Voorbeelden van circuitvereenvoudiging

Laten we beginnen met een halfgeleiderpoortcircuit dat moet worden vereenvoudigd.

Er wordt aangenomen dat de ingangssignalen "A", "B" en "C" afkomstig zijn van schakelaars, sensoren of misschien andere poortcircuits.

Waar deze signalen vandaan komen is van geen belang bij de taak van poortreductie.

Een booleaanse uitdrukking schrijven om circuits te vereenvoudigen

Onze eerste stap in vereenvoudiging moet zijn om een ​​Booleaanse uitdrukking voor dit circuit te schrijven.

Deze taak kan gemakkelijk stap voor stap worden uitgevoerd als we beginnen met het schrijven van subuitdrukkingen aan de uitgang van elke poort, overeenkomend met de respectieve ingangssignalen voor elke poort.

Onthoud dat OF-poorten gelijk zijn aan Booleaanse optelling, terwijl EN-poorten gelijk zijn aan Booleaanse vermenigvuldiging.

Ik schrijf bijvoorbeeld sub-expressies aan de uitgangen van de eerste drie poorten:

. . . dan een andere sub-expressie voor de volgende poort:

Ten slotte wordt de output (“Q”) gezien als gelijk aan de uitdrukking AB + BC(B + C):

Nu we een Booleaanse uitdrukking hebben om mee te werken, moeten we de regels van de Booleaanse algebra toepassen om de uitdrukking terug te brengen tot de eenvoudigste vorm (het eenvoudigst gedefinieerd als de minste poorten om te implementeren):

De laatste uitdrukking, B(A + C), is veel eenvoudiger dan het origineel, maar vervult dezelfde functie.

Als u dit wilt verifiëren, kunt u voor beide uitdrukkingen een waarheidstabel genereren en de status van Q (de uitvoer van de circuits) bepalen voor alle acht logische toestandscombinaties van A, B en C voor beide circuits. De twee waarheidstabellen moeten identiek zijn.

Schematische diagrammen genereren op basis van Booleaanse uitdrukkingen

Nu moeten we een schematisch diagram maken van deze Booleaanse uitdrukking.

Om dit te doen, evalueert u de uitdrukking, volgens de juiste wiskundige volgorde van bewerkingen (vermenigvuldigen vóór optellen, bewerkingen tussen haakjes voor iets anders), en tekent u poorten voor elke stap.

Onthoud nogmaals dat OF-poorten gelijk zijn aan Booleaanse optelling, terwijl EN-poorten gelijk zijn aan Booleaanse vermenigvuldiging.

In dit geval zouden we beginnen met de subexpressie "A + C", wat een OF-poort is:

De volgende stap bij het evalueren van de uitdrukking "B(A + C)" is het vermenigvuldigen (EN-poort) van het signaal B met de uitvoer van de vorige poort (A + C):

Het is duidelijk dat dit circuit veel eenvoudiger is dan het origineel, met slechts twee logische poorten in plaats van vijf.

Een dergelijke componentreductie resulteert in een hogere werksnelheid (minder vertragingstijd van ingangssignaalovergang naar uitgangssignaalovergang), minder stroomverbruik, lagere kosten en grotere betrouwbaarheid.

Booleaanse vereenvoudiging gebruiken voor elektromechanische relaiscircuits

Elektromechanische relaiscircuits, die doorgaans langzamer zijn, meer elektrisch vermogen verbruiken om te werken, meer kosten en een kortere gemiddelde levensduur hebben dan hun halfgeleider-tegenhangers, profiteren enorm van Booleaanse vereenvoudiging. Laten we een voorbeeldschakeling bekijken:

Zoals eerder, moet onze eerste stap om dit circuit terug te brengen tot zijn eenvoudigste vorm zijn om een ​​Booleaanse uitdrukking uit het schema te ontwikkelen.

De gemakkelijkste manier die ik heb gevonden om dit te doen, is door dezelfde stappen te volgen die ik normaal zou volgen om een ​​serie-parallel weerstandsnetwerk te reduceren tot een enkele, totale weerstand.

Bekijk bijvoorbeeld het volgende weerstandsnetwerk met zijn weerstanden gerangschikt in hetzelfde verbindingspatroon als de relaiscontacten in het vorige circuit, en de bijbehorende totale weerstandsformule:

In de bovenstaande afbeelding wordt een lang streepje (-) gebruikt om de serieschakeling van weerstanden weer te geven.

Onthoud dat parallelle contacten gelijk zijn aan Booleaanse optelling, terwijl seriecontacten gelijk zijn aan Booleaanse vermenigvuldiging.

Schrijf een Booleaanse uitdrukking voor dit relaiscontactcircuit, volgens dezelfde prioriteitsvolgorde die u zou volgen bij het reduceren van een serie-parallel weerstandsnetwerk tot een totale weerstand.

Het kan handig zijn om een ​​Booleaanse sub-uitdrukking links van elke ladder "sport" te schrijven, om het schrijven van uitdrukkingen te helpen organiseren:

Nu we een Booleaanse uitdrukking hebben om mee te werken, moeten we de regels van de Booleaanse algebra toepassen om de uitdrukking terug te brengen tot de eenvoudigste vorm (het eenvoudigst gedefinieerd als het vereisen van de minste relaiscontacten om te implementeren):

De meer wiskundig ingestelde personen moeten kunnen zien dat de twee stappen die de regel "A + AB =A" gebruiken, kunnen worden gecombineerd tot een enkele stap, waarbij de regel kan worden uitgebreid tot:"A + AB + AC + AD + . . . =EEN”

Zoals u kunt zien, is het gereduceerde circuit veel eenvoudiger dan het origineel, maar vervult het dezelfde logische functie:

BEOORDELING:

• Om een ​​poortcircuit om te zetten in een Booleaanse uitdrukking, labelt u elke poortuitgang met een Booleaanse subuitdrukking die overeenkomt met de ingangssignalen van de poorten, totdat een definitieve uitdrukking wordt bereikt bij de laatste poort.
• Om een ​​Booleaanse uitdrukking om te zetten in een poortcircuit, moet u de uitdrukking evalueren met behulp van de standaardvolgorde van bewerkingen:vermenigvuldigen vóór optellen en bewerkingen tussen haakjes vóór iets anders.
• Om een ​​ladderlogica-circuit om te zetten in een Booleaanse uitdrukking, labelt u elke sport met een Booleaanse subuitdrukking die overeenkomt met de ingangssignalen van de contacten, totdat een definitieve uitdrukking wordt bereikt bij de laatste spoel of lamp. Om de juiste volgorde van evaluatie te bepalen, moet u de contacten behandelen alsof het weerstanden zijn en alsof u de totale weerstand van het serie-parallelle netwerk dat door hen wordt gevormd, bepaalt. Met andere woorden, zoek naar contacten die ofwel direct . zijn in serie of direct eerst parallel met elkaar, en vervolgens "samenvouwen" tot equivalente Booleaanse subexpressies voordat u doorgaat naar andere contacten.
• Om een ​​Booleaanse uitdrukking om te zetten in een logisch laddercircuit, evalueert u de uitdrukking met behulp van de standaardvolgorde van bewerkingen:vermenigvuldigen vóór optellen en bewerkingen tussen haakjes vóór iets anders.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad Product-van-Sommen-uitdrukkingen
• Booleaanse algebra-werkblad