Knooppuntspanningsmethode

De analysemethode voor knooppuntspanningen lost onbekende spanningen op circuitknooppunten op in termen van een systeem van KCL-vergelijkingen. Deze analyse ziet er vreemd uit omdat het gaat om het vervangen van spanningsbronnen door equivalente stroombronnen. Ook worden weerstandswaarden in ohm vervangen door equivalente conductanties in Siemens, G =1/R. De siemens (S) is de eenheid van geleiding en heeft de mho-eenheid vervangen. In ieder geval S =Ω-1. En S =mho (verouderd).

Methode voor berekening van knooppuntspanning

We beginnen met een circuit met conventionele spanningsbronnen. Een gemeenschappelijk knooppunt E₀ wordt gekozen als referentiepunt. De knooppuntspanningen E₁ en E₂ worden berekend met betrekking tot dit punt.

Het vervangen van spanningsbronnen en bijbehorende serieweerstanden door equivalente stroombronnen en parallelle weerstanden levert het gewijzigde circuit op. Vervang weerstandsgeleidingen in Siemens door weerstand in ohm.

 I1 =E1/R1 =10/2 =5 A I2 =E2/R5 =4/1 =4 A G1 =1/R1 =1/2 Ω =0,5 S G2 =1/R2 =1/4 =0,25 S G3 =1/R3 =1/2,5 =0,4 S G4 =1/R4 =1/5 Ω =0,2 S G5 =1/R5 =1/1 =1,0 S 

De parallelle conductanties (weerstanden) kunnen gecombineerd worden door de conductanties op te tellen. We zullen het circuit echter niet opnieuw tekenen. De schakeling is klaar voor toepassing van de knooppuntspanningsmethode.

 GA =G1 + G2 =0,5 S + 0,25 S =0,75 S GB =G4 + G5 =0,2 S + 1 S =1,2 S 

Door een algemene knooppuntspanningsmethode af te leiden, schrijven we een paar KCL-vergelijkingen in termen van onbekende knooppuntspanningen V₁ en V₂ deze ene keer. We doen dit om een ​​patroon te illustreren voor het schrijven van vergelijkingen door inspectie.

 GAE1 + G3(E1 - E2) =I1 (1) GBE2 - G3(E1 - E2) =I2 (2) (GA + G3) E1-G3E2 =I1 (1) -G3E1 + (GB + G3)E2 =I2 (2) 

De coëfficiënten van het laatste paar vergelijkingen hierboven zijn herschikt om een ​​patroon te tonen. De som van conductanties verbonden met het eerste knooppunt is de positieve coëfficiënt van de eerste spanning in vergelijking (1). De som van conductanties verbonden met het tweede knooppunt is de positieve coëfficiënt van de tweede spanning in vergelijking (2). De andere coëfficiënten zijn negatief en vertegenwoordigen geleidbaarheid tussen knooppunten. Voor beide vergelijkingen is de rechterkant gelijk aan de respectieve stroombron die op het knooppunt is aangesloten. Dit patroon stelt ons in staat om de vergelijkingen snel te schrijven door inspectie. Dit leidt tot een reeks regels voor de analysemethode van de knooppuntspanning.

Knooppuntspanningsregels:

• Converteer spanningsbronnen in serie met een weerstand naar een equivalente stroombron met de weerstand parallel.
• Verander weerstandswaarden in conductanties.
• Selecteer een referentieknooppunt (E₀ )
• Onbekende spanningen toewijzen (E₁ )(E₂ ) ... (E_N )naar de overige knooppunten.
• Schrijf een KCL-vergelijking voor elk knooppunt 1,2, ... N. De positieve coëfficiënt van de eerste spanning in de eerste vergelijking is de som van de conductanties die met het knooppunt zijn verbonden. De coëfficiënt voor de tweede spanning in de tweede vergelijking is de som van de conductanties die met dat knooppunt zijn verbonden. Herhaal dit voor de coëfficiënt van de derde spanning, de derde vergelijking en andere vergelijkingen. Deze coëfficiënten vallen op een diagonaal.
• Alle andere coëfficiënten voor alle vergelijkingen zijn negatief en vertegenwoordigen geleiding tussen knooppunten. De eerste vergelijking, de tweede coëfficiënt is de geleiding van knooppunt 1 naar knooppunt 2, de derde coëfficiënt is de geleiding van knooppunt 1 naar knooppunt 3. Vul negatieve coëfficiënten in voor andere vergelijkingen.
• De rechterkant van de vergelijkingen is de huidige bron die is verbonden met de respectievelijke knooppunten.
• Los het stelsel vergelijkingen voor onbekende knoopspanningen op.

Voorbeeld van knooppuntspanningsmethode

Voorbeeld: Stel de vergelijkingen in en los de knoopspanningen op met behulp van de numerieke waarden in de bovenstaande afbeelding.

Oplossing:

 (0,5+0,25+0,4)E1 -(0,4)E2=5 -(0,4)E1 +(0,4+0,2+1,0)E2 =-4 (1,15)E1 -(0,4)E2=5 -(0.4)E1 +(1.6)E2 =-4 E1 =3.8095 E2 =-1.5476 

De oplossing van twee vergelijkingen kan worden uitgevoerd met een rekenmachine of met een octaaf (niet weergegeven). De oplossing is geverifieerd met SPICE op basis van het originele schematische diagram met spanningsbronnen. Het circuit met de stroombronnen had echter gesimuleerd kunnen worden.

 V1 11 0 DC 10 V2 22 0 DC -4 r1 11 1 2 r2 1 0 4 r3 1 2 2.5 r4 2 0 5 r5 2 22 1 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1 .print DC V(1) V(2) .einde v(1) v(2) 3.809524e+00 -1.547619e+00 

Nog een voorbeeld. Deze heeft drie knooppunten. We vermelden de conductanties niet op het schematische diagram. Echter, G₁ =1/R₁ , enz.

Er zijn drie knooppunten om vergelijkingen voor te schrijven door inspectie. Merk op dat de coëfficiënten positief zijn voor vergelijking (1) E₁ , vergelijking (2) E₂ , en vergelijking (3) E₃ . Dit zijn de sommen van alle conductanties die op de knooppunten zijn aangesloten. Alle andere coëfficiënten zijn negatief en vertegenwoordigen een geleiding tussen knooppunten. De rechterkant van de vergelijkingen is de bijbehorende stroombron, 0,136092 A voor de enige stroombron op knooppunt 1. De andere vergelijkingen zijn nul aan de rechterkant vanwege een gebrek aan stroombronnen. We zijn te lui om de conductanties voor de weerstanden in het diagram te berekenen. De gesubscripte G's zijn dus de coëfficiënten.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 =0,136092 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 =0 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 =0 

We zijn zo lui dat we wederzijdse weerstanden en sommen van wederzijdse weerstanden invoeren in de octaaf "A" -matrix, waardoor het octaaf de matrix van conductanties na "A =" kan berekenen. De eerste invoerregel was zo lang dat deze in drie rijen werd opgesplitst. Dit is anders dan eerdere voorbeelden. De ingevoerde "A"-matrix wordt afgebakend door vierkante haken die beginnen en eindigen. Kolomelementen zijn door spaties gescheiden. Rijen zijn "nieuwe regel" gescheiden. Komma's en puntkomma's zijn niet nodig als scheidingstekens. De huidige vector bij "b" is echter gescheiden door puntkomma's om een ​​kolomvector van stromen op te leveren.

 octaaf:12> A =[1/150+1/50 -1/150 -1/50> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250] A =0.0266667 -0.0066667 -0.0200000 -0.0066667 0.0200000 -0.0100000 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000 octaaf:13> b =[0.136092;0;0] b =0.13609 0,00000 0,00000 octaaf:14> x=A\b x =24.000 17.655 19.310 

Merk op dat de diagonale coëfficiënten van de "A"-matrix positief zijn, dat alle andere coëfficiënten negatief zijn.

De oplossing als spanningsvector is bij "x". E₁ =24.000 V, E₂ =17,655 V, E₃ =19.310 V. Deze drie spanningen zijn vergelijkbaar met de vorige mesh-stroom en SPICE-oplossingen voor het ongebalanceerde brugprobleem. Dit is geen toeval, want de stroombron van 0,13609 A is met opzet gekozen om de 24 V op te leveren die in dat probleem als spanningsbron wordt gebruikt.

Samenvatting

• Gegeven een netwerk van geleidbaarheid en stroombronnen, lost de knooppuntspanningsmethode van circuitanalyse onbekende knooppuntspanningen op uit KCL-vergelijkingen.
• Zie de regels hierboven voor details over het schrijven van de vergelijkingen door inspectie.
• De eenheid van geleidbaarheid G is de siemens S. Geleiding is het omgekeerde van weerstand:G =1/R

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Nauwkeurige diodeschakelingen werkblad
• Werkblad wetten van Kirchhoff