Dubbele niet-lineariteitsregeling van modus- en dispersie-eigenschappen in grafeen-diëlektrische plasmonische golfgeleider

Abstract

We bestuderen de modus- en dispersie-eigenschappen van grafeen-diëlektrische niet-lineaire plasmonische golfgeleider, rekening houdend met de dubbele niet-lineariteit van diëlektricum en grafeen. Voor TM-polarisatie werden de modusverdeling, de permittiviteitsverdeling en de dispersierelatie verkregen door de Maxwell-vergelijkingen numeriek op te lossen. Vergeleken met het geval dat alleen de niet-lineariteit van het diëlektricum in aanmerking neemt, neemt de initiële veldintensiteit om plasmonmodi te exciteren duidelijk af wanneer de dubbele niet-lineariteit wordt geïntroduceerd. Daarnaast wordt de invloed van dubbele niet-lineariteit op de dispersierelatie besproken, en we vinden dat de niet-lineariteit van grafeen de dispersie-eigenschappen sterk beïnvloedt. De introductie van dubbele niet-lineariteit leidt tot een afname van de initiële veldintensiteit, wat mogelijk kan worden toegepast in volledig optische schakelaars met een lage drempel.

Achtergrond

De grafeenplasmonics hebben veel aandacht getrokken [1,2,3,4] vanwege de unieke elektronische en optische eigenschappen van grafeen in vergelijking met metalen. Bij THz en ver-infrarood frequentiebereik domineert de intrabandovergang van elektronen en gedraagt grafeen zich als een metaal. Daarom kunnen de oppervlakteplasmonpolaritonen (SPP's) worden ondersteund door grafeen. Voor de grafeen-diëlektrische meerlagige composietstructuur zijn de modi excitatie, koppeling en voortplanting van SPP's onderzocht. De quasi-transversale elektromagnetische modus werd gevonden in een golfgeleider met parallelle plaat van grafeen [5]. De koppeling van SPP's werd bestudeerd [6, 7] in een grafeen-diëlektrische meerlaagse structuur. Voor de periodieke matrixstructuur van een enkellaags grafeenblad ontstaat een sterke koppeling tussen SPP's wanneer de grafeenbladen strak worden gerangschikt.

Er zijn aanzienlijke inspanningen geleverd om de optische eigenschappen van grafeen-diëlektrische niet-lineaire composietstructuren [8,9,10,11,12] te onderzoeken vanwege hun grote potentieel bij het beheersen van de voortplanting van licht op micro- en nanoschaal. Voor het geval van enkellaags grafeen werden de oppervlakteplasmonen op het grensvlak tussen grafeen en niet-lineair substraat van het kerr-type besproken [8]. Het is aangetoond dat de golflengte van grafeenplasmonen kan worden afgestemd door de niet-lineaire permittiviteit van substraten aan te passen. Voor de grafeen-niet-lineaire diëlektrische meerlagige structuur werden de propagatie- en lokalisatie-eigenschappen van grafeenplasmonen onderzocht en werden de exacte dispersierelaties voor TM-oppervlakteplasmonen van een grafeen parallelle plaatgolfgeleider verkregen [11]. De voortplantings- en lokalisatielengte worden opmerkelijk beïnvloed door het aanpassen van niet-lineaire permittiviteiten. Onlangs is de dispersierelatie voor de symmetrische en antisymmetrische plasmonmodi afgeleid in een met grafeen gecoate kerr-plaatstructuur [12]. Behalve de typische voorwaarts voortplantende modus, werden de symmetrische en antisymmetrische modi gevonden.

Op basis van de sterke niet-lineariteit van het grafeen zijn verschillende niet-lineaire optische effecten voorspeld [13,14,15,16,17]. Nesterov et al. [15] bestudeerde de niet-lineaire voortplanting van licht in een grafeenmonolaag en ontdekte dat grafeenmonolaag TE en TM ruimtelijke optische soliton kan ondersteunen bij optische frequenties vanwege de intrinsieke niet-lineariteit van grafeen. Meer recentelijk, het vervangen van monolaag grafeen door meerlagig grafeen, Smirnova et al. [16] onderzocht de niet-lineaire eigenschappen van een meerlagige stapel grafeenplaten en leidde de niet-lineaire vergelijkingen af die de ruimtelijke dynamiek van de niet-lineaire plasmonen beschrijven. De eerdere studies waren voornamelijk gericht op de invloed van enkele niet-lineariteit op de controle van lichteigenschappen in grafeen-diëlektrische structuren. Het idee van dubbele niet-lineariteitscontrole werd geïntroduceerd in de op grafeen gebaseerde fotonische superroosters [18, 19], waarin de elektrische en volledig optische controle van fotonische bundels met diepe subgolflengtenauwkeurigheid werd bereikt. De dubbele niet-lineariteitscontrole van modus- en dispersie-eigenschappen in grafeen-diëlektrische plasmonische structuur laat echter nog steeds veel vragen open. Daarom beschouwen we in dit artikel de niet-lineariteit van grafeen en diëlektricum gelijktijdig in de grafeen-diëlektrische-grafeen golfgeleider, en bestuderen we de invloed van de dubbele niet-lineariteit op modi koppeling en dispersie-eigenschappen.

Methoden

De grafeen-niet-lineaire diëlektrische plasmonische golfgeleider wordt schematisch geïllustreerd in Fig. 1, een grafeen parallelle plaat met een geleidbaarheid σ _g is geplaatst op x = ± d /2, waarbij het diëlektricum een medium van het type Kerr is met een permittiviteit ε = ε _L + α |E |² . In onze analyse wordt het grafeen behandeld als een grens vanwege de dikte op één atoomschaal. Gezien transversaal-magnetische(TM) SPP's die zich voortplanten langs z richting met een voortplantingsconstante β en neemt exponentieel af langs de x richting respectievelijk in de lucht en niet-lineair medium.

Schematisch diagram van niet-lineaire grafeen-diëlektrische-grafeen plasmonische golfgeleider

Voor de TM-polarisatie weten we dat er drie veldcomponenten zijn E _x , E _z , en H _j . Het magnetische veld H = H _j j en elektrisch veld E = E _x x + E _z z voldoen aan de vergelijkingen

$$ \frac{d{E}_z}{ dx}=i\omega {\mu}_0{H}_y+ i\beta {E}_x $$ (1) $$ i\beta {H}_y=- i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_x $$ (2) $$ \frac{d{ H}_y}{ dx}=i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_z $$ (3)

waar ε ₀ en μ ₀ zijn de elektrische permittiviteit en magnetische permeabiliteit van vacuüm. Van verg. (2) en ε = ε _L + α |E |² we kunnen krijgen

$$ {\varepsilon}^2{E}_x^2=\frac{\beta^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2 $$ (4) $$ { E}_x^2=\left(\varepsilon -{\varepsilon}_L-\alpha {E}_z^2\right)/\alpha $$ (5)

Vervanging van Eq. (5) in Vgl. (4) we hebben

$$ {\varepsilon}^3-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right){\varepsilon}^2-\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega ^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2=0 $$ (6)

Voor derdegraadsvergelijking [20, 21]

$$ {x}^3+ b{x}^2+ c x+ d=0 $$ (7)

De discriminant van Vgl. (7) is

$$ \varDelta ={b}^2{c}^2-4{c}^3-4{b}^3 d+18 b c d-27{d}^2 $$ (8)

Instelling $ b=-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right),\kern0.5em c=0 $, en $ d=-\alpha {\beta}^2 {H}_y^2/\left({\omega}^2{\varepsilon}_0^2\right) $, is het gemakkelijk aan te tonen dat de discriminant van Vgl. (6) voldoet aan

$$ \varDelta =-{\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right)}^3\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega^2{\varepsilon} _0^2}{H}_y^2-27\frac{\alpha^2{\beta}^4}{\omega^4{\varepsilon}_0^4}{H}_y^4<0 $$ ( 9)

Δ < 0 betekent dat de Vgl. (6) heeft maar één echte oplossing. Uit de methode van Cardano [20] weten we dat voor de derdegraadsvergelijking Vgl. (7) de echte wortel is

$$ x=-\frac{b}{3}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^ 3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p }{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}} $$ (10)

waar p = c − b ² /3, q = d − bc /3 + 2b ³ /27. Vergelijking gebruiken (10) we kunnen de ε . verkrijgen . De ε . vervangen in verg. (2) en (3) door de reële oplossing, de gewone differentiaalvergelijkingen kunnen numeriek worden opgelost door een relaxatiemethode.

Resultaten en discussies

Van continuïteitsvereisten van E _z en H _j , de randvoorwaarden bij x = ± d /2 voldoen aan E _1z = E _2z en H _2j − H _1j = σ _g E _z . De oppervlaktegeleidbaarheid van grafeen σ _g wordt bepaald door de Kubo-formule [22] inclusief de interband- en intrabandtransitiebijdragen. In het THz- en ver-infraroodfrequentiebereik domineert de intrabandtransitiebijdrage en kan de oppervlaktegeleiding worden vereenvoudigd tot een eenvoudig Drude-type als [23]

$$ {\sigma}_g=\frac{e^2{\mu}_c}{\pi {\hslash}^2}\frac{\mathrm{i}}{\omega +\mathrm{i}{\ tau}^{-1}} $$ (11)

waar e is de elektronenlading, μ _c is het chemische potentieel van grafeen, ω is de frequentie, en τ is de momentum-relaxatietijd. Dit model is toepasbaar bij lage temperatuurlimieten (k _B T < < μ _c ) bij lage frequentie (ℏω ≤ μ _c ). Voor de sterke veldconditie moet rekening worden gehouden met het niet-lineaire deel van de geleidbaarheid en de totale geleidbaarheid van grafeen is [16]

$$ {\sigma}_g={\sigma}_L+{\sigma}^{NL}{\left|{E}_{\tau}\right|}^2 $$ (12)

waar E _τ is de tangentiële component van het elektrische veld en σ ^NL geeft niet-lineaire geleidbaarheid aan [16]

$$ {\sigma}^{NL}=- i\frac{3}{8}\frac{e^2}{\pi {\hslash}^2}{\left(\frac{e{\nu} _F}{\mu_c\omega}\right)}^2\frac{\mu_c}{\omega} $$ (13)

waar ν _F = 0.95 × 10⁸ cm/s is de Fermi-snelheid.

Voor het grafeen kan alleen in THz en ver-infrarood frequentiebereik de geleidbaarheid van het oppervlak worden vereenvoudigd tot een eenvoudig Drude-type; daarom kiezen we de invallende golflengte als λ = 10 μm . Andere parameters zijn vastgezet op de waarden ε ₁ = 1, ε _L = 2,25, α = 5 × 10^− 16 (m/v)² [24] E _F = 0.27 ev, τ = 1,5 ps. Het is bekend dat er twee modi zijn in grafeen-diëlektrische-grafeen lineaire structuren, die respectievelijk symmetrische en antisymmetrische modi zijn. In het volgende bespreken we de invloed van niet-lineariteit op de distributie van modi in de grafeen-diëlektrische composietstructuren.

H . instellen ₀ als de initiële magnetische veldcomponent op het grensvlak van het incident, door vergelijkingen (1, 2 en 3) numeriek op te lossen, de afhankelijkheid van de initiële magnetische veldintensiteit H ₀ op de voortplantingsconstante β wordt gegeven in Fig. 2. De genormaliseerde voortplantingsconstante $ {k}_F=\sqrt{\uppi n} $ is in eenheden van Fermi-momentum [25], waarbij n = 6 × 10¹² cm^− 2 is de dragerdichtheid. De ononderbroken curven vertegenwoordigen het geval dat alleen de niet-lineariteit van het diëlektricum wordt beschouwd, terwijl de gestippelde curven het geval aangeven dat de niet-lineariteit van het diëlektricum en grafeen gelijktijdig worden beschouwd. Uit figuur 2 blijkt dat de modi-eigenschappen voor beide gevallen hetzelfde zijn. Er zijn drie takken, wat betekent dat de niet-lineaire plasmonische golfgeleider drie modi kan ondersteunen. Vergeleken met het geval van een enkele niet-lineariteit, nam de initiële veldintensiteit echter blijkbaar af voor het geval van dubbele niet-lineariteit. Hoewel de niet-lineaire plasmonische golfgeleider van grafeen drie modi kan ondersteunen, is het onmogelijk om te onderscheiden welke tak symmetrische, antisymmetrische of asymmetrische modus aanduidt. Om de moduseigenschappen van elke tak te bepalen, plotten we de verdeling van het elektrisch veld en het magnetische veld in verband met respectievelijk A, B, C en D in Fig. 3.

De initiële magnetische intensiteit versus de voortplantingsconstante. Voor de vaste curven :α = 5 × 10^− 16 (m /v )² , σ ^NL = 0; voor de gestippelde curven :α = 5 × 10^− 16 (m /v )² , σ ^NL = 2.19 × 10^− 20 i, de horizontale zwarte ononderbroken lijn is een hulplijn

De permittiviteit en modiverdeling voor magnetische component H _j en elektrische component E _z . een en b corresponderen met het punt A (H ₀ = 300, β = 6,94 × 10^− 2 k _F ) gemarkeerd in Fig. 2 voor symmetrische modi, c en d corresponderen met het punt B (H ₀ = 300, β = 7.81 × 10^− 2 k _F ) gemarkeerd in Fig.2 voor antisymmetrische modi, e en f corresponderen met het punt C (H ₀ = 300, β = 8.36 × 10^− 2 k _F ) gemarkeerd in Fig. 2 voor asymmetrische modi, en g en h corresponderen met het punt D (H ₀ = 700, β = 8,07 × 10^− 2 k _F )

Voor de tak van de zwarte gestippelde curve zijn de corresponderende permittiviteit en velden geassocieerd met A uitgezet in Fig. 3a, b, waarin de verdeling van de permittiviteit en het elektrische veld E _z is symmetrisch. Daarom vertegenwoordigt deze tak de symmetrische modus. Voor de tak van de rode gestippelde curve worden de permittiviteit en velden geassocieerd met B gegeven in Fig. 3c, d. Verdeling van permittiviteit is nog steeds symmetrisch; echter, de verdeling van elektrisch veld E _z is antisymmetrisch, wat inhoudt dat deze tak een antisymmetrische modus is. De verdeling van permittiviteit en veld geassocieerd met C en D zijn uitgezet in Fig. 3e-h. Opgemerkt wordt dat de verdeling van het corresponderende magnetische veld en elektrisch veld geassocieerd met C en D asymmetrisch is; daarom vertegenwoordigt de tak van de blauwe gestippelde curve de asymmetrische modus. Ondertussen leidt de asymmetrische verdeling van elektrisch veld tot de asymmetrische verdeling van permittiviteit.

Vervolgens richten we onze aandacht op de invloed van niet-lineariteit van diëlektricum en grafeen op de dispersierelatie. Figuur 4 toont de spreidingsrelatie voor een vast initieel magnetisch veld (H ₀ = 300 A/m) en verschillende chemische potentiaal en niet-lineaire coëfficiënten van diëlektricum. In Fig. 4a-c wordt de invloed van de niet-lineaire diëlektricumcoëfficiënt op de dispersierelatie getoond, waarbij alleen de niet-lineariteit van het diëlektricum wordt beschouwd. Wanneer zowel de niet-lineaire coëfficiënt als de niet-lineaire geleidbaarheid gelijk zijn aan nul (α = 0, σ ^NL = 0), degenereert de niet-lineaire structuur tot een lineaire structuur. In figuur 4a bestaan voor het lineaire geval alleen symmetrische en antisymmetrische modi. De zwarte ononderbroken kromme en de rode ononderbroken kromme vertegenwoordigen respectievelijk de symmetrische en antisymmetrische modi. Wanneer de niet-lineaire coëfficiënt niet nul is, verschijnt een asymmetrische modus als de tak III getoond in figuur 4b, c in de structuur. Naarmate de niet-lineaire coëfficiënt verder toeneemt, wordt de invloed van de coëfficiënt op de dispersie-eigenschappen zwak.

De dispersierelatie voor een vaste initiële magnetische intensiteit (H ₀ = 300 A/m) en voor verschillende niet-lineaire coëfficiënten(a –c ) en voor verschillende chemische potentiaal(d –f ). een α = 0, μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, b α = 5 × 10^− 17 (m/V)² , μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, c α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, d μ _c = 0.27eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , (e ) μ _c = 0.16eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , en f μ _c = 0.10eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)²

In het volgende introduceren we tegelijkertijd de niet-lineariteit van diëlektricum en grafeen, en bespreken we de invloed van niet-lineariteit van grafeen op de dispersierelatie met een vaste niet-lineaire coëfficiënt van diëlektricum α = 5 × 10^− 16 (m/V)² . De resultaten worden getoond in Fig. 4d-f. In vergelijking met figuur 4d met figuur 4c wordt opgemerkt dat het terugvouwfenomeen van de dispersierelatie in alle drie de takken voorkomt. Van verg. (13) weten we dat de niet-lineariteit van grafeen kan worden gecontroleerd door de chemische potentiaal aan te passen. Naarmate de niet-lineariteit van grafeen verder toeneemt van μ _c = 0.27 eV naar μ _c = 0.16 eV, zoals weergegeven in figuur 4e, beweegt het terugvouwpunt van de dispersierelatie omhoog. Voor een grotere niet-lineariteit van grafeen (met een klein chemisch potentieel μ _c = 0.10eV), zoals weergegeven in figuur 4f, verschijnt alleen de symmetrische modus en vormt een gesloten lus. Uit figuur 4 weten we dat alleen rekening houdend met de niet-lineariteit van het diëlektricum, de dispersierelatie drie takken vertoont die bijna onveranderlijk zijn naarmate de niet-lineaire coëfficiënt van het diëlektricum toeneemt. Wanneer we echter de niet-lineariteit van grafeen verder introduceren, verschijnt het fold-back-fenomeen van de dispersierelatie. Voor het gespecificeerde initiële magnetische veld H ₀ en chemische potentiaal vertoont de dispersierelatie alleen een symmetrische modus met een gesloten lus.

Conclusies

Samenvattend hebben we de modus- en dispersie-eigenschappen van grafeen-diëlektrische niet-lineaire plasmonische golfgeleider onderzocht. De modusverdeling, permittiviteit en dispersierelaties werden verkregen door de Maxwell-vergelijking voor TM-polarisatie numeriek op te lossen. Vergeleken met het geval waarbij alleen de niet-lineariteit van het diëlektricum wordt beschouwd, nam de initiële veldintensiteit blijkbaar af wanneer tegelijkertijd de niet-lineariteit van het diëlektricum en grafeen in aanmerking werd genomen. Bovendien beïnvloedt de dubbele niet-lineariteit de dispersie-eigenschappen van de golfgeleider aanzienlijk. Vooral, naarmate de niet-lineariteit van grafeen toeneemt, smelten de antisymmetrische en asymmetrische modi samen en verdwijnen ze geleidelijk. Daarom kan alleen de symmetrische modus worden gevonden in het geval van sterke niet-lineariteit.

Experimenteel onderzoek naar stabiliteit en natuurlijke convectie van TiO2-water nanovloeistof in behuizingen met verschillende rotatiehoeken Flexibele supercondensatoren gebaseerd op polyaniline arrays gecoate grafeen aerogel elektroden

Nanomaterialen

Metaal

Hars

vezel

Samengesteld materiaal