De knoopspanningsmethode beheersen voor precise schakelinganalyse

De knoopspanningsmethode lost onbekende spanningen op schakelingknooppen op in termen van een stelsel van KCL-vergelijkingen. Deze analyse ziet vreemd eruit omdat het het vervangen van spanningsbronnen door equivalente stroombronnen inhoudt. Ook worden weerstandswaarden in ohms vervangen door equivalente geleidbaarheden in siemens, G = 1/R. De siemens (S) is de eenheid van geleidbaarheid, die de mho-eenheid heeft vervangen. In elk geval S = Ω^-1. En S = mho (verouderd).

Methode voor knoopspanningsberekening

We starten met een schakeling met conventionele spanningsbronnen. Een gemeenschappelijke knoop E₀ wordt gekozen als referentiepunt. De knoopspanningen E₁ en E₂ worden berekend ten opzichte van dit punt.

Het vervangen van spanningsbronnen en geassocieerde serie-weerstanden door equivalente stroombronnen en parallelle weerstanden levert de gemodificeerde schakeling op. Vervang weerstandsgeleidbaarheden in siemens voor weerstand in ohms.

 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0,5 S
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0,25 S
G3 = 1/R3 = 1/2,5 Ω = 0,4 S
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0,2 S
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1,0 S 

De parallelle geleidbaarheden (weerstanden) gecombineerd kunnen worden door optelling van de geleidbaarheden. Hoewel we de schakeling niet opnieuw tekenen. De schakeling is klaar voor de toepassing van de knoopspanningsmethode.

 GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S
GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S 

Een algemene knoopspanningsmethode afleiden, schrijven we een paar KCL-vergelijkingen in termen van onbekende knoopspanningen V₁ en V₂ deze ene keer. We doen dit om een patroon te illustreren voor het schrijven van vergelijkingen door inspectie.

 GA·E1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
GB·E2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
(GA + G3)E1 - G3·E2 = I1 (1)
-G3·E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2) 

De coëfficiënten van het laatste paar vergelijkingen zijn herschikt om een patroon te tonen. De som van geleidbaarheden verbonden met de eerste knoop is de positieve coëfficiënt van de eerste spanning in vergelijking (1). De som van geleidbaarheden verbonden met de tweede knoop is de positieve coëfficiënt van de tweede spanning in vergelijking (2). De overige coëfficiënten zijn negatief, vertegenwoordigend geleidbaarheden tussen knopen. Voor beide vergelijkingen is de rechterkant gelijk aan de respectieve stroombron verbonden met de knoop. Dit patroon stelt ons in staat om de vergelijkingen snel door inspectie te schrijven. Dit leidt tot een set regels voor de knoopspanningsmethode van analyse.

Knoopspanningsregels:

• Converteer spanningsbronnen in serie met een weerstand naar een equivalente stroombron met de weerstand in parallel.
• Verander weerstandswaarden naar geleidbaarheden.
• Selecteer een referentieknoop (E₀).
• Wijs onbekende spanningen (E₁)(E₂) ... (E_N) toe aan de overige knopen.
• Schrijf een KCL-vergelijking voor elke knoop 1,2, ... N. De positieve coëfficiënt van de eerste spanning in de eerste vergelijking is de som van geleidbaarheden verbonden met de knoop. De coëfficiënt voor de tweede spanning in de tweede vergelijking is de som van geleidbaarheden verbonden met die knoop. Herhaal voor de coëfficiënt van de derde spanning, derde vergelijking, en andere vergelijkingen. Deze coëfficiënten vallen op een diagonaal.
• Alle andere coëfficiënten voor alle vergelijkingen zijn negatief, vertegenwoordigend geleidbaarheden tussen knopen. De eerste vergelijking, de tweede coëfficiënt is de geleidbaarheid van knoop 1 naar knoop 2, de derde coëfficiënt is de geleidbaarheid van knoop 1 naar knoop 3. Vul negatieve coëfficiënten in voor andere vergelijkingen.
• De rechterkant van de vergelijkingen is de stroombron verbonden met de respectieve knopen.
• Los het stelsel van vergelijkingen op voor onbekende knoopspanningen.

Voorbeeld van de knoopspanningsmethode

Voorbeeld: Stel de vergelijkingen op en los de knoopspanningen op met de numerieke waarden in de bovenstaande figuur.

Oplossing:

 (0,5+0,25+0,4)E1 - (0,4)E2 = 5
-(0,4)E1 + (0,4+0,2+1,0)E2 = -4
(1,15)E1 - (0,4)E2 = 5
-(0,4)E1 + (1,6)E2 = -4
E1 = 3,8095
E2 = -1,5476 

De oplossing van twee vergelijkingen kan uitgevoerd worden met een rekenmachine, of met octave (niet getoond). De oplossing is geverifieerd met SPICE gebaseerd op het originele schema met spanningsbronnen. Hoewel de schakeling met de stroombronnen gesimuleerd had kunnen worden.

 V1 11 0 DC 10
V2 22 0 DC -4
r1 11 1 2
r2 1 0 4
r3 1 2 2,5
r4 2 0 5
r5 2 22 1
.DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
.print DC V(1) V(2)
.end

v(1) v(2)
3.809524e+00 -1.547619e+00 

Nog een voorbeeld. Deze heeft drie knopen. We lijsten de geleidbaarheden niet op het schematische diagram. Echter, G₁ = 1/R₁, etc.

Er zijn drie knopen om vergelijkingen voor te schrijven door inspectie. Let op dat de coëfficiënten positief zijn voor vergelijking (1) E₁, vergelijking (2) E₂, en vergelijking (3) E₃. Dit zijn de sommen van alle geleidbaarheden verbonden met de knopen. Alle andere coëfficiënten zijn negatief, vertegenwoordigend een geleidbaarheid tussen knopen. De rechterkant van de vergelijkingen is de geassocieerde stroombron, 0,136092 A voor de enige stroombron bij knoop 1. De andere vergelijkingen zijn nul aan de rechterkant vanwege gebrek aan stroombronnen. We zijn te lui om de geleidbaarheden voor de weerstanden op het diagram te berekenen. Dus, de gesubscriptte G's zijn de coëfficiënten.

 (G1 + G2)E1 - G1·E2 - G2·E3 = 0,136092
-G1·E1 + (G1 + G3 + G4)E2 - G3·E3 = 0
-G2·E1 - G3·E2 + (G2 + G3 + G5)E3 = 0 

We zijn zo lui dat we reciproke weerstanden en sommen van reciproke weerstanden in de octave "A" matrix invoeren, laten octave de matrix van geleidbaarheden berekenen na "A=". De initiële invoerregel was zo lang dat hij in drie rijen gesplitst werd. Dit is anders dan eerdere voorbeelden. De ingevoerde "A" matrix is afgebakend door beginnende en eindigende vierkante haken. Kolomelementen zijn spatie-gescheiden. Rijen zijn "nieuwe regel" gescheiden. Komma's en puntkomma's zijn niet nodig als scheidingstekens. Hoewel de stroomvector bij "b" puntkomma-gescheiden is om een kolomvector van stromen te produceren.

 octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310 

Let op dat de "A" matrix diagonale coëfficiënten positief zijn, dat alle andere coëfficiënten negatief zijn.

De oplossing als spanningvector is bij "x". E₁ = 24,000 V, E₂ = 17,655 V, E₃ = 19,310 V. Deze drie spanningen vergelijken met de vorige maschenstroom- en SPICE-oplossingen voor het ongebalanceerde brugprobleem. Dit is geen toeval, want de 0,13609 A stroombron was bewust gekozen om de 24 V op te leveren die als spanningsbron in dat probleem gebruikt werd.

Samenvatting

• Gegeven een netwerk van geleidbaarheden en stroombronnen, lost de knoopspanningsmethode van schakelinganalyse onbekende knoopspanningen op uit KCL-vergelijkingen.
• Zie de regels hierboven voor details in het schrijven van de vergelijkingen door inspectie.
• De eenheid van geleidbaarheid G is de siemens S. Geleidbaarheid is de reciproke van weerstand: G = 1/R

GERELATEERDE WERKBLAADEN:

• Precise Diode Circuits Werkblad
•  Kirchhoff's Wetten Werkblad