Numeratiesystemen

Romeinse cijfers

De Romeinen bedachten een systeem dat een aanzienlijke verbetering was ten opzichte van hekjes, omdat het een verscheidenheid aan symbolen (of cijfers) gebruikte. ) om steeds grotere hoeveelheden weer te geven.

De notatie voor 1 is de hoofdletter I. De notatie voor 5 is de hoofdletter V. Andere cijfers hebben toenemende waarden:

X =10 L =50 C =100 D =500 M =1000 

Als een cijfer vergezeld gaat van een ander cijfer van gelijke of lagere waarde direct rechts ervan, zonder cijfers groter dan dat andere cijfer rechts van dat andere cijfer, wordt de waarde van dat andere cijfer opgeteld bij de totale hoeveelheid.

Dus VIII symboliseert het getal 8 en CLVII symboliseert het getal 157. Aan de andere kant, als een cijfer vergezeld gaat van een ander cijfer van mindere waarde direct links, wordt de waarde van dat andere cijfer afgetrokken van de eerste. Daarom symboliseert IV het getal 4 (V minus I), en CM symboliseert het getal 900 (M minus C).

Het is je misschien opgevallen dat het einde van de aftiteling voor de meeste films een vermelding bevat voor de productiedatum, in Romeinse cijfers. Voor het jaar 1987 zou het luiden:MCMLXXXVII. Laten we dit getal opsplitsen in zijn samenstellende delen, van links naar rechts:

M =1000 + CM =900 + L =50 + XXX =30 + V =5 + II =2 

Ben je niet blij dat we dit nummeringsysteem niet gebruiken? Grote getallen zijn op deze manier erg moeilijk aan te duiden, en links versus rechts / aftrekken versus optellen van waarden kan ook erg verwarrend zijn.

Een ander groot probleem met dit systeem is dat er geen voorziening is om het getal nul of negatieve getallen weer te geven, beide zeer belangrijke concepten in de wiskunde.

De Romeinse cultuur was echter pragmatischer met betrekking tot wiskunde dan de meeste, en koos ervoor om hun nummeringssysteem alleen te ontwikkelen voor zover dit nodig was voor gebruik in het dagelijks leven.

Plaats Waarde

We hebben een van de belangrijkste ideeën in nummering te danken aan de oude Babyloniërs, die de eersten waren (voor zover we weten) die het concept van cijferpositie of plaatswaarde ontwikkelden om grotere getallen weer te geven.

In plaats van nieuwe cijfers uit te vinden om grotere getallen weer te geven, zoals de Romeinen deden, gebruikten ze dezelfde cijfers opnieuw en plaatsten ze van rechts naar links in verschillende posities.

Ons eigen decimale nummeringssysteem gebruikt dit concept, met slechts tien cijfers (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9) die worden gebruikt in "gewogen" posities om zeer grote en zeer kleine getallen weer te geven.

Elk cijfer vertegenwoordigt een geheel getal, en elke plaats van rechts naar links in de notatie vertegenwoordigt een vermenigvuldigingsconstante, of gewicht , voor elk geheel getal.

Als we bijvoorbeeld de decimale notatie "1206" zien, weten we dat dit als zodanig kan worden opgesplitst in de samenstellende gewichtsproducten:

1206 =1000 + 200 + 6 1206 =(1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) 

Elk cijfer heet een cijfer in het decimale nummeringssysteem, en elk gewicht, of plaatswaarde, is tien keer die van die direct rechts.

Dus we hebben een enen plaats, een tiental, een honderden plaats, duizend plaatsen, enzovoort, werkend van rechts naar links.

Op dit moment vraag je je waarschijnlijk af waarom ik werk om het voor de hand liggende te beschrijven. Wie moet er nog worden verteld hoe decimale nummering werkt, nadat je wiskunde hebt gestudeerd die zo geavanceerd is als algebra en trigonometrie?

De reden is om andere nummeringssystemen beter te begrijpen, door eerst het hoe en waarom te kennen van degene die u al gewend bent.

Het decimale nummeringssysteem gebruikt tien cijfers en plaatsgewichten die veelvouden van tien zijn. Wat als we een nummeringssysteem zouden maken met dezelfde strategie van gewogen plaatsen, maar dan met minder of meer cijfers?

Binaire nummering

Het binaire nummeringssysteem is zo'n systeem. In plaats van tien verschillende cijfersymbolen, waarbij elke gewichtsconstante tien keer de vorige is, hebben we er maar twee cijfersymbolen, en elke gewichtsconstante is tweemaal evenveel als de vorige.

De twee toegestane cijfersymbolen voor het binaire systeem van nummering zijn "1" en "0", en deze cijfers zijn van rechts naar links gerangschikt in verdubbelende gewichtswaarden. De meest rechtse plaats is de enen plaats, net als bij decimale notatie. Als we naar links gaan, hebben we de twee plaats, de vieren plaats, de achten plaats, de zestien plaats, enzovoort.

Het volgende binaire getal kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt, net als het decimale getal 1206, als een som van elke cijferwaarde maal de respectieve gewichtsconstante:

11010 =2 + 8 + 16 =26 11010 =(1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) 

Dit kan behoorlijk verwarrend zijn, omdat ik een getal met binaire nummering (11010) heb geschreven en vervolgens de plaatswaarden en het totaal heb weergegeven in standaard, decimale nummeringsvorm (16 + 8 + 2 =26). In het bovenstaande voorbeeld mengen we twee verschillende soorten numerieke notatie.

Om onnodige verwarring te voorkomen, moeten we aangeven welke vorm van nummering we gebruiken als we schrijven (of typen!). Meestal gebeurt dit in subscriptvorm, met een "2" voor binair en een "10" voor decimaal, dus het binaire getal 11010₂ is gelijk aan het decimale getal 26₁₀ .

De subscripts zijn geen wiskundige bewerkingssymbolen zoals superscripts (exponenten) dat wel zijn. Het enige dat ze doen, is aangeven welk nummeringssysteem we gebruiken wanneer we deze symbolen schrijven zodat andere mensen ze kunnen lezen. Als je "3₁₀ . ziet ”, dit alles betekent dat het nummer drie is geschreven met decimaal nummering.

Als u echter "3 ¹⁰ . ziet ”, betekent dit iets heel anders:drie tot de tiende macht (59.049). Zoals gebruikelijk, als er geen subscript wordt weergegeven, wordt aangenomen dat de cijfer(s) een decimaal getal vertegenwoordigen.

Gewoonlijk wordt het aantal cijfertypen (en dus de plaatswaarde-multiplier) dat in een nummeringssysteem wordt gebruikt, de basis van dat systeem genoemd. Binair wordt de nummering met grondtal twee genoemd en decimaal getal met grondtal tien.

Bovendien verwijzen we naar elke cijferpositie in binair getal een bit in plaats van het bekende woord cijfer gebruikt in het decimale stelsel.

Nu, waarom zou iemand binaire nummering gebruiken? Het decimale systeem, met zijn tien cijfers, is heel logisch, omdat we tien vingers hebben om tussen onze twee handen te tellen. (Het is interessant dat sommige oude Midden-Amerikaanse culturen telsystemen gebruikten met een basis van twintig.

Vermoedelijk gebruikten ze zowel vingers als tenen om te tellen!!). Maar de belangrijkste reden dat het binaire nummeringssysteem wordt gebruikt in moderne elektronische computers is vanwege het gemak waarmee twee cijfertoestanden (0 en 1) elektronisch kunnen worden weergegeven.

Met relatief eenvoudige schakelingen kunnen we wiskundige bewerkingen uitvoeren op binaire getallen door elk bit van de getallen weer te geven door een circuit dat aan (stroom) of uit (geen stroom) is. Net als het telraam waarbij elke staaf een ander decimaal cijfer vertegenwoordigt, voegen we gewoon meer circuits toe om ons meer bits te geven om grotere getallen te symboliseren.

Binaire nummering leent zich ook goed voor het opslaan en ophalen van numerieke informatie:op magnetische tape (vlekken van ijzeroxide op de tape zijn ofwel gemagnetiseerd voor een binaire "1" of gedemagnetiseerd voor een binaire "0"), optische schijven (een laser -verbrande put in de aluminiumfolie die een binaire "1" vertegenwoordigt en een onverbrande plek die een binaire "0" vertegenwoordigt), of een verscheidenheid aan andere mediatypen.

Voordat we precies gaan leren hoe dit allemaal in digitale schakelingen wordt gedaan, moeten we meer vertrouwd raken met binaire en andere bijbehorende nummeringssystemen.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad Nummeringsystemen