Analyse van Serie Weerstand-Spoel AC-Stromingen: Impedantie, Fase, en SPICE Verificatie

In de vorige sectie hebben we eenvoudige weerstands-enkel en spoel-enkel AC-stromingen onderzocht. Nu combineren we de twee elementen in serie om te verkennen hoe weerstand en reactantie interactie aangaan en het algehele stroomgedrag vormgeven.

Serie Weerstand-Spoel Stroom Voorbeeld

Overweeg het volgende schema:

Serie weerstand-spoel stroom: de stroom loopt 0° tot 90° achter op de aangelegde spanning.

De weerstand biedt een vaste weerstand van 5 Ω over alle frequenties, terwijl de spoel een inductieve reactantie van 3,7699 Ω bij 60 Hz bijdraagt. Omdat de weerstand van de weerstand puur reëel is (5 Ω ∠ 0°) en de weerstand van de spoel puur imaginair (3,7699 Ω ∠ 90°), is hun gecombineerde effect een complexe som die we impedantie noemen.

Impedantie, aangeduid met Z, wordt gemeten in ohm net als weerstand en reactantie, maar omvat zowel grootte als fase-informatie.

De totale stroomimpedantie is daarom:

Weerstand en Ohm's Wet in AC

Impedantie verbindt spanning en stroom net zoals weerstand in DC-stromingen:

Deze generalisatie van Ohm's Wet geldt voor elk AC-netwerk, of de elementen nu weerstands-, inductieve, of een combinatie zijn. Voor serie- of parallelschakelingen behandelen we de gehele set componenten als een enkele impedantie.

Om de stroom op te lossen, stellen we eerst een fasereferentie in voor de spanningsbron, die conventioneel als 0° wordt genomen. De spanning over de weerstand blijft in fase met de stroom (0° verschuiving), terwijl de spanning over de spoel de stroom met +90° voorafgaat.

In deze gemengde stroom loopt de algehele stroom de voedingspanning met slechts 37,016° achter, ver minder dan de 90° achterloop in een zuiver inductieve stroom.

Stroom loopt achter op spanning in een serie L-R stroom.

Wiskundig weerspiegelt de spanning over elk component zijn individuele faserelatie met de stroom:

De spanning over de weerstand heeft dezelfde fase als de stroom, wat bevestigt dat ze in fase zijn. Integendeel, de spanning over de spoel is 90° uit fase met zijn stroom:

Kirchhoff's Spanningwet Herbekeken

Kirchhoff's Spanningwet (KVL) geldt ook voor complexe grootheden:

Verificatie met SPICE

We hebben de analytische resultaten gevalideerd met SPICE:

SPICE stroom: R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+00

SPICE rapporteert stroom met een 180° offset ten opzichte van de bron, een conventie die de fysieke interpretatie van de resultaten niet beïnvloedt. De fasehoeken voor weerstands- en spoelspanningen komen overeen met onze analytische voorspellingen (-37,02° en 52,98°).

Om het berekeningsproces te stroomlijnen, gebruiken we een tabelmethode. De tabel geeft de impedantie van elk component in zowel rechthoekige als polaire vorm, en telt ze op om de totale impedantie te vinden. Met behulp van Ohm's Wet (I = E/Z) berekenen we de gemeenschappelijke seriestroom en bepalen we vervolgens elke spanningsval.

Hieronder is een schematische weergave van de tabelbenadering (vereenvoudigd voor beknoptheid):

Omdat de stroom serie is, vloeit dezelfde stroom door elk element. Eenmaal de totale stroom bekend, vermenigvuldigen we deze met de impedantie van elk component om de corresponderende spanningsval te verkrijgen. Deze methode spiegelt de DC-benadering maar vereist complexe rekenkunde.

Alle grootheden in AC-analyse moeten als complexe getallen worden voorgesteld; het verwaarlozen van fase leidt tot onjuiste resultaten. Eenmaal de fase correct in rekening is gebracht, zijn de analysetechnieken essentieel identiek aan DC-stroomanalyse.

Instrumentmetingen, zoals voltmeter of ammeter waarden, corresponderen met de grootte van de complexe fasor (polaire notatie). Een voltmeter over de weerstand zou bijvoorbeeld 7,9847 V weergeven, niet de rechthoekige componenten 6,3756 V + j4,8071 V.

Samenvattend:

• Impedantie (Z) is de complexe som van weerstand (R) en reactantie (X).
• Serie impedanties tellen algebraïsch op: Z_totaal = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Een puur weerstandsimpedantie heeft een fase van 0°, een puur inductieve impedantie een fase van +90°.
• Ohm's Wet voor AC: E = IZ, I = E/Z, Z = E/I.
• In een gemengde R-L stroom ligt de impedantiefase tussen 0° en +90°, en de stroomfase tussen 0° en –90°.
• Serie AC-stromingen voldoen aan dezelfde regels als DC: uniforme stroom, additieve spanningsvallen, additieve impedanties.

Voorbeeld: Een 40 Ω weerstand in serie met een 79,58 mH spoel bij 60 Hz.

• X_L = 2πfL = 30 Ω.
• Z = R + jX_L = 40 + j30 Ω.
• |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω.
• ∠Z = arctan(30/40) = 36,87°.
• Z = 50 Ω ∠ 36,87°.

Overzicht

• Impedantie kwantificeert totale weerstand aan stroom als een complex getal.
• Serie impedanties tellen direct op; berekeningen moeten in complexe vorm worden uitgevoerd.
• Puur weerstands- of inductieve componenten hebben vaste fasehoeken.
• Ohm's Wet generaliseert naar AC-stromingen via complexe impedantie.
• Gemengde stromingen vertonen intermediaire fasehoeken.
• Serie AC-stromingen spiegelen DC-fundamenten.

Gerelateerde Werkbladen

• Spoelen Werkblad
• Weerstand, Reactantie, en Impedantie Werkblad
• Inductieve Reactantie Werkblad