Differentieren van Exponentiële Functies met Basis e

Voorbeelden van Afgeleiden van e

Proportionaliteitsconstante

Wanneer we zeggen dat een relatie of fenomeen "exponentieel" is, bedoelen we dat de veranderingssnelheid van een hoeveelheid evenredig groeit met de hoeveelheid zelf. Gevolgelijk is de afgeleide van een exponentiële functie gelijk aan de oorspronkelijke functie vermenigvuldigd met een constante (k) die deze proportionaliteit vertegenwoordigt.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$

De proportionaliteitsconstante is simpelweg de natuurlijke logaritme van de basis:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$

Wanneer de basis het natuurlijke getal e is, is ln(e) = 1, dus de afgeleide van e^x is e^x zelf:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$

De "Ketting"-regel

Als de exponent een complexere uitdrukking is, passen we de kettingregel toe: differentieer de outer exponentiële en vermenigvuldig met de afgeleide van de innerlijke functie.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Deze techniek is nuttig voor het evalueren van de gevoeligheid van diode-stroom voor spanning. De Shockley-diodevergelijking geeft een benaderde relatie tussen de spanning over een diode (V_D) en de stroom erdoor (I_D):

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(Raadpleeg de "Diodes and Rectifiers" pagina voor een diepere duik; let op dat I_S een constante is, geen variabele.) Om te vinden hoe de stroom verandert met spanning, differentieer je:

$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D} = \frac{\text{d}}{\text{d}V_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

Dus, bij een specifieke V_D, verhoogt een infinitesimale toename in spanning de stroom met (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}.

GERELATEERDE WERKBLADEN:

• Calculus for Electric Circuits Worksheet