Venndiagrammen Begrijpen: Visuele Relaties Tussen Verzamelingen

Wiskundigen gebruiken Venndiagrammen om de logische relaties van verzamelingen (verzamelingen van objecten) onderling weer te geven. Misschien heb je Venndiagrammen al gezien in je algebra of andere wiskundestudies. Als dat zo is, herinner je je misschien overlappende cirkels en de vereniging en doorsnede van verzamelingen.

We zullen de overlappende cirkels van het Venndiagram herzien. We zullen de termen OF en EN gebruiken in plaats van vereniging en doorsnede, aangezien dat de terminologie is die in digitale elektronica gebruikt wordt.

Het Venndiagram brugt de Boolesche algebra uit een eerdere hoofdstuk naar de Karnaugh-kaart. We zullen wat je al weet over Boolesche algebra relateren aan Venndiagrammen, en vervolgens overgaan naar Karnaugh-kaarten.

Een verzameling is een verzameling objecten uit een universeel bestand zoals hieronder getoond. De leden van de verzameling zijn de objecten die in de verzameling zitten. De leden van de verzameling hebben meestal iets gemeen, hoewel dit geen vereiste is.

Uit het universeel bestand van reële getallen is bijvoorbeeld de verzameling van alle positieve gehele getallen {1,2,3…} een verzameling. De verzameling {3,4,5} is een voorbeeld van een kleinere verzameling, of subset van de verzameling van alle positieve gehele getallen. Een ander voorbeeld is de verzameling van alle mannen uit het universeel bestand van studenten. Kun je nog meer voorbeelden van verzamelingen bedenken?

Boven links zien we een Venndiagram dat verzameling A toont in de cirkel binnen het universeel bestand U, het rechthoekige gebied. Als alles binnen de cirkel A is, dan is alles buiten de cirkel niet-A. Dus, boven in het midden, labelen we het rechthoekige gebied buiten de cirkel A als A-niet in plaats van U. We tonen B en B-niet op een gelijke manier.

Wat gebeurt er als zowel A als B binnen hetzelfde universeel bestand zitten? We tonen vier mogelijkheden.

Laten we elk van de vier mogelijkheden nader bekijken zoals hierboven getoond.

Het eerste voorbeeld toont dat verzameling A en verzameling B niets gemeen hebben volgens het Venndiagram. Er is geen overlap tussen de A en B cirkelvormige geschraffeerde gebieden. Stel dat verzamelingen A en B de volgende leden bevatten:

verzameling A = {1,2,3,4}
verzameling B = {5,6,7,8}

Geen van de leden van verzameling A zit in verzameling B, noch zijn er leden van B in A. Dus is er geen overlap van de cirkels.

In het tweede voorbeeld in het bovenstaande Venndiagram zit verzameling A volledig in verzameling B. Hoe kunnen we deze situatie verklaren? Stel dat verzamelingen A en B de volgende leden bevatten:

verzameling A = {1,2}
verzameling B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Alle leden van verzameling A zitten ook in verzameling B. Daarom is verzameling A een subset van verzameling B. Omdat alle leden van A leden van B zijn, wordt A volledig binnen de grens van B getekend.

Er is een vijfde geval, niet getoond, bij de vier voorbeelden. Hint: het is vergelijkbaar met het laatste (vierde) voorbeeld. Teken een Venndiagram voor dit vijfde geval.

Het derde voorbeeld hierboven toont perfecte overlap tussen verzameling A en verzameling B. Het lijkt alsof beide verzamelingen identieke leden bevatten. Stel dat verzamelingen A en B het volgende bevatten:

verzameling A = {1,2,3,4}
verzameling B = {1,2,3,4}

Daarom,

Verzameling A = Verzameling B

Verzamelingen A en B zijn identiek gelijk omdat ze beide dezelfde identieke leden hebben. De A en B gebieden binnen het corresponderende Venndiagram hierboven overlappen volledig. Als er twijfel is over wat de bovenstaande patronen vertegenwoordigen, verwijs naar een willekeurige figuur hierboven of hieronder om zeker te zijn van hoe de cirkelvormige gebieden eruitzagen voordat ze overlapten.

Het vierde voorbeeld hierboven toont dat er iets gemeen is tussen verzameling A en verzameling B in het overlappende gebied. We selecteren willekeurig de volgende verzamelingen om ons punt te illustreren:

verzameling A = {1,2,3,4}
verzameling B = {3,4,5,6}

Verzameling A en Verzameling B hebben beide de elementen 3 en 4 gemeen. Deze elementen zijn de reden voor de overlap in het centrum gemeenschappelijk aan A en B. We moeten deze situatie nader bekijken.