Kirchhoff's Wetten: Stroom & Spanning (KCL & KVL) – Stap-voor-stap Opgelost Voorbeeld

KCL & KVL – Kirchhoff's Eerste & Tweede Wet met Opgelost Voorbeeld

Een Duitse natuurkundige, Robert Kirchhoff, introduceerde in 1847 twee belangrijke elektrische wetten waarmee we de equivalente weerstand van een complex netwerk en de stromende stromen in verschillende geleiders eenvoudig kunnen bepalen. Zowel AC- als DC-circuits kunnen worden opgelost en vereenvoudigd met behulp van deze eenvoudige wetten, bekend als Kirchhoff's Stroomwet (KCL) en Kirchhoff's Spanningswet (KVL).

Let erop dat KCL afgeleid is uit de ladingcontinuïteitsvergelijking in de elektromagnetisme, terwijl KVL afgeleid is uit de Maxwell-Faraday-vergelijking voor statisch magneetveld (de afgeleide van B naar tijd is 0).

Kirchhoff's Stroomwet (KCL):

Volgens KCL:

In elk elektrisch netwerk is de algebraïsche som van de inkomende stromen naar een punt en de uitgaande stromen vanaf dat punt nul. Of de instromende stromen naar een punt zijn gelijk aan de uitstromende stromen van dat punt.

Met andere woorden: de som van de stromen die naar een punt vloeien is gelijk aan de som van de stromen die er vandoor vloeien. Of de algebraïsche som van de stromen die een knooppunt binnengaan is gelijk aan de algebraïsche som van de stromen die het knooppunt verlaten.

Uitleg van KCL:

Stel dat enkele geleiders in een punt "A" samenkomen, zoals in figuur 1.a getoond. In sommige geleiders zijn stromen inkomend naar punt "A", terwijl in andere geleiders stromen vertrekken of uitgaand zijn vanaf punt "A".

Beschouw de inkomende of binnenkomende stromen als "Positief (+)" naar punt "A", terwijl de vertrekkende of uitgaande stromen vanaf punt "A" "Negatief (-)" zijn.
Dan geldt:

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

OF

I₁ + I₅ – I₂ – I₃ – I₄ = 0

OF

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

Dat wil zeggen:

Inkomende of Binnenkomende Stromen = Vertrekkende of Uitgaande Stromen

Of

ΣI Binnengaan = ΣI Verlaten

Bijvoorbeeld: 8A komt naar een punt en 5A plus 3A vertrekken van dat punt in fig 1.b, dus:

8A = 5A + 3A

8A = 8A.

Kirchhoff's Spanningswet (KVL):

Kirchhoff's tweede wet of KVL stelt dat:

In elke gesloten lus (ook wel mas genoemd) is de algebraïsche som van de toegepaste EMK gelijk aan de algebraïsche som van de spanningsvallen in de elementen. Kirchhoff's tweede wet is ook bekend als Spanningswet of Maswet.

ΣIR = ΣE

Uitleg van KVL:

Een gesloten circuit is getoond in de figuur met twee batterijaansluitingen E₁ en E₂. De totale som van de EMK's van de batterijen wordt aangegeven door E₁ - E₂. De veronderstelde stroomrichting is ook in de figuur getoond.

E₁ drijft de stroom in een richting die als positief wordt verondersteld, terwijl E₂ in de stroomrichting ingrijpt (d.w.z. in de tegengestelde richting van de veronderstelde stroomrichting), vandaar dat het als negatief wordt genomen. De spanningsval in deze gesloten circuit hangt af van het product van Spanning en Stroom.

De spanningsval die optreedt in de veronderstelde stroomrichting staat bekend als positieve spanningsval, de andere als negatieve spanningsval.

In de bovenstaande figuur zijn I₁R₁ en I₂R₂ positieve spanningsvallen en I₃R₃ en I₄R₄ negatieve spanningsvallen.

Als we rond de gesloten circuit (of elke mas) gaan en de weerstand van de geleider vermenigvuldigen met de daarin vloeiende stroom, dan is de som van de IR-producten gelijk aan de som van de aangesloten EMK-bronnen.

De algemene vergelijking voor het bovenstaande circuit is:

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

Als we in de veronderstelde stroomrichting gaan zoals in de figuur getoond, dan wordt het product van IR als positief genomen, anders negatief.

Goed te Weten:

Richting van de Stroom:

Het is erg belangrijk om de stroomrichting te bepalen wanneer circuits worden opgelost via Kirchhoff's wetten. Hetzelfde geldt voor elektronenstroom en conventionele stroom.

De stroomrichting kan via de klok mee of tegen de klok in worden verondersteld. Eenmaal de gewenste stroomrichting gekozen, moet u deze voor het hele circuit handhaven tot de finale oplossing.

Als de eindwaarde positief is, betekent dit dat de veronderstelde stroomrichting correct was. Bij negatieve waarden is de stroomrichting omgekeerd ten opzichte van de veronderstelde.

Circuitanalyse met Kirchhoff's Wetten

Opgelost Voorbeeld over KCL en KVL (Kirchhoff's Wetten)

Voorbeeld:

Weerstanden van R₁ = 10Ω, R₂ = 4Ω en R₃ = 8Ω zijn aangesloten op twee batterijen (van verwaarloosbare weerstand) zoals getoond. Bepaal de stroom door elke weerstand.

Oplossing:

Veronderstel stromen in de richtingen aangegeven door pijlen.

Pas KCL toe op knooppunten C en A.

Daarom is de stroom in mas ABC = i₁

Stroom in mas CA = i₂

Dan is de stroom in mas CDA = i₁ – i₂

Pas nu KVL toe op mas ABC, 20V werken in de richting van de klok mee. Door de som van IR-producten te gelijkstellen, verkrijgen we:

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

In mas ACD werken 12 volt in de richting van de klok mee, dus:

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 8i₂ – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

Vergelijking (1) vermenigvuldigen met 3:

30i₁ + 12i₂ = 60

Oplossen voor i₁

30i₁ + 12i₂ = 60

8i₁ – 12i₂ = 12

___________
38i₁ = 72

De bovenstaande vergelijking kan ook worden vereenvoudigd door Eliminatie of de Regels van Cramer.

i₁ = 72 ÷ 38 = 1,895 Ampère = Stroom in 10 Ohm weerstand

Deze waarde invullen in (1):

10 (1,895) + 4i₂ = 20

4i₂ = 20 – 18,95

i₂ = 0,263 Ampère = Stroom in 4 Ohm Weerstanden.

Nu,

i₁ – i₂ = 1,895 – 0,263 = 1,632 Ampère

Toepassingen van Kirchhoff's Wetten

• Kirchhoff's wetten kunnen worden gebruikt om onbekende waarden zoals stroom en spanning te bepalen, evenals de richting van deze grootheden in het circuit.
• Deze wetten zijn op elk circuit toepasbaar* (zie de beperkingen aan het einde van het artikel), maar nuttig om onbekende waarden in complexe circuits en netwerken te vinden.
• Ook gebruikt in Knooppunt- en Masanalyse om de waarden van stroom en spanning te vinden.
• Stroom door elke onafhankelijke lus wordt bepaald door KVL toe te passen (elke lus) en stroom in elk element van een circuit door alle stromen te tellen (toepasbaar in Lusstroommethode).
• Stroom door elke tak wordt bepaald door KCL toe te passen (elk knooppunt) en KVL in elke lus van een circuit (toepasbaar in Lusstroommethode).
• Kirchhoff's wetten zijn nuttig bij het begrijpen van energieoverdracht door een elektrisch circuit.

Goed te Weten:

Deze regels van de duim moeten in acht worden genomen bij het vereenvoudigen en analyseren van elektrische circuits met Kirchhoff's wetten:

• De spanningsval in een lus door stroom in de klok mee wordt beschouwd als Positieve (+) spanningsval.
• De spanningsval in een lus door stroom tegen de klok in wordt beschouwd als Negatieve (-) spanningsval.
• De stroom die door de batterij in de klok mee wordt gedreven, wordt als Positief (+) genomen.
• De stroom die door de batterij tegen de klok in wordt gedreven, wordt als Negatief (-) genomen.

Beperkingen van Kirchhoff's Wetten:

• KCL is van toepassing op de aanname dat stroom alleen in geleiders en draden vloeit. In hoge-frequentie circuits waar parasitaire capaciteit niet meer genegeerd kan worden, kan stroom vloeien in een open circuit omdat geleiders of draden dan als transmissielijnen fungeren.
• KVL is van toepassing op de aanname dat er geen fluctuerend magneetveld de gesloten lus koppelt. In aanwezigheid van een veranderlijk magneetveld in hoge-frequentie, korte-golf AC-circuits is het elektrisch veld geen conservatief vectoreeld. Het elektrisch veld kan dan niet de gradiënt van een potentiaal zijn en de lijnintegraal van het elektrisch veld rond de lus is niet nul, in direct tegenspraak met KVL. Daarom is KVL in dergelijke omstandigheden niet van toepassing.
• Tijdens de energieoverdracht van het magneetveld naar het elektrisch veld moet er een correctiefactor aan KVL worden toegevoegd om de potentiaalverschillen rond het circuit gelijk te maken aan 0.

Gerelateerde Artikelen over Elektrische Circuitanalysetheoremen:

• Thevenin's Stelling. Stap-voor-stap Procedure met Opgelost Voorbeeld
• Norton's Stelling. Eenvoudige Stap-voor-stap Procedure met Voorbeeld (Beeldvorming)
• SUPERKNOOPPUNT Circuitanalyse | Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld
• SUPERMAS Circuitanalyse | Stap-voor-stap met Opgelost Voorbeeld
• Maximaal Vermogensoverdrachtstheorema voor AC & DC Circuits
• Compensatiestelling – Bewijs, Uitleg en Opgeloste Voorbeelden
• Substitutiestelling – Stap-voor-stap Gids met Opgelost Voorbeeld
• Millman's Stelling – Analyseren van AC & DC Circuits – Voorbeelden
• Superpositiestelling – Circuitanalyse met Opgelost Voorbeeld
• Tellegen's Stelling – Opgeloste Voorbeelden & MATLAB Simulatie
• Spanningsdelerregel (VDR) – Opgeloste Voorbeelden voor R, L en C Circuits
• Stroomdelerregel (CDR) – Opgeloste Voorbeelden voor AC en DC Circuits
• Wet van Ohm: Eenvoudige Uitleg met Stelling en Formules
• Ster naar Driehoek & Driehoek naar Ster Conversie. Y-Δ Transformatie