Minterm vs Maxterm-oplossing

Tot dusver hebben we Sum-Of-Product (SOP)-oplossingen gevonden voor problemen met logische reductie. Voor elk van deze SOP-oplossingen is er ook een Product-Of-Sums-oplossing (POS), die, afhankelijk van de toepassing, nuttiger kan zijn.

Voordat we aan een Product-Of-Sums-oplossing werken, moeten we wat nieuwe terminologie introduceren. De onderstaande procedure voor het in kaart brengen van producttermen is niet nieuw voor dit hoofdstuk.

We willen alleen een formele procedure voor minterms opstellen ter vergelijking met de nieuwe procedure voor maxterms.

Minterm

Een minterm is een Booleaanse uitdrukking die resulteert in 1 voor de uitvoer van een enkele cel, en 0 s voor alle andere cellen in een Karnaugh-kaart of waarheidstabel. Als een minterm een ​​enkele 1 . heeft en de overige cellen als 0 s, het lijkt erop dat het een minimumgebied van 1 . beslaat v.

De afbeelding linksboven toont de minterm ABC , een enkele productterm, als een enkele 1 op een kaart die anders 0 . is s. We hebben de 0 . niet getoond s in onze Karnaugh-kaarten tot nu toe, omdat het gebruikelijk is om ze weg te laten, tenzij dit specifiek nodig is. Nog een minterm A'BC' wordt rechtsboven weergegeven.

Het punt om te bekijken is dat het adres van de cel rechtstreeks overeenkomt met de minterm die in kaart wordt gebracht. Dat wil zeggen, de cel 111 komt overeen met de minterm ABC linksboven.

Rechtsboven zien we dat de minterm A’BC’ komt rechtstreeks overeen met de cel 010 . Een Booleaanse uitdrukking of kaart kan meerdere minterms hebben.

Laten we, verwijzend naar de bovenstaande afbeelding, de procedure samenvatten voor het plaatsen van een minterm in een K-map:

• Identificeer de minterm (productterm) term die moet worden toegewezen.
• Schrijf de bijbehorende binaire numerieke waarde.
• Gebruik binaire waarde als adres om een ​​1 . te plaatsen in de K-map
• Herhaal stappen voor andere minterms (P-termen binnen een Sum-Of-Products).

Een Booleaanse expressie zal vaker wel dan niet bestaan ​​uit meerdere minterms die overeenkomen met meerdere cellen in een Karnaugh-kaart, zoals hierboven weergegeven. De meerdere minterms op deze kaart zijn de individuele minterms die we in de vorige afbeelding hierboven hebben onderzocht.

Het punt dat we ter referentie bekijken, is dat de 1 s komen uit de K-map als een binair celadres dat direct wordt omgezet in een of meer producttermen.

Met direct bedoelen we dat een 0 komt overeen met een aangevulde variabele, en een 1 correspondeert met een echte variabele. Voorbeeld:010 converteert direct naar A'BC' .

In dit voorbeeld was er geen reductie. We hebben echter wel een Sum-Of-Products-resultaat van de minterms.

Laten we, verwijzend naar de bovenstaande afbeelding, de procedure samenvatten voor het schrijven van de Sum-Of-Products gereduceerde Booleaanse vergelijking van een K-map:

• Vorm de grootste groepen van 1 s mogelijk voor alle minterms. Groepen moeten een macht van 2 zijn.
• Schrijf een binaire numerieke waarde voor groepen.
• Zet binaire waarde om in een productterm.
• Herhaal stappen voor andere groepen. Elke groep levert een p-term op binnen een Sum-Of-Products.

Tot nu toe niets nieuws, er is een formele procedure vastgelegd voor het omgaan met minterms. Dit dient als een patroon voor het omgaan met maxterms.

Vervolgens vallen we de Booleaanse functie aan die 0 . is voor een enkele cel en 1 s voor alle anderen.

Maxterm

Een maxterm is een Booleaanse uitdrukking die resulteert in een 0 voor de uitvoer van een enkele celuitdrukking, en 1 s voor alle andere cellen in de Karnaugh-kaart of waarheidstabel. De afbeelding linksboven toont de maxterm (A+B+C) , een enkele somterm, als een enkele 0 op een kaart die anders 1 . is v.

Als een maxterm een ​​enkele 0 . heeft en de overige cellen als 1 s, het lijkt erop dat het een maximale oppervlakte van 1 . beslaat v.

Er zijn wat verschillen nu we met iets nieuws te maken hebben, maxterms. De maxterm is een 0 , geen 1 op de Karnaugh-kaart. Een maxterm is een somterm, (A+B+C) in ons voorbeeld geen productterm. Het ziet er ook vreemd uit dat (A+B+C) wordt toegewezen aan de cel 000 .

Voor de vergelijking Out=(A+B+C)=0 , alle drie de variabelen (A, B, C) moet afzonderlijk gelijk zijn aan 0 . Alleen (0+0+0)=0 zal gelijk zijn aan 0 . Dus plaatsen we onze enige 0 voor minterm (A+B+C) in cel A,B,C=000 in de K-map, waar de invoer allemaal 0 . is .

Dit is het enige geval dat ons een 0 . geeft voor onze maxterm. Alle andere cellen bevatten 1 s omdat alle andere invoerwaarden dan ((0,0,0) voor (A+B+C) levert 1 op s bij evaluatie.

Verwijzend naar de bovenstaande afbeelding, is de procedure voor het plaatsen van een maxterm in de K-map:

• Identificeer de somterm die moet worden toegewezen.
• Schrijf de bijbehorende binaire numerieke waarde.
• Vorm het complement
• Gebruik het complement als adres om een ​​0 . te plaatsen in de K-map
• Herhalen voor andere maxterms (Som-termen in de uitdrukking Product-of-Sums).

Nog een maxterm A’+B’+C’ wordt hierboven getoond. Numeriek 000 komt overeen met A'+B'+C' . Het complement is 111 . Plaats een 0 voor maxterm (A'+B'+C') in deze cel (1,1,1) van de K-map zoals hierboven weergegeven.

Waarom zou (A'+B'+C') veroorzaak een 0 om in cel 111 te zijn ? Wanneer A'+B'+C' is (1'+1'+1') , alle 1 s in, dat is (0+0+0) na het nemen van complementen, hebben we de enige voorwaarde die ons een 0 . geeft . Alle 1 s worden aangevuld met alle 0 s, wat 0 . is wanneer OF red.

Een Booleaanse product-van-som-expressie of -kaart kan meerdere maxterms hebben, zoals hierboven weergegeven. Maxterm (A+B+C) geeft numeriek 111 die een aanvulling vormt op 000 , een 0 . plaatsen in cel (0,0,0) . Maxterm (A+B+C') levert numerieke 110 op die een aanvulling vormt op 001 , een 0 . plaatsen in cel (0,0,1) .

Nu we de k-map-setup hebben, zijn we echt geïnteresseerd in het laten zien hoe je een Product-Of-Sums-reductie schrijft. Vorm de 0 s in groepen. Dat zou een groep van twee zijn hieronder. Schrijf de binaire waarde die overeenkomt met de som-term die (0,0,X) . is .

Zowel A als B zijn 0 voor de groep. Maar, C is beide 0 en 1 dus we schrijven een X als plaatshouder voor C . Vorm het complement (1,1,X) . Schrijf de somterm (A+B) de C . weggooien en de X die zijn plaats behield.

Verwacht in het algemeen dat er meer somtermen worden vermenigvuldigd in het resultaat Product-van-Sommen. We hebben hier echter een eenvoudig voorbeeld.

Laten we de procedure voor het schrijven van de Product-of-Sums Booleaanse reductie voor een K-map samenvatten:

• Vorm de grootste groepen van 0 s mogelijk, voor alle maxterms. Groepen moeten een macht van 2 zijn.
• Schrijf binaire numerieke waarde voor groep.
• Aanvullen binaire numerieke waarde voor groep.
• Converteer complementwaarde naar een somterm.
• Herhaal stappen voor andere groepen. Elke groep levert een somterm op binnen een Product-Of-Sums-resultaat.

Voorbeelden

Voorbeeld:

Vereenvoudig de Booleaanse uitdrukking Product-van-Sommen hieronder, zodat u een resultaat in POS-vorm krijgt.

Oplossing:

Zet de zeven maxterms over naar de onderstaande kaart als 0 s. Zorg ervoor dat u de invoervariabelen aanvult bij het vinden van de juiste cellocatie.

We brengen de 0 . in kaart s zoals ze op de kaart hierboven van links naar rechts van boven naar beneden worden weergegeven. We vinden de laatste drie maxterms met aanhaallijnen..

Zodra de cellen hierboven op hun plaats zitten, vormt u groepen cellen zoals hieronder weergegeven. Grotere groepen geven een somterm met minder invoer. Minder groepen zullen minder somtermen in het resultaat opleveren.

We hebben drie groepen, dus we verwachten drie somtermen in ons POS-resultaat hierboven. De groep van 4-cellen levert een 2-variabele somterm op. De twee groepen van 2-cellen geven ons twee 3-variabele somtermen.

Details worden getoond voor hoe we tot de Sum-termen hierboven zijn gekomen. Schrijf voor een groep het invoeradres van de binaire groep, vul het vervolgens aan en converteer dat naar de Booleaanse somterm. Het uiteindelijke resultaat is het product van de drie sommen.

Voorbeeld:

Vereenvoudig de onderstaande Booleaanse uitdrukking Product-of-Sums, zodat u een resultaat in SOP-vorm krijgt.

Oplossing: Dit lijkt op een herhaling van het laatste probleem. Alleen vragen we om een ​​Sum-Of-Products-oplossing in plaats van de Product-Of-Sums die we net hebben voltooid. Breng de maxterm 0 in kaart s van het Product-van-Sommen gegeven zoals in de vorige opgave, linksonder.

Vul dan de impliciete 1 . in s in de overige cellen van de kaart rechtsboven.

Vorm groepen van 1 s om alle 1 te dekken s. Schrijf vervolgens het vereenvoudigde resultaat Sum-Of-Products zoals in de vorige sectie van dit hoofdstuk. Dit is identiek aan een eerder probleem.

Hierboven tonen we zowel de Product-Of-Sums-oplossing, uit het vorige voorbeeld, en de Sum-Of-Products-oplossing van het huidige probleem ter vergelijking.

Wat is de eenvoudigere oplossing? De POS gebruikt 3-OF-poorten en 1-AND-poort, terwijl de SOP 3-EN-poorten en 1-OF-poort gebruikt. Beiden gebruiken elk vier poorten.

Als we beter kijken, tellen we het aantal poortingangen. De POS gebruikt 8 ingangen; de SOP gebruikt 7 ingangen. Volgens de definitie van een minimale kostenoplossing is de SOP-oplossing eenvoudiger.

Dit is een voorbeeld van een technisch correct antwoord dat in de echte wereld van weinig nut is.

De betere oplossing hangt af van de complexiteit en de logische familie die wordt gebruikt. De SOP-oplossing is meestal beter als de TTL-logica-familie wordt gebruikt, aangezien NAND-poorten de basisbouwsteen zijn, die goed werkt met SOP-implementaties.

Aan de andere kant zou een POS-oplossing acceptabel zijn bij gebruik van de CMOS-logische familie, aangezien alle maten NOR-poorten beschikbaar zijn.

De poortdiagrammen voor beide gevallen worden hierboven weergegeven, Product-of-Sums links en Sum-Of-Products rechts.

Hieronder bekijken we de Sum-Of-Products-versie van onze voorbeeldlogica, die links wordt herhaald.

Bovenal zijn EN-poorten links vervangen door NAND-poorten rechts. De OF-poort aan de uitgang is vervangen door een NAND-poort. Om te bewijzen dat EN-OF-logica equivalent is aan NAND-NAND-logica, verplaatst u de inverterende bellen aan de uitgang van de 3-NAND-poorten naar de ingang van de laatste NAND, zoals weergegeven in gaande van rechtsboven naar linksonder.

Rechtsboven zien we dat de NAND-uitgangspoort met geïnverteerde ingangen logisch equivalent is aan een OF-poort volgens de stelling van DeMorgan en dubbele ontkenning.

Deze informatie is nuttig bij het bouwen van digitale logica in een laboratoriumomgeving waar NAND-poorten van de TTL-logische familie gemakkelijker beschikbaar zijn in een groot aantal verschillende configuraties dan andere typen.

De procedure voor het construeren van NAND-NAND-logica in plaats van AND-OR-logica is als volgt:

• Produceer een logisch ontwerp voor de Sum-Of-Products.
• Vervang bij het tekenen van het bedradingsschema van de SOP alle poorten (zowel AND als OR) door NAND-poorten.
• Ongebruikte ingangen moeten worden gekoppeld aan logisch Hoog.
• In het geval van probleemoplossing komen interne knooppunten op het eerste niveau van de NAND-poortuitgangen NIET overeen met de logische niveaus van het EN-OF-diagram, maar worden ze omgekeerd. Gebruik het NAND-NAND logische diagram. Invoer en uiteindelijke uitvoer zijn echter identiek.
• Label meerdere pakketten U1, U2,.. etc.
• Gebruik het gegevensblad om pinnummers toe te wijzen aan in- en uitgangen van alle poorten.

Voorbeeld:

Laten we een eerder probleem bekijken met betrekking tot een SOP-minimalisatie. Produceer een Product-Of-Sums-oplossing. Vergelijk de POS-oplossing met de vorige SOP.

Oplossing:

Linksboven hebben we het oorspronkelijke probleem dat begint met een Booleaanse onvereenvoudigde uitdrukking van 9 minuten. Bij het nakijken hebben we vier groepen van 4 cellen gevormd om een ​​SOP-resultaat met 4 producttermen op te leveren, linksonder.

In de middelste figuur hierboven vullen we de lege ruimtes in met de impliciete 0 s. De 0 s vormen twee groepen van 4-cellen. De ononderbroken blauwe groep is (A’+B) , de gestreepte rode groep is (C’+D) . Dit levert twee somtermen op in het Product-Of-Sums-resultaat, rechtsboven Out =(A'+B)(C'+D)

Door de vorige SOP-vereenvoudiging, links, te vergelijken met de POS-vereenvoudiging, rechts, blijkt dat de POS de goedkoopste oplossing is. De SOP gebruikt in totaal 5 poorten, de POS gebruikt slechts 3 poorten.

Deze POS-oplossing ziet er zelfs aantrekkelijk uit bij gebruik van TTL-logica vanwege de eenvoud van het resultaat. We kunnen EN-poorten en een OF-poort met 2-ingangen vinden.

De SOP- en POS-poortdiagrammen worden hierboven weergegeven voor ons vergelijkingsprobleem.

Gezien de pin-outs voor de TTL-logica-familie-geïntegreerde circuitpoorten hieronder, labelt u het maxterm-diagram rechtsboven met circuitaanduidingen (U1-a, U1-b, U2-a, enz.) En pinnummers.

Elk geïntegreerd circuitpakket dat we gebruiken, krijgt een circuitaanduiding:U1, U2, U3. Om onderscheid te maken tussen de afzonderlijke poorten in het pakket, worden ze geïdentificeerd als a, b, c, d, enz.

Het 7404 hex-omvormerpakket is U1. De individuele omvormers daarin zijn U1-a, U1-b, U1-c, enz. U2 is toegewezen aan de 7432 quad OF-poort. U3 is toegewezen aan de 7408 quad AND-poort.

Met verwijzing naar de pinnummers op het bovenstaande pakketdiagram, wijzen we pinnummers toe aan alle poortingangen en -uitgangen in het onderstaande schematische diagram.

We kunnen deze schakeling nu bouwen in een laboratoriumomgeving. Of we kunnen een printplaat ontwerpen ervoor. Een printplaat bevat koperfolie "bedrading" ondersteund door een niet-geleidend substraat van fenol of epoxy-glasvezel.

Printplaten worden gebruikt om elektronische schakelingen massaal te produceren. Aard de ingangen van ongebruikte poorten.

Label het vorige diagram van de POS-oplossing linksboven (derde figuur terug) met circuitaanduidingen en pinnummers. Dit zal vergelijkbaar zijn met wat we net hebben gedaan.

We kunnen EN-poorten met 2 ingangen vinden, 7408 in het vorige voorbeeld. We hebben echter problemen met het vinden van een OR-poort met 4 ingangen in onze TTL-catalogus.

De enige soort poort met 4 ingangen is de 7420 NAND-poort die rechtsboven wordt getoond.

We kunnen de NAND-poort met 4 ingangen in een OF-poort met 4 ingangen maken door de ingangen naar de NAND-poort om te keren, zoals hieronder wordt weergegeven. We zullen dus de 7420 NAND-poort met 4 ingangen gebruiken als een OF-poort door de ingangen om te keren.

We zullen geen discrete omvormers gebruiken om de ingangen naar de 7420 NAND-poort met 4 ingangen om te keren, maar zullen deze aansturen met NAND-poorten met 2 ingangen in plaats van de EN-poorten die in de SOP, minterm, oplossing worden gevraagd.

De inversie aan de uitgang van de NAND-poorten met 2 ingangen levert de inversie voor de OF-poort met 4 ingangen.

Het resultaat is hierboven weergegeven. Het is de enige praktische manier om het daadwerkelijk met TTL-poorten te bouwen door NAND-NAND-logica te gebruiken die AND-OR-logica vervangt.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad Karnaugh-toewijzing