Wetenschappelijke notatie

In veel disciplines van wetenschap en techniek moeten zeer grote en zeer kleine numerieke hoeveelheden worden beheerd. Sommige van deze hoeveelheden zijn verbijsterend in hun omvang, extreem klein of extreem groot. Neem bijvoorbeeld de massa van een proton, een van de samenstellende deeltjes van de atoomkern:

Protonenmassa =0.00000000000000000000000167 gram

Of beschouw het aantal elektronen dat elke seconde een punt in een circuit passeert met een constante elektrische stroom van 1 ampère:

1 amp =6.250.000.000.000.000.000 elektronen per seconde

Veel nullen, niet? Het kan natuurlijk nogal verwarrend zijn om zoveel nulcijfers in getallen als deze te moeten verwerken, zelfs met behulp van rekenmachines en computers.

Let op die twee getallen en de relatieve schaarste van niet-nul cijfers erin. Voor de massa van het proton hebben we alleen een "167" voorafgegaan door 23 nullen voor de komma. Voor het aantal elektronen per seconde in 1 ampère hebben we "625" gevolgd door 16 nullen.

We noemen het bereik van niet-nulcijfers (van de eerste tot de laatste), plus eventuele nulcijfers niet alleen gebruikt als tijdelijke aanduidingen, de "significante cijfers" van elk nummer.

De significante cijfers in een echte meting zijn typisch een afspiegeling van de nauwkeurigheid van die meting. Als we bijvoorbeeld zouden zeggen dat een auto 3000 pond weegt, bedoelen we waarschijnlijk niet dat de auto in kwestie exact weegt. 3.000 pond, maar dat we het gewicht hebben afgerond op een waarde die gemakkelijker te zeggen en te onthouden is.

Dat afgeronde getal van 3.000 heeft slechts één significant cijfer:de "3" ervoor - de nullen dienen slechts als tijdelijke aanduidingen. Als we echter zouden zeggen dat de auto 3005 pond woog, vertelt het feit dat het gewicht niet is afgerond op de dichtstbijzijnde duizend pond ons dat de twee nullen in het midden niet alleen tijdelijke aanduidingen zijn, maar dat alle vier de cijfers van het getal "3005" zijn significant voor zijn representatieve nauwkeurigheid. Dus het getal "3005" zou vier . hebben significante cijfers.

Op dezelfde manier zijn getallen met veel nulcijfers niet per se representatief voor een werkelijke hoeveelheid tot op de komma. Wanneer bekend is dat dit het geval is, kan zo'n getal in een soort wiskundige "steno" worden geschreven om het gemakkelijker te maken om ermee om te gaan. Deze “steno” heet wetenschappelijke notatie .

Met wetenschappelijke notatie wordt een getal geschreven door de significante cijfers ervan weer te geven als een hoeveelheid tussen 1 en 10 (of -1 en -10, voor negatieve getallen), en de "placeholder" nullen worden verklaard door een tienvoudige vermenigvuldiger . Bijvoorbeeld:

1 amp =6.250.000.000.000.000.000 elektronen per seconde

. . . kan worden uitgedrukt als . . .

1 amp =6,25 x 10 ¹⁸ elektronen per seconde

10 tot de 18e macht (10 ¹⁸ ) betekent 10 vermenigvuldigd met zichzelf 18 keer, of een "1" gevolgd door 18 nullen. Vermenigvuldigd met 6,25, ziet het eruit als "625" gevolgd door 16 nullen (neem 6,25 en sla de komma 18 plaatsen naar rechts over). De voordelen van wetenschappelijke notatie liggen voor de hand:het nummer is niet zo onpraktisch als het op papier wordt geschreven, en de significante cijfers zijn duidelijk te herkennen.

Maar hoe zit het met hele kleine getallen, zoals de massa van het proton in grammen? We kunnen nog steeds wetenschappelijke notatie gebruiken, behalve met een negatieve macht van tien in plaats van een positieve, om de komma naar links te verschuiven in plaats van naar rechts:

Protonenmassa =0.00000000000000000000000167 gram

. . . kan worden uitgedrukt als . . .

Protonenmassa =1,67 x 10 ^-24 gram

10 tot de -24e macht (10 ^-24 ) betekent de inverse (1/x) van 10 vermenigvuldigd met zichzelf 24 keer, of een "1" voorafgegaan door een decimaalteken en 23 nullen. Vermenigvuldigd met 1,67, ziet het eruit als "167" voorafgegaan door een decimaalteken en 23 nullen. Net als bij een heel groot getal is het voor een mens een stuk makkelijker om met deze “steno”-notatie om te gaan. Net als bij het vorige geval worden de significante cijfers in deze hoeveelheid duidelijk uitgedrukt.

Omdat de significante cijfers "op zichzelf" worden weergegeven, weg van de vermenigvuldigingsfactor van de macht van tien, is het gemakkelijk om een ​​niveau van precisie aan te tonen, zelfs als het getal rond lijkt. Als we ons voorbeeld van een auto van 3.000 pond nemen, zouden we het afgeronde aantal van 3.000 als zodanig in wetenschappelijke notatie kunnen uitdrukken:

autogewicht =3 x 10 ³ ponden

Als de auto daadwerkelijk 3.005 pond woog (tot op de pond nauwkeurig) en we die volledige nauwkeurigheid van de meting wilden kunnen uitdrukken, zou het wetenschappelijke notatiecijfer als volgt kunnen worden geschreven:

autogewicht =3.005 x 10 ³ ponden

Maar wat als de auto echt 3.000 pond woog, precies (tot op het dichtstbijzijnde pond)? Als we het gewicht in "normale" vorm (3.000 lbs) zouden schrijven, zou het niet per se duidelijk zijn dat dit aantal inderdaad nauwkeurig was tot op het dichtstbijzijnde pond en niet alleen afgerond op het dichtstbijzijnde duizend pond, of op het dichtstbijzijnde honderd pond , of naar de dichtstbijzijnde tien pond. Wetenschappelijke notatie daarentegen stelt ons in staat om zonder misverstanden aan te tonen dat alle vier de cijfers significant zijn:

gewicht auto =3.000 x 10 ³ ponden

Aangezien het geen zin heeft om extra nullen rechts van de komma toe te voegen (aangezien de extra tijdelijke nullen niet nodig zijn met wetenschappelijke notatie), weten we dat die nullen significant moeten zijn voor de nauwkeurigheid van het cijfer.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Wetenschappelijke notatie en metrische voorvoegsels