Inleiding tot Booleaanse algebra

Wiskundige regels zijn gebaseerd op de definiërende limieten die we stellen aan de specifieke numerieke grootheden die worden behandeld.

Als we zeggen dat 1 + 1 =2 of 3 + 4 =7, dan bedoelen we het gebruik van gehele getallen:dezelfde soorten getallen die we allemaal hebben leren tellen in het basisonderwijs.

Wat de meeste mensen als vanzelfsprekende rekenregels beschouwen - die te allen tijde en voor alle doeleinden gelden - hangt in feite af van wat we definiëren als een getal.

Bij het berekenen van hoeveelheden in AC-circuits, ontdekken we bijvoorbeeld dat de "echte" getalsgrootheden die ons zo goed van pas kwamen bij de analyse van DC-circuits, ontoereikend zijn voor de taak om AC-grootheden weer te geven.

We weten dat spanningen worden toegevoegd wanneer ze in serie worden geschakeld, maar we weten ook dat het mogelijk is om een ​​3-volt wisselstroombron in serie te schakelen met een 4-volt wisselstroombron en uiteindelijk 5 volt totale spanning te krijgen (3 + 4 =5) .

Betekent dit dat de onschendbare en vanzelfsprekende rekenregels zijn geschonden?

Nee, het betekent alleen dat de regels van "echte" getallen niet van toepassing zijn op de soorten grootheden die worden aangetroffen in wisselstroomcircuits, waar elke variabele zowel een grootte als een fase heeft.

Daarom moeten we een ander soort numerieke grootheid of object gebruiken voor AC-circuits (complex getallen, in plaats van echt getallen), en samen met dit andere systeem van getallen komt een andere reeks regels die ons vertellen hoe ze zich tot elkaar verhouden.

Een uitdrukking zoals “3 + 4 =5” is onzin binnen het bereik en de definitie van reële getallen, maar het past mooi binnen het bereik en de definitie van complexe getallen (denk aan een rechthoekige driehoek met overstaande en aangrenzende zijden van 3 en 4, met een hypotenusa van 5).

Omdat complexe getallen tweedimensionaal zijn, kunnen ze trigonometrisch bij elkaar "optellen" als eendimensionale reëel nummers niet.

Wiskundige wetten en "Fuzzy Logic"

Logica lijkt in dit opzicht veel op wiskunde:de zogenaamde "wetten" van logica hangen af ​​van hoe we definiëren wat een propositie is.

De Griekse filosoof Aristoteles stichtte een logica die gebaseerd was op slechts twee soorten proposities:waar en onwaar.

Zijn bivalente (twee-mode) definitie van waarheid leidde tot de vier fundamentele wetten van de logica:de Wet van Identiteit (A is A); de Wet van Non-contradictie (A is niet niet-A); de Wet van de uitgesloten midden (ofwel A of niet-A); en de Wet van Rationele Inferentie .

Deze zogenaamde Wetten werken binnen de reikwijdte van de logica waar een propositie beperkt is tot een van de twee mogelijke waarden, maar zijn mogelijk niet van toepassing in gevallen waarin proposities andere waarden kunnen bevatten dan 'waar' of 'onwaar'.

In feite is er veel werk verzet en wordt er nog steeds gewerkt aan "meerwaardige" of fuzzy logica, waar proposities in beperkte mate waar of onwaar kunnen zijn .

In zo'n logisch systeem zijn "Wetten" zoals de Wet van het Uitgesloten Midden gewoon niet van toepassing, omdat ze gebaseerd zijn op de aanname van tweewaardigheid.

Evenzo zijn veel premissen die de Wet van Non-contradictie in de aristotelische logica zouden schenden, geldig in "vage" logica. Nogmaals, de definiërende grenzen van propositiewaarden bepalen de wetten die hun functies en relaties beschrijven.

De geboorte van Booleaanse algebra

De Engelse wiskundige George Boole (1815-1864) probeerde een symbolische vorm te geven aan Aristoteles' logica.

Boole schreef in 1854 een verhandeling over het onderwerp, getiteld An Investigation of the Laws of Thought, waarop de Mathematical Theories of Logic and Probabilities zijn gebaseerd , die verschillende relatieregels tussen wiskundige grootheden gecodificeerd, beperkt tot een van de twee mogelijke waarden:waar of onwaar, 1 of 0.

Zijn wiskundige systeem werd bekend als Booleaanse algebra.

Alle rekenkundige bewerkingen die met Booleaanse grootheden worden uitgevoerd, hebben maar één van de twee mogelijke uitkomsten:ofwel 1 of 0 .

Er bestaat niet zoiets als "2 ” of “-1 ” of “1/2 ” in de Booleaanse wereld. Het is een wereld waarin alle andere mogelijkheden door fiat ongeldig zijn.

Zoals je zou kunnen raden, is dit niet het soort wiskunde dat je wilt gebruiken bij het balanceren van een chequeboek of het berekenen van stroom door een weerstand.

Claude Shannon, bekend van het MIT, erkende echter hoe Booleaanse algebra kon worden toegepast op aan-en-uit circuits , waarbij alle signalen worden gekenmerkt als "hoog ” (1) of “laag ” (0).

Zijn proefschrift uit 1938, getiteld A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits , zette Boole's theoretische werk in op een manier die Boole nooit had kunnen bedenken, en gaf ons een krachtig wiskundig hulpmiddel voor het ontwerpen en analyseren van digitale circuits.

Booleaanse algebra versus "normale algebra"

In dit hoofdstuk vind je veel overeenkomsten tussen Booleaanse algebra en "normale" algebra, het soort algebra met zogenaamde reële getallen.

Houd er rekening mee dat het systeem van getallen dat de Booleaanse algebra definieert, ernstig beperkt is in termen van reikwijdte, en dat er slechts één van de twee mogelijke waarden voor een Booleaanse variabele kan zijn:1 of 0.

Dientengevolge verschillen de "Wetten" van de Booleaanse algebra vaak van de "Wetten" van de algebra met reële getallen, waardoor uitspraken als 1 + 1 =1 mogelijk zijn, die normaal gesproken als absurd worden beschouwd.

Als je eenmaal begrijpt dat alle grootheden in Booleaanse algebra beperkt zijn tot de twee mogelijkheden van 1 en 0, en het algemene filosofische principe van wetten afhankelijk is van kwantitatieve definities, verdwijnt de "onzin" van Booleaanse algebra.

Booleaanse algebra versus "normale algebra"

In dit hoofdstuk vind je veel overeenkomsten tussen Booleaanse algebra en "normale" algebra, het soort algebra met zogenaamde reële getallen.

Houd er rekening mee dat het systeem van getallen dat de Booleaanse algebra definieert, ernstig beperkt is in termen van reikwijdte, en dat er slechts één van de twee mogelijke waarden voor een Booleaanse variabele kan zijn:1 of 0.

Dientengevolge verschillen de "Wetten" van de Booleaanse algebra vaak van de "Wetten" van de algebra met reële getallen, waardoor uitspraken als 1 + 1 =1 mogelijk zijn, die normaal gesproken als absurd worden beschouwd.

Als je eenmaal begrijpt dat alle grootheden in Booleaanse algebra beperkt zijn tot de twee mogelijkheden van 1 en 0, en het algemene filosofische principe van wetten afhankelijk is van kwantitatieve definities, verdwijnt de "onzin" van Booleaanse algebra.

Booleaanse getallen versus binaire getallen

Het moet duidelijk zijn dat Booleaanse getallen niet hetzelfde zijn als binair nummers.

Terwijl Booleaanse getallen een heel ander systeem van wiskunde vertegenwoordigen dan reële getallen, is binair niets meer dan een alternatieve notatie voor reële getallen.

De twee worden vaak verward omdat zowel Booleaanse wiskunde als binaire notatie dezelfde twee cijfers gebruiken:1 en 0.

Het verschil is dat Booleaanse grootheden beperkt zijn tot een enkele bit (ofwel 1 of 0), terwijl binaire getallen kunnen bestaan ​​uit vele bits die in plaatsgewogen vorm optellen tot een waarde van elke eindige grootte.

Het binaire getal 10011₂ (“negentien”) heeft niet meer plaats in de Booleaanse wereld dan het decimale getal 2₁₀ (“twee”) of het octale getal 32₈ ("zesentwintig").

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Booleaanse algebra-werkblad
• Basisalgebra en grafieken voor elektrische circuits werkblad
• Werkblad binaire wiskunde