Percolatie-geïnduceerde ferromagnetisme in kalium-tantalaten niobaten nanopartikelen

Samenvatting

Nanopartikelen van kalium-tantalaten (KTaO₃) en kalium-niobaten (KNbO₃) zijn gesynthetiseerd door oxidatie van metaal tantalum in gesmolten kalium-nitraat met toevoeging van kalium-hydroxide. Magnetisatiecurves verkregen op deze ferro-elektrische nanopartikelen vertonen een zwak ferromagnetisme, terwijl deze verbindingen niet-magnetisch zijn in bulk. De experimentele data dienen als startpunt voor theoretische berekeningen. We overwegen een microscopisch mechanisme dat leidt tot het ontstaan van ferromagnetische ordening in ferro-elektrische nanopartikelen. Onze benadering is gebaseerd op de percolatie van magnetische polaronen, aannemend de dominante rol van zuurstofvacatures. Het beschrijft de vorming van oppervlakte magnetische polaronen, waarin een wisselwerkingsinteractie tussen elektronen gevangen in zuurstofvacatures bemiddeld wordt door magnetische verontreiniging Fe³⁺ ionen. De afhankelijkheden van percolatiestraal op concentratie van zuurstofvacatures en magnetische defecten worden bepaald in het kader van percolatietheorie.

Achtergrond

Fabricatie en intense studies van nanopartikelen uit dielektrische oxiden, die niet-magnetisch zijn in bulk, onthulden ferromagnetisme in hen, bijv. in HfO₂ [1], TiO₂ [2,3,4], ZnO [5,6,7], SnO₂ [7, 8], KTaO₃ [9], en KNbO₃ [10]. Verschillende oorsaken van het fenomeen werden overwogen, zoals metaalclusters, secundaire fasen, gebonden magnetische polaronen, laddragers, en zuurstofvacatures [2, 3, 5, 8,9,10,11,12,13]. De laatste zijn gehybridiseerd in de buurt van het nanopartikeloppervlak, waardoor ze magnetische eigenschappen verwerven [12, 13]. Momenteel zijn de verklaringen nog steeds controversieel en is er geen consensus over de bron van ferromagnetisme. Daarom gaat het onderzoek in deze richting door.

Onder ferro-elektrica, recentelijk, in nanokristallen (gemiddelde deeltjesgrootte 80 nm) van kalium-tantalaten en kalium-niobaten, geproduceerd door de nieuwe technologie van metaal (Ta of Nb) zuurstoffing in gesmolten kalium-nitraat [14], hebben magnetische resonantie en statische magnetisatiemethoden experimenteel het verschijnen van een ferromagnetische subsysteem naast een paramagnetische subsysteem vastgesteld [10, 15, 16]. Dit effect is afwezig in grotere kristallen (met groottes >200 nm) van de verbindingen verkregen door dezelfde technologie. De verbindingen zijn niet-magnetisch in bulk. De intentionele doping van kalium-tantalaten (KNbO₃) en kalium-niobaten (KTaO₃) nanokristallen met ijzer en mangaan apart resulteerde in toename van de paramagnetische component, terwijl het ferromagnetische subsysteem onveranderd bleef [15, 16]. Er is voorgesteld dat de reden voor het verschijnen van de magnetische eigenschappen van zuivere ferro-elektrische nanokristallen magnetische defecten zijn, die zowel ijzer-verontreinigingsatomen kunnen zijn, die metaalclusters op het oppervlak van de nanopartikelen vormen, en zuurstofvacatures [9]. Naast de bovengenoemde experimentele methoden, was deze aanname gebaseerd op elementaire analysegegevens en theoretische schattingen.

Om het microscopisch mechanisme van het waargenomen fenomeen te bepalen, analyseren we in dit werk de situatie met behulp van percolatietheorie. Percolatietheorie beschreef een aantal effecten in gedisordene magnetische systemen goed, eerder in ferro-dielektrica [17], later in verdunte magnetische halfgeleiders (bijv. [18,19,20,21]). Het magnetische subsysteem wordt behandeld als een gebonden magnetische polaron in verdunte halfgeleiders. Dit model werd voor het eerst voorgesteld door de auteurs van [22] en vervolgens ontwikkeld door de auteurs van Refs. [11, 23].

Aannemend de dominante rol van zuurstofvacatures, gebruiken we het model van gebonden magnetische polaronen en vinden de percolatiestraal waarbij de wisselwerkingsinteracties tussen elektronen gevangen in zuurstofvacatures bemiddeld door magnetische verontreinigingsionen een oppervlakte ferromagnetische ordening induceren in ferro-elektrische KTaO₃ en KNbO₃ nanopartikelen.

Experimentele data en model van ferromagnetische ordening

Om het voorgestelde model van ferromagnetische ordening te rechtvaardigen, bespreken we eerst de experimentele data verkregen op de ferro-elektrische nanopartikelen KTaO₃ (KTO) en KNbO₃ (KNO).

Onderzochte ferro-elektrische nanopartikelen zijn nominaal zuiver, d.w.z. er werden geen dopanten specifiek geïntegreerd. Elementaire analyse uitgevoerd met een Shimadzu ICPE-9000 inductively coupled plasma atomic emission spectrometer (ICP-AES) toont echter aan dat Fe in beide materialen aanwezig is als onvermijdelijke verontreiniging in een hoeveelheid van 0,06 mol.% in KTaO₃ en 0,008 mol.% in KNbO₃. Het is ook bekend dat zuurstofvacatures altijd bestaan in oxide ferro-elektrica, zoals de perovskiet-type (algemene formule ABO₃), wat resulteert in een zekere mate van non-stoechiometrie in deze verbindingen. Er is experimenteel aangetoond dat twee magnetische subsystemen (paramagnetisch en ferromagnetisch) aanwezig zijn in nanokristallen KTaO₃ en KNbO₃ [9, 10, 15]. Het paramagnetische subsysteem bestaat uit afzonderlijke niet-interacterende magnetische Fe³⁺ ionen in KTaO₃, en Fe³⁺ en Mn²⁺ ionen in KNbO₃. Bovendien omvat de structuur van het paramagnetische centrum, bepaald uit elektronen-paramagnetische-resonantie (EPR) metingen, een zuurstofvacature V(O), wat de centrumsymmetrie verlaagt [9, 15]. Voor illustratieve doeleinden worden twee typen paramagnetische centra, van axiale en rombische symmetrie, waarin Fe³⁺ ion Ta⁵⁺ (of Nb⁵⁺) ion vervangt, in Fig. 1 getoond. Om ladingcompensatie te bereiken, worden één (axiaal centrum) of twee (rombisch centrum) zuurstofvacatures V(O) gevormd in de structuur van deze centra.

Zoals voorgesteld in de papers [9, 15], is het ferromagnetische subsysteem een oppervlaktecluster(s) bestaande uit ijzeratomen en zuurstofvacatures. Thermische anealing in een zuurstofatmosfeer, uitgevoerd in paper [9], toont aan dat zuurstofvacatures zeker bijdragen aan de vorming van ferromagnetisme in deze verbindingen. Aan de ene kant hybridiseren de vacatures en worden ze magnetisch dicht bij het nanopartikeloppervlak [13]. Aan de andere kant, elektronen die inherent ontstaan in non-stoechiometrische oxiden, worden vaak gevangen door zuurstofvacatures. In beide gevallen heeft de zuurstofvacature spin S = ½ en draagt het corresponderende magnetische moment.

De aanwezigheid van oppervlakte-ferromagnetisme is experimenteel bevestigd door atoomkrachtmicroscopie (AFM) in een magnetisch veldgradiëntmodus. Bijvoorbeeld, Fig. 2 toont de oppervlaktebeelden verkregen voor het monster van nanokristallijn KTaO₃. Magnetische krachtmicroscopie (MFM) metingen werden uitgevoerd door Dimension 3000 NanoScope IIIa scanning probemicroscopie voor het in kaart brengen van de ruimtelijke variatie van de magnetisatiestructuur van de out-of-plane component van het magnetische afvloerveld van het KTaO₃ monsteroppervlak. Magnetische krachtgradiënten werden gemeten met twee-pass techniek (lift mode) waarbij topografie gescand werd bij de eerste pas in tapping mode en daarna de magnetische veldgradiënten in kaart gebracht werden bij de tweede pas met behulp van oscillatiefrequentieverschuiving van de probe die over het oppervlak beweegt (lift hoogte was 300 nm). Cobalt-gecoate Veeco magnetische krachtproeven (MESP) met coerciviteit van ~400 Oe, magnetisch moment van 1 · 10⁻¹³ emu en 25-nm nominiele topstraal werden gebruikt. Voor metingen werd de probe gemagnetiseerd met een sterke permanente magneet met het veld uitgelijnd langs de verticale tip-as.

Ook zijn statische magnetisatielussen experimenteel verkregen bij twee temperaturen voor elke verbinding, bij 290 en 150 K voor KTaO₃ en bij 290 en 110 K voor KNbO₃. De experimentele magnetisatiecurves worden beschreven door de formule:

M ≈ M_S tanh⁻¹(H V₀ M_S / k_B T) − k_B T / H V₀ (1)

Hierbij is M_S de verzadigingsmagnetisatie, H een statisch magnetisch veld, en V₀ het volume van de oneindige (in feite, gesloten over een nanopartikeloppervlak) magnetische cluster. Verzadigingsmagnetisatie werd gedefinieerd conform formule (7) uit [20]:

M_S = |S₁N₁ − S₂N₂| (2)

waarbij S₁ en S₂ V(O) en Fe³⁺ magnetische momenten (spins van V(O) en Fe³⁺ zijn 1/2 en 5/2, respectievelijk), N₁ en N₂ de aantallen V(O) en Fe, respectievelijk. Gegeven waarden N₂ corresponderen met de concentraties 0,06 mol.% voor KTO en 0,008 mol.% voor KNO verkregen uit elementaire analyse, waarden N₁ werden dienovereenkomstig bepaald. De fitting-resultaten zijn getoond in Fig. 3. Voor een beschrijving van de hysterese-lussen bij lage magnetische velden, gebruikten we de verschuiving van formule (2) op de waarde van het coercitieve veld, H_c. Parameters voor elke curve zijn gegeven in Tabel 1.

Volgens het aantal magnetische spins geschat uit EPR-data [10, 15], is de percentageverhouding tussen het paramagnetische en ferromagnetische subsysteem 14/86 in nanosized kalium-tantalaten, en 40/60 voor kalium-niobaten. Het grotere aantal paramagnetische centra in kalium-niobaten wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van onbeheerste mangaan-verontreiniging naast de ijzer-verontreiniging. Let op dat het aantal magnetische spins die het ferromagnetische subsysteem vormen, verkregen uit eerdere experimenten, niet voldoende is om lange-orde magnetische orde in het gehele volume van de nanopartikelen te vestigen. Daarom nemen we aan dat de hoofd-bijdrage aan het ferromagnetisme magnetische spins zijn, die nabij het oppervlak van de deeltjes liggen, namelijk in de sub-oppervlaktelaag verrijkt met defecten. Zoals aangegeven in [24], is de oppervlaktelaag verrijkt met polaire defecten ongeveer 10 roosterconstanten dik. Aan de andere kant, suggereer de auteurs van Ref. [25] dat de laag verrijkt met magnetische defecten in semi-oneindige kristal 1 roosterconstante dik is. Gegeven dat de complexen Fe³⁺-V(O) zowel polaire als magnetische defecten zijn, veronderstellen we dat de nabij-oppervlakte defectlaag 5 roosterconstanten is in onze berekeningen. In KTaO₃ en KNbO₃ correspondeert de laag met 2 nm. Om de percolatievoorwaarden afgeleid in paper [17] te gebruiken, nemen we aan dat de verdeling van defecten uniform is in de nabij-oppervlaktelaag. Volgens transmissie elektronenmicroscopie (TEM) data (Fig. 4, zie ook Fig. 1 in Ref. [9] en Fig. 2 in Ref. [26]), kan de vorm van KTaO₃ en KNbO₃ nanopartikelen gemodelleerd worden door een kubus. De grootteverdeling van kristallieten in elke verbinding verkregen uit TEM-data wordt gepresenteerd in Fig. 5.

Gebaseerd op experimenteel verkregen magnetisatiecurves, met name rekening houdend met de gegeven aantallen V(O) en Fe (zie Tabel 1), merken we de dominante rol van de zuurstofvacatures in magnetisatie. Bij deze aanname kan een wisselwerkingsinteractie geïnitieerd worden door elektronen gevangen in zuurstofvacatures en bemiddeld door magnetische verontreinigings Fe-ionen. Zo'n interactie is overwogen in het model van gebonden magnetische polaronen. Dit model werd voor het eerst voorgesteld door de auteurs van [22] om het verschijnen van ferromagnetisme in verdunte magnetische halfgeleiders te beschrijven. Schematisch is ons model gepresenteerd in Fig. 6.

Theoretische modellering binnen percolatiebenadering

Om de kritieke concentratie van totale defecten te bepalen, die kan leiden tot de vorming van magnetische polaronen, gebruiken we een percolatiebenadering. Volgens de criteria van percolatietheorie, werd in werk [17] aangetoond hoe de percolatiedrempel van de lange-orde magnetische orde wiskundig wordt vastgesteld. De details van de benaderingen en principes uit Ref. [17] weglatend, zullen we ons richten op de kenmerken die in onze berekeningen gebruikt worden en de algemene berekeningsgang beschrijven.

Overeenkomstig TEM-data (zie Fig. 4), kunnen de beschouwde KTaO₃ en KNbO₃ nanopartikelen gemodelleerd worden door een kubus. Een kubisch rooster met een 0,4-nm roosterconstante werd gebruikt. In de nabij-oppervlaktelaag van 2 nm dikte (dat is 5 eenheidscellen) (achtergrond is hierboven gegeven, zie ook Refs. [24] en [25]) met willekeurig verdeelde defecten, Fe-atomen en zuurstofvacatures V(O), rekening houdend met het feit dat de verdeling van ijzeratomen uniform is. Volgens de modellen van axiale en rombische centra (zie Fig. 1), gaat de aanwezigheid van Fe-atomen in het centrum van de eenheidscel (wanneer het Nb of Ta atomen in het KTaO₃ of KNbO₃ rooster vervangt) gepaard met het verschijnen van V(O) op de rand(en) van de cel. Met een bepaalde kans kan één zuurstofvacature V(O) of twee vacatures 2 V(O) voorkomen. De kans is 50% in ons geval, wat correspondeert met het experimenteel bepaalde verhouding van de axiale (Fe-V(O)) en rombische (Fe-2 V(O)) centra in KTaO₃ en KNbO₃ [9, 10, 15]. De defecten werden gemodelleerd door spheren in onze berekeningen, waarbij de stralen van ijzer-ion en zuurstofvacature r(Fe³⁺) = 0,064 nm en r(V(O)) = 0,132 nm, respectievelijk. De afstand d tussen de defecten werd gedefinieerd als de afstand tussen de oppervlaktes van de spheren en niet tussen hun centra. Wetende de coördinaten van willekeurige defecten, namelijk Fe-atomen en V(O)-vacatures, berekenen we de afstand d tussen hen. Het resultaat van de verdeling van defecten wordt schematisch getoond in Fig. 7.

Volgens percolatietheorie treedt lange-orde magnetische orde in het systeem op zodra de oneindige cluster gevormd wordt (zie, bijv. p.235 in Ref. [17]). De afstand tussen de defecten, die een oneindige cluster vormen, en daarom de percolatievoorwaarde voldoen ("percolatiedrempel"), wordt gedefinieerd als percolatiestraal, R_perc. Om de percolatiestraal te bepalen, werd de berekening uitgevoerd voor nanopartikelen van verschillende groottes, om te verzekeren dat de percolatievoorwaarde daadwerkelijk vervuld is. In dit geval blijft de verhouding tussen het aantal magnetische defecten in de oneindige cluster en het totale aantal magnetische defecten in het systeem onveranderd in deeltjes van verschillende groottes. De grootte van de nanopartikelen is D × D × D eenheidscellen, waar D = 20, 30, 40. Om de afhankelijkheid van de percolatiestraal op de concentratie van magnetische defecten te bepalen, werden berekeningen uitgevoerd voor de concentraties gepresenteerd in Tabel 2. Hier definieert n₁ de concentratie van zuurstofvacatures die niet nabij Fe-atomen liggen, n₂ is de concentratie van Fe-atomen, en n is een totale concentratie van defecten. Let op dat we berekeningen uitvoeren voor twee gevallen. Voor geval I, n₁/n₂ = const en n varieert. Voor geval II, n₂ = const en n₁ varieert.

Om de percolatiestraal R_perc te bepalen, gebruiken we de volgende procedure. Voor elke concentratie stellen we een bepaalde waarde R in die gevarieerd werd van 0,1 tot 5,9 nm met een increment van 0,2 nm. De afstand d tussen de defecten werd vergeleken met de waarde R (voor elke R-waarde). Alle magnetische defecten worden zo in twee groepen verdeeld. Als de afstand d_ij tussen de dichtstbijzijnde i-de en j-de defecten kleiner is dan of gelijk aan R, d.w.z. d_ij ≤ R, classificeren we deze defecten in een groep, waarin er een magnetische koppeling tussen de defecten is; anders, als d_ij > R, verwijzen we dergelijke defecten naar de andere groep, waar de koppeling tussen defecten afwezig is (d.w.z. verbroken). Als resultaat van de berekening verkrijgen we de matrix van m × m, wiens elementen Boolean waarden 1/0 zijn (aanwezigheid/afwezigheid van koppeling tussen de i-de en j-de defecten). Hier is m het aantal defecten in het sub-oppervlaktegebied in het deeltje van een bepaalde grootte. Vervolgens, gebruikmakend van het principe van Markov-ketens, vinden we de magnetische clusters (d.w.z. aggregaten van punten {Fe, V(O)}), die indirect interacteren. Hiervoor verheffen we de bovengenoemde m × m matrix tot de macht m en krijgen een nieuwe matrix m × m, wiens elementen Boolean waarden 1/0 zijn (aanwezigheid/afwezigheid van bemiddelde interactie tussen de i-de en j-de defecten). De maximum som van de matrixrij correspondeert met de grootte van de grootste cluster voor een gegeven deeltjesgrootte. Vergelijkbare berekeningen werden uitgevoerd voor elke waarde van R en de grootte van de nanopartikelen. Verkregen resultaten voor een van de concentraties n = 0,6117 nm⁻³ zijn vermeld in Tabel 3. Het cursieve gebied in de tabel correspondeert met de R = R_perc waarde die de percolatiestraal R_perc = 1,7 nm is. Percolatiestraal R_perc werd gevonden in overeenstemming met de bovengenoemde percolatiedrempel.

Resultaten en Discussie

Figuur 9a toont de afhankelijkheid van de percolatiestraal R_perc van de concentratie van defecten voor geval I, d.w.z. wanneer n₁/n₂ = const en n varieert. De volle curven zijn getekend met de formule:

R_perc = a / ∛n − b (3)

met parameters a = 1,6 en 1,7 voor KTO en KNO, respectievelijk, en b = 0,25 nm voor beide, KTO en KNO. De eerste term in formule (3) is consistent met vergelijking (4) in Ref. [20] voor een percolatiestraal, R_perc = a / ∛n.

De waarde van R_perc is een bepaalde kritieke waarde, voor R > R_perc, zal de oneindige cluster gevormd worden, wat binnen de noodzakelijke voorwaarde van het verschijnen van lange-orde magnetische orde in het kader van percolatietheorie valt. We veronderstelden dat de straal R_perc hetzelfde is voor de paren Fe-Fe, V(O)-V(O), en V(O)-Fe. Echter, gebaseerd op de berekende resultaten en experimentele feiten, kunnen we stellen dat de straal R_perc niet kleiner kan zijn dan 1,6 nm voor KTaO₃ en 1,7 nm voor KNbO₃.

Laten we formule (3) in meer detail overwegen. De fysieke betekenis van de expressie 1/∛n is de afstand tussen defecten die deelnemen aan de magnetische wisselwerking voor het verschijnen van lange-orde ordening. De waarde a kan zowel kleiner als groter dan 1 zijn. Wanneer de straal R_perc correspondeert met de gemiddelde afstand tussen defecten, is de waarde a = 1, en dus R_perc = 1/∛n. Wanneer het aantal willekeurige magnetische koppelingen, gevormd door de interactie tussen defecten op een afstand kleiner dan de gemiddelde, voldoende is voor de vorming van oneindige cluster, is waarde a kleiner dan 1. Bijvoorbeeld, a = 0,86 in werk [17]. Het blijkt dat R_perc 1,6–1,7 keer hoger is dan de gemiddelde afstand tussen defecten in ons geval. Dit kan als volgt worden uitgelegd.

De waarde van de gemiddelde afstand tussen defecten maakt zin voor een uniforme verdeling van defecten in de sub-oppervlaktelaag. De verdeling van Fe-atomen wordt beschouwd als quasi-uniform, maar rekening houdend met het feit dat Fe-atomen in het centrum van de cel geplaatst zijn, zijn hun posities discrete ruimtelijke coördinaten, wat ook de waarde a in Verg.3 beïnvloedt, en de locatie van zuurstofvacatures V(O) is niet uniform omdat ze altijd nabij Fe-atomen zijn (zie Fig. 6). Dus, de afstand tussen Fe-atomen is veel groter dan de afstand tussen het Fe-atomen en de zuurstofvacature V(O). Daarom hangt de straal R_perc eigenlijk niet af van de gemiddelde afstand tussen alle defecten, maar hangt af van de gemiddelde afstand tussen defecten in verschillende eenheidscellen (dit kan de afstand zijn tussen Fe-Fe, V(O)-V(O), V(O)-Fe). De aanwezigheid van zuurstofvacatures nabij Fe-atomen vermindert de afstand tussen de defectieve cellen iets door de kleinheid van de V(O)-Fe afstand vergeleken met Fe-Fe afstand. Dat betekent dat we in dit geval eigenlijk te maken hebben met de gemiddelde afstand tussen Fe-atomen.

Aftrekken van de tweede component b = 0,25 nm in Verg.(3) kan als volgt worden uitgelegd. Doorgaans wordt de afstand tussen defecten in deze vergelijking gedefinieerd als de afstand tussen de centra van defecten, als een defect gesimuleerd wordt als een punt. In onze berekeningen is R_perc gedefinieerd als de afstand tussen de oppervlaktes van de sfeer waarin we de defect(en) plaatsten. Dus, de waarde R_perc, geschat als de afstand tussen de oppervlaktes van de spheren, verschilt van de R_perc geschat als de afstand tussen de centra ten minste op de som van twee stralen van interacterende defecten. De som kan variëren van 0,128 nm voor Fe-Fe interactie (Fig. 10a) tot 0,264 nm voor V(O)-V(O) interactie (Fig. 10c). Bovendien, aangezien de afstand tussen het Fe-atomen en de dichtstbijzijnde vacature V(O) veel kleiner is dan de berekende, vereist om een koppeling tussen defecten te vestigen, in bepaalde gevallen, kan R_perc gedefinieerd worden als de afstand V(O)-Fe of V(O)-V(O) uit verschillende cellen (zie Fig 10b, c). Wanneer het aantal V(O) toeneemt, neemt het aantal gevallen zoals in Fig. 10b, c ook toe, respectievelijk. Dienovereenkomstig geeft de berekende waarde van b = 0,25 nm aan dat voornamelijk een wisselwerkingsinteractie direct plaatsvindt tussen de elektronen gevangen in zuurstofvacatures.

Figuur 9b toont de afhankelijkheid van de percolatiestraal R_perc van de concentratie van defecten voor geval II, d.w.z. wanneer n₂ = const en n₁ varieert. Hier wordt de invloed van Fe-atomen groter naarmate n₁ afneemt. Dit is duidelijker voor KTO (zwarte volle curve in Fig. 9b). Niettemin, we probeerden de berekende data te fitten met formule (3) met parameters a = 0,66 en b = 0,15 nm. De waarde van b geeft aan dat het relatieve bedrag van directe V(O)-V(O) interacties afneemt, terwijl het bedrag van indirecte interacties via Fe-atomen toeneemt.

Conclusies

We overwegen een microscopisch mechanisme dat leidt tot het ontstaan van ferromagnetische ordening in ferro-elektrische KTaO₃ en KNbO₃ nanopartikelen. Onze benadering is gebaseerd op de magnetische percolatietheorie. Het beschrijft de vorming van oppervlakte magnetische polaronen waarin een wisselwerkingsinteractie tussen laddragers, d.w.z. elektronen, gevangen in zuurstofvacatures direct of indirect via magnetische Fe-atomen plaatsvindt.

De afhankelijkheid van straal R_perc op de totale concentratie n van defecten bij constant n₁/n₂ verhouding (n₁ is de concentratie van zuurstofvacatures en n₂ is de concentratie van Fe-atomen) is bepaald in het kader van percolatietheorie. Gebleken is dat de afhankelijkheid goed beschreven wordt door de formule R_perc = a/∛n − b, waar de waarden van de parameters a = 1,6 en 1,7 voor KTO en KNO, respectievelijk, en b = 0,25 nm voor beide, KTO en KNO. Er is uitgevonden dat de echte magnetische percolatiestraal niet kleiner kan zijn dan 1,6 nm voor KTaO₃ en 1,7 nm voor KNbO₃.

Met behulp van de berekende kritieke concentratie van magnetische defecten, worden experimenteel gemeten magnetische hysterese-lussen goed beschreven door twee verschooven Langevin-type formules. Magnetisatie-verzadigingswaarde M_S hangt af van de magnetische momenten van zuurstofvacatures V(O) en Fe³⁺ ionen en hun aantallen N₁ en N₂, respectievelijk, in de oneindige cluster als M_S = |S₁N₁ − S₂N₂|, wat in volledige overeenstemming is met Ref. [20].

Theoretische berekeningen beschrijven adequaat de experimentele resultaten verkregen in ferro-elektrische KTaO₃ en KNbO₃ nanopartikelen gesynthetiseerd door oxidatie van metaal tantalum in gesmolten kalium-nitraat met de toevoeging van kalium-hydroxide, die een zwak ferromagnetisme vertonen, terwijl deze verbindingen niet-magnetisch zijn in bulk.

Afkortingen

AFM:

Atomic force microscopy

MESP:

Cobalt-gecoate magnetische krachtproeven

MFM:

Magnetic force microscopy

TEM:

Transmissie elektronenmicroscopie