Inleiding tot complexe getallen

Als ik de afstand tussen twee steden zou moeten beschrijven, zou ik een antwoord kunnen geven dat bestaat uit een enkel getal in mijlen, kilometers of een andere lineaire meeteenheid.

Als ik echter zou beschrijven hoe ik van de ene stad naar de andere moet reizen, zou ik meer informatie moeten verstrekken dan alleen de afstand tussen die twee steden; Ik zou ook informatie moeten verstrekken over de richting om ook te reizen.

Het soort informatie dat een enkele dimensie uitdrukt, zoals lineaire afstand, wordt een scalar . genoemd kwantiteit in de wiskunde. Scalaire getallen zijn het soort getallen dat je tot nu toe in bijna al je wiskundige toepassingen hebt gebruikt.

De spanning die door een batterij wordt geproduceerd, is bijvoorbeeld een scalaire grootheid. Dat geldt ook voor de weerstand van een stuk draad (ohm), of de stroom erdoorheen (ampère).

Wanneer we echter AC-circuits beginnen te analyseren, vinden we die hoeveelheid spanning, stroom en zelfs weerstand (genaamd impedantie in AC) zijn niet de bekende eendimensionale grootheden die we gewend zijn te meten in DC-circuits.

In plaats daarvan hebben deze grootheden, omdat ze dynamisch zijn (afwisselend in richting en amplitude), andere dimensies waarmee rekening moet worden gehouden. Frequentie en faseverschuiving zijn twee van deze dimensies die een rol spelen.

Zelfs met relatief eenvoudige AC-circuits, waar we slechts met één frequentie te maken hebben, hebben we naast de amplitude nog steeds te maken met de dimensie van faseverschuiving.

Om AC-circuits met succes te analyseren, moeten we werken met wiskundige objecten en technieken die deze multidimensionale grootheden kunnen weergeven.

Hier moeten we scalaire getallen opgeven voor iets dat beter geschikt is:complexe getallen . Net als het voorbeeld van het geven van aanwijzingen van de ene stad naar de andere, hebben AC-grootheden in een circuit met één frequentie zowel amplitude (analogie:afstand) als faseverschuiving (analogie:richting).

Een complex getal is een enkele wiskundige grootheid die deze twee dimensies van amplitude en faseverschuiving tegelijk kan uitdrukken.

Grafische weergave van complexe getallen

Complexe getallen zijn gemakkelijker te begrijpen als ze grafisch worden weergegeven. Als ik een lijn teken met een bepaalde lengte (magnitude) en hoek (richting), heb ik een grafische weergave van een complex getal dat in de natuurkunde algemeen bekend staat als een vector :(Figuur hieronder)

Als afstanden en richtingen op een kaart, moet er een gemeenschappelijk referentiekader zijn om hoekfiguren enige betekenis te geven. In dit geval wordt direct recht beschouwd als 0 ^o , en hoeken worden geteld in een positieve richting tegen de klok in:(figuur hieronder)

Het idee om een ​​getal in grafische vorm weer te geven is niets nieuws. We leerden dit allemaal op de lagere school met de "getallenlijn:" (figuur hieronder)

We hebben zelfs geleerd hoe optellen en aftrekken werkt door te zien hoe lengtes (magnitudes) opstapelen om een ​​definitief antwoord te geven:(figuur hieronder)

Later kwamen we erachter dat er manieren waren om de waarden tussen . aan te duiden de gehele getallen op de lijn. Dit waren fractionele of decimale hoeveelheden:(figuur hieronder)

Deze getallenvelden (geheel, geheel getal, rationeel, irrationeel, reëel, enz.) die op de lagere school zijn geleerd, hebben een gemeenschappelijk kenmerk:ze zijn allemaal eendimensionaal . De rechtheid van de getallenlijn illustreert dit grafisch.

U kunt op de getallenlijn omhoog of omlaag gaan, maar alle "beweging" langs die lijn is beperkt tot een enkele as (horizontaal).

Eendimensionale, scalaire getallen zijn perfect geschikt voor het tellen van kralen, het vertegenwoordigen van gewicht of het meten van DC-batterijspanning, maar ze schieten tekort om iets complexers weer te geven, zoals de afstand en richting tussen twee steden, of de amplitude en fase van een AC-golfvorm.

Om dit soort grootheden weer te geven, hebben we multidimensionale representaties nodig. Met andere woorden, we hebben een getallenlijn nodig die in verschillende richtingen kan wijzen, en dat is precies wat een vector is.

BEOORDELING:

• Een scalaire getal is het type wiskundig object dat mensen in het dagelijks leven gewend zijn:een eendimensionale grootheid zoals temperatuur, lengte, gewicht, enz.
• Een complex getal is een wiskundige grootheid die twee dimensies van grootte en richting vertegenwoordigt.
• Een vector is een grafische weergave van een complex getal. Het ziet eruit als een pijl, met een startpunt, een punt, een bepaalde lengte en een bepaalde richting. Soms het woord phasor wordt gebruikt in elektrische toepassingen waarbij de hoek van de vector de faseverschuiving tussen golfvormen vertegenwoordigt.

GERELATEERD WERKBLAD:

• Werkblad AC-fase