₁ . berekenen en de serie-parallelle combinatie van R//(L—C₂ ) met behulp van de wet van Ohm (E=IZ) verticaal in die tabelkolommen:

Een snelle dubbele controle van ons werk op dit punt zou zijn om te zien of de spanning al dan niet daalt over C₁ en de serie-parallelle combinatie van R//(L—C₂ ) inderdaad optellen tot het totaal. Volgens de spanningswet van Kirchhoff zouden ze dat wel moeten doen!

Die laatste stap was slechts een voorzorgsmaatregel. Bij een probleem met zoveel stappen als dit is er veel kans op fouten. Zo nu en dan dergelijke kruiscontroles kunnen een persoon veel werk en onnodige frustratie besparen door problemen te identificeren voorafgaand aan de laatste stap van het probleem.

Opgelost voor spanningsdalingen over C₁ en de combinatie R//(L—C₂ ), stellen we onszelf opnieuw de vraag:welke andere componenten delen dezelfde spanning of stroom?

In dit geval de weerstand (R) en de combinatie van de spoel en de tweede condensator (L—C₂ ) delen dezelfde spanning, omdat die sets impedanties parallel aan elkaar staan. Daarom kunnen we het zojuist opgeloste spanningscijfer overbrengen naar de kolommen voor R en L—C₂ :

Nu zijn we helemaal klaar voor het berekenen van de stroom door de weerstand en door de seriecombinatie L-C₂ . Het enige wat we hoeven te doen is de wet van Ohm (I=E/Z) verticaal toepassen in beide kolommen:

Een andere snelle dubbele controle van ons werk op dit punt zou zijn om te zien of de huidige cijfers voor L—C₂ en R optellen tot de totale stroom. Volgens de huidige wet van Kirchhoff moeten ze:

Sinds de L en C₂ zijn in serie geschakeld, en aangezien we de stroom kennen via hun seriecombinatie-impedantie, kunnen we dat stroomcijfer verdelen over de L en C₂ kolommen volgens de regel van serieschakelingen waarbij seriecomponenten dezelfde stroom delen:

Met een laatste stap (eigenlijk twee berekeningen) kunnen we onze analysetabel voor dit circuit voltooien. Met impedantie- en stroomwaarden voor L en C₂ , het enige wat we hoeven te doen is de wet van Ohm (E=IZ) verticaal toepassen in die twee kolommen om spanningsdalingen te berekenen.

Laten we nu naar SPICE gaan voor een computerverificatie van ons werk:

Voorbeeld serie-parallel R, L, C SPICE-circuit.

 ac serie-parallel r-l-c circuit v1 1 0 ac 120 sin vit 1 2 ac 0 vilc 3 4 ac 0 vir 3 6 ac 0 c1 2 3 4.7u l 4 5 650m c2 5 0 1.5u r 6 0 470 .ac lin 1 60 60 .print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) .print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) .print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc) .print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir) .einde 

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1 6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01 

freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L 6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02 

freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2 6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02 

freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R 6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01 

Elke regel van de SPICE-uitgangslijst geeft de spanning, spanningsfasehoek, stroom en huidige fasehoek voor C₁ , L, C₂ , en R, in die volgorde. Zoals u kunt zien, komen deze cijfers overeen met onze met de hand berekende cijfers in de circuitanalysetabel.

Hoe ontmoedigend een taak ook lijkt als serie-parallelle AC-circuitanalyse, het moet worden benadrukt dat er hier niets echt nieuws aan de hand is behalve het gebruik van complexe getallen. De wet van Ohm (in zijn nieuwe vorm van E=IZ) geldt nog steeds, net als de spannings- en stroomwetten van Kirchhoff.

Hoewel er meer kans is op menselijke fouten bij het uitvoeren van de noodzakelijke complexe getalberekeningen, zijn de basisprincipes en technieken van serie-parallelle circuitreductie precies hetzelfde.

BEOORDELING:

• De analyse van serie-parallelle AC-circuits is vrijwel hetzelfde als serie-parallelle DC-circuits. Het enige inhoudelijke verschil is dat alle cijfers en berekeningen in complexe (niet scalaire) vorm zijn.
• Het is belangrijk om te onthouden dat voordat serie-parallelle reductie (vereenvoudiging) kan beginnen, je de impedantie (Z) van elke weerstand, spoel en condensator moet bepalen. Op die manier worden alle componentwaarden uitgedrukt in algemene termen (Z) in plaats van een incompatibele mix van weerstand (R), inductantie (L) en capaciteit (C).

GERELATEERD WERKBLAD:

• Werkblad serie-parallelle combinatie AC-circuits